CHAPITRE \VI. LA A'IE ET LES TRAVAUX DISVAC ^EWTOX

Cet ouvrage devrait cire lu parallèlement avec le suivant : McihoiliLs- Differentialis, qu'il publia aussi en 1 71 1 .Quelques tlicorcmes additionnels sont présentés dans ce dernier, et Newton y discute sa méthode d'interpolation qui avait été brièvement décrite dans la lettre du -i'a octobre iG-ti. En voici le principe : v = s {x) étant une fonction de x, si l'on connaît les valeurs 6,, b±, b^,... de y qui correspondent à des valeurs arbitraires a,, ao, a^,... de j?, i" on peut faire passer par les points (a,, 6,) (a^, t^),... une parabole

y = /> + qx H- ;•./••- -H . . , ;

2" l'ordonnée de cette courbe sera une valeur approchée de l'ordonnée de la courbe primitive. Si 11 est le nombre des points (a, h), le degré de la parabole sera, bien entendu, n — i. Newton fait observer que cette méthode permet l'évaluation approchée de l'aire d'une courbe quelconque.

La seconde partie de cet appendice à VOptics contient un exposé de la méthode des fluxions. Il est bon, pour le comprendre, de lire en même temps un résumé qu'en fit Newton et que publia Jean Colson en lySG.

Le calcul des lluxions et le calcul infinitésimal, tel que nous le connaissons, sont identiques à part les notations.

Newton admettait que toutes les grandeurs géométriques peuvent être considérées comme engendrées par le mouvement continu : ainsi une ligne peut être envisagée comme engendrée par le mouvement d'un point, une surface par celui d'une ligne, un solide par celui d'une surface, un angle plan par la rotation d'une lio-ne et ainsi de suite. Il définissait la quantité ainsi engendrée « la fluente» ou « la quantité fluente ». La vitesse de la grandeur en mouvement était définie comme « la fluxion de lafluenteo.ll semble que l'on trouve là, pour la première fois, l'idée de fonction continue, bien qu'on en puisse reconnaître des traces dans quelques-uns des mémoires de Napier (ou Néper).

Newton aborde le sujet comme il suit. Il y a deux sortes de ^voblêmes ; l'objet du premier est de trouver la fluxion d'une quantité donnée, ou plus généralement « la relation des fluentes étant donnée » il s'agit de trouver « la relation qui lie leurs fluxions. »

Ceci est équivalent à la différcntiation. L'objet du second, ou méthode inverse des fluxions, est de déterminer la fluente en par-

3o IIISrOIUE DES MA'nii;MA IKjUnS

tant de la fluxion ou de quelque relaliou la comprenant, ou plusffénéralenienl c étant donnée une équation montrant la relation des fluxions de certaines quantités, trouver les relations liant enlr(> elles ces quantités ou les fluentes » (') Le problème revient à l'intégration, que ^e^^ ton appelait quadrature, ou à la solution d'une équation dill'érentielle, qui pour lui était la mélliode inverse des tangentes. Les méthodes [)ropres à résoudre ces questions sont exposées avec beaucou[) do détails.

^c\vton chercha ensuite à ;ip[)liquer ses résultats à des questions concernant les niaxiuia el ininiiiia des quantités, au tracé des tangentes et à la courlxire des courbes (à savoir la détermination des^ centres de courbure, du rayon de courbure, et du rapport suivant lequel croît le rayon de courbure). Il envisagea de plus la quadrature el la rectifioalion des courbes (-). En cherchant le maximum et le minimum des fonctions à une variable, nous regardons le changement de signe de la dillérence de deux valeurs consécutives de la fonction comme le vrai critérium de la valeur de la variablequi rend la fonction maxima ou minima : mais l'argument de Newton est que lorsqu'une quantité croissante a atteint son maximum, elle ne peut avoir aucun autre accroissement, ou lorsqu'une quantité décroissante a atteint son minimum, elle ne peut avoir aucun décroissemenl ultérieur ; en conséquence la fluxion doit être nulle.

On a fait celle remarque que, ni New ton, ni Leibnil/., n'ont présenté leurs calculs en corps de doctrine, c'est-à-dire sous forme d'un ensemble de règles logiquement ordonnées, et que les problèmes discutés par eux sont traités en partant des premiers principes. C'est sans doute l'ordre usuel dans l'histoire de semblablesdécouvertes, bien que le fait soit fréquemment oublié par les historiens. Dans le cas qui nous occupe, colle observation en ce qui concerne l'exposé fait par Newton du calcul diflërentiel ou de la partie relative aux lluxions est inexacte, ce qui précède le montre suffisamment.

Représentant une quantité (luenle ou une fluenle par x, New ton désignait sa fluxion par c, la fluxion de x ou seconde fluxion de x par X el ainsi de suite, semblablomonl la fluenle de .'• était repré-

(' ) Manuscrit de Newton, ôdilioii Colson, pp. 21,. 22-. (-) Manuscrit de Newton, pp- 22, 23,