CHAPITRE XVH. LEllJMT/. ET LES BERNOULU .'l

On n'avait au début aucune raison de douter de la bonne foi de Leibnilz, mais lors de la pul)lication, en 170/1, sans nom d'auteur, d'une analyse du traité de Newton sur les quadratures, dans laquelle on laissait supposer que ce savant avait emprunté à Leibnitz l'idée du calcul des fluxions, tout malliématicien soucieux de la vérité (') putsedomaniler si Leibnitz avait réellement inventé le nouveau calcul. Il osl admis par tout le monde que les faits avancés dans l'analyse on question, attribuée avec vraisemblance à Leibnitz, ne sont appuyés d'aucune justification. Mais la discussion qui suivit eut pour conséquence de provoquer un examen approfondi et critique de la question, et on en vint alors à se demander si Leibnitz n'avait paseniprunté à Newton l'idée du calcul. Les faits militant contre Leibnitz, furent exposés tels que les voyaient les amis de Ne^yton dans le Commcvc'nim Epistoliciirn publié en i']i-2\ des références détaillées sur tous les points visés y étaient adjointes.

Les amis de Leibnitz ne lirent paraître, en sa faveur, aucun exposé semblable (avec faits, dates et références); mais ,Tean lîernoulli cbercba, d'une façon indirecte, à alTaiblir la force des témoignages des aniis de Newton, en attaquant la réputation de celui-ci dans une lettre datée du 7 juin 1713. Les accusations portées étaient fausses et Bernoulli mis en demeure davoir à en fournir une justification, renia solennellement la [)aternilé de la lettre. En acceptant cette dénégation, Newton ajoute dans imc lettre privée qu'il lui adresse les observations suivantes intéressantes à noter car elles expliquent pourquoi il fut enfin amené à prendre part à la controverse : « Je n'ai jamais chercbé à acquérir quelque renom auprès des étrangers, mais je suis très désireux de conserver ma réputaticn d'bonnôte liomme, que l'auteur de celte épitre, se posant en juge sujirême, a essayé de m'enlever. Maintenant que je suis vieux, je trouve peu de plaisir dans les études mathématiques; je n'ai jamais d'ailleurs tenté de propager mes idées à travers le monde ; j'ai plutôt pris soin de ne pas me laisser entraîner, à cause d'elles, dans des discussions, »

La défense de Leibnitz ou l'explication de son silence est donnée dans la lettre suivante, datée du () avril 17 iG, qu'il avait adressée

(1) Dm ILLIER en i6()9 avait accusé Leiiînitz de plagiat au préjudice de INewtom, mais Dhlillier ne jouissait, pas. d'une grande «lotoriélé.

/|6 niSTOinE des mathématiques

u Coiili : (I Pour répondre de point en point à l'ouvrage publi»' conlre moi, ii falloit un autre ouvrage aussi grand pour le moins que celui-là : ii falloit entrer dans un grand détail de quantité de minuties jxissées il y a Ironie à ((uaranle ans dont je ne me souvetiois guère ; il me falloit cliorclicr mes vieilles Icllros, dont plusieurs se sont perdues, oulrc que; le plus souvent je n'ai point gardé les minutes des mieimes : cl les autres sont ensevelies dans un grand las de papiers, que je no [)ouvois débrouiller qu'avec du temps et de la patience; mais je n'en avois guère le loisir, étant chargé [)résentemcnt d'occupations d'une toute autre nature. »

Seule la mort de Lcibnilz en 1716 suspendit momentanément la C(^nlroverse qui bicnlôt cependant reprit son cours et même donna lieu à des débals i)lutôt acrimonieux. La question est difficile à trancher, les lémoignagos sont conlradidoircs et dépendent des circonstances ; nous laissons le lecteur juger lui-uiéme et se prononcer suivant ce qui lui paraîtra le plus conforme à la raison. C'était essentiellement le cas pour Leibnitz de se faire entendre ol de réfuter nombre de détails suspects relevés contre lui. La possession ignorée d une copie d'un manuscrit de Newton, ou d'une partie de ce manuscrit pouvail s'expliquer; mais le fait que dans ])lus d'une occasion Leibnitz a altéré délibérément des documents inqioitanls et leur a apporte des additions (citons, par exemple, la lettre du 7 juin 1710 dans les Charla Volans, et celle du 8 avril 1716 dans les Acla Eruditorum) avant de les publier, et, ce qui est plus grave, qu'une date essentielle a été altérée dans un de ses manuscrils (') (le millésime 1G75 transformé en 1O70) donne [)eu de valeur à son propre témoignage. Quoiqu'il on soit, nous pensons que la majorité des écrivains modernes s'arrêteront à cette conclusion que, probablement, Leibni!/ et Newton ont invente le calcul inlinitésimal indépendamment l'un de l'autre ; mais tout bien considéré, nous pensons que vraisemblablement, Lcibnilz avait lu en partie ou pcnt-élre complètomeiil \t De Analysi {\c Newlon avant 1G77; jusqu'à quel point Lcibnilz a-l-il été influencé par cetle lecture, c'est ce qu'il est difficile de dire. On prétendait, rappolons-lo, (ju'il avait reçu non pas un exposé complet du calcul, mais bien un certain nombre d'ins-

(') Cantok qui dcfcml la cause de Li:iiimtz, jjciisc (Juc celle l'alsilicalion doil lui cire allribuée. Voir ses GcschiclUe, vol. 111, p. 176.

CIIAPirnE XVII. LElBNirZ ET LES UERNOULLi .\-

piralions, et comme il ne publia pas avant iGS/j ses résnllats de 1677, et que la notation employée et les dcveloppemenls subséquents sont sans conteste de son invention, il est possible qu'il ail été conduit après une pi'iiodo de trente ans à regarder comme d<' peu d'importance les renseignements qu'il avait pu recueillir au début, et finalement à n'en tenir aucun com[)te.

Si nous devons nous borner à un seul système de notations, il n'est pas douteux que celui imaginé par Leibnitz se prêle mieux (pie celui des fluxions aux applications du calcul infinitésimal, et pour certaines questions (telles que le calcul des variations) il est certainement presque indispensable. Il est nécessaire cependant d'ajouter qu'au commencement du xvn° siècle les méthodes du calcul indéfinitésimal n'avaient pas encore été exposées systématiquement, et que les deux notations étaient également bonnes. Le développement de ce calcul tut l'œuvre capitale des mathématiciens de la première moitié du xvni'^ siècle. La notation dilTérentielle (ut adoptée par les mathématiciens du continent. Son application par Euler, Lagrange et Laplace aux principes de la mécanique posés dans les Principia constitua l'œuvre importante de la seconde moitié de ce même siècle et établit finalement la supériorité du calcul dilTérentiel sur celui des fluxions. La traduction des Principia dans le langage de l'analyse moderne et l'exposition détaillée de la théorie newtonienneà l'aide de cette même analyse, furent l'œuvre de Laplace.

On re<)-arda en Angleterre les réclamations de Leibnitz comme une tentative faite pourenlever à Newton la gloire deson invention ; de part et d'autre, les jalousies nationales intervinrent pour embrouiller la question. On s'explique alors naturellement pourquoi les méthodes géométriques et la méthode des fluxions, telles que les employait ÎNewton, furent seules, et cela malheureusement, étudiées et usitées en Anglelerre. De ce fait l'Ecole anglaise demeura plus d'un siècle sans contact avec les mathématiciens du continent. La conséquence en lût que, malgré la brillante cohorte d'élèves formés par Newton, les perfectionnements successifs apportés sur le continent aux méthodes d'analyse lurent presque ignorés en Grande Bretagne. La valeur de ces nouvelles méthodes analytiques ne fut complètement admise en Angleterre que vers 1820, et ce n'est qu'à partir de cette époque que l'on voit les compatriotes de

/,S HISTOIRE DES M\T1IÈMA.TIQL ES

Newton prendre de nouveau une large part aux progrès des malhénialiques.

Abandonnant maintenant cette longue conlniNersc, passons à {■('•lude des mémoires mathénialiques produits par I.oihnil/. et dont les plus importants furent publias dans les \cia l'iraditovam. Ils i-mdent principalement sur les applications du calcul infinitésimal ri sur diverses questions de mécanique.

J.es seuls mémoires ayant une importance de premier ordre

xtnt relatifs au calcul dilTérentiel. Le plus ancien fut publié en

octobre 1G8/1 dans le recueil précité. Leibnil/ y expose une métbode

::énéralc pour trouver les niaxiiua et les niininia. cl pour tracer les

tangentes aux courbes. Un [)rol)lruic inverse, à savoir : trouver la

cDurbc dont la sous-langenle est conslante y est également discuté.

La notation est celle que nous connaissons, les dérivées de x'",

des produits et des quotients sont calculés. Iji i (')8G il écrit un

mémoire sur les princijies du nouveau calcul. Dans ces deux, mc-

iiioircs le principe de continuité est explicitement admis, l'cxpo-

silion de la métbode est basée sur l'emploi des iulinimcnt petits

et non sur celui de la valeur limite des ra[)|)orts. I']n réponse à

(pielques objections présentées en iCg'i par Bernard TNieuwenlyt

dv . . . . , . c>

(pu avançait que ," représentait une quanlilc n ayant comme ^^

aucun sens, Leibnitz expliqua comme Barrow l'avait déjà fait, que,

géométriquement, la valeur de / pouvait être regardée comme le

iap])ort de deux quantités finies. Nous estimons que l'exposédu but cl des métbodes du calcul infinitésimal, tel qu'on le trouve dansées opuscules, quisontles trois plus importants mémoires que Leibnitz ait publiés sur ce sujet, est quelque peu obscur, cl (jue la tentative de l'auteur d'appuyer ses explications sur des bases métapbysiques, n'est pas de nature à remédier à ce défLiut ; mais le fait, cpie dans les matlicmatiques modernes, tous les résultais sont ex[)riniés au moyen de l'algorilbnie inventé par Lcil)iul/ doit être considéré comme un magnifique témoignage en faveur de son fi'uvre.

Ln 1O92, Leibnitz écrivit un mémoire dans. lequel il posait les fondements de la tbéorie des enveloppes. Otte ibéorie fut de nouveau développée en 169/1 dans un nouvel arlicleoù il inlrodui-