CHAPITRE XVH. LE1BMT7. ET XES BEBNOU'ÎLl /(Q

sait pour la première fois les terme? de « coordoTmées » et a. d'axes des coordonnées i).

Leibnitz publia également un i; rand nombre de notes sur des questions de mécanique ; mais quelques-unes coutiennenl des erreurs montrant qu'il n'avait pas compris les principes de celte science. Ainsi, en i(J8j, il écrivit un mémoire pour déterminer la pression qu'exerce une sphère de poids P appuyée sur deux plans ; il supposait les plans inclinés sur l'horizon d'angles complémentaires, cl disposés de telle sorte que les hgnes de plus grande pente soient perpendiculaires à leur intersection. Il avance à ce propos que la pression sur chaque plan doit donner lieu à deux composantes (' unum quo decliviter descendere tendit, allerum quo planum déclive premit ». Il dit ensuite que, pour des raisons métaphysiques, la somme des deux pressions doit être égale à P. De là, si R

et R' sont les pressions demandées, et a et -- — a sont les inclinaisons des plans, il conclut que

R = - P (i — sin a -j- ces a^ et R' = - P (i — ces a + sin o.).

Les vraies valeurs sont

R =r Pcosa, et R' = Psinx.

Néanmoins quelques-unes de ses notes sur la mécanique ont de la valeur. Nous citerons les plus importantes; deux, en i68() et iGf)'i, où il résout le problème consistant à trouver une courbe isochrone; une en 1697, sur la courbe de plus rapide descente (c'était le problème envoyé en défi à Xeuton) ; et deux en 1694 et 1692 dans lesquelles il fait connaître l'équation intrinsèque de la courbe formée par une corde flexible suspenduelibrement par ses deux extrémités, c'est-à-dire de la chaînette, mais sans donner la démonstration. Ce dernier problème avait été, à l'origine, proposé par Galilée.

En 1689, c'est-à-dire deux ans après la publication des P/vnc;/)/a, il étudia les déplacements des planètes, qui, prétendait-il étaient R. B. — To.iic H. 4

5o HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

produits par le mouvement Je l'éther. Non seulement les équations (lu mouvement auxquelles il arriva sont erronées, mais les déductions qu'il en tirait ne concordaient même pas avec ses propres axiomes. Dans un autre mémoire publié en 1706, c'est-à-dire environ vingt ans après la composition des Principia, il reconnaissait que quelques erreurs s'étaient glissées dans sa première note, mais il maintenait ses conclusions précédentes, et résumait le sujet en disant u il est certain que la gravitation engendre à chaque instant une nouvelle force vers le centre, mais la force centrifuge également en engendre une autre éloignant du centre... La force centrifuge peut être considérée sous deux aspects, suivant que le mouvement est traité comme s'elTectuant sur la tangente à la courbe ou sur l'arc de cercle lui-même ». Il paraît évident, d'après ce mémoire, qu'il ne saisissait pas réellement les principes de la dynamique, et il est à peine nécessaire d'examiner plus complètement ses travaux sur ce sujet. Beaucoup de ses recherches sont rendues défectueuses parla confusion constante qu'il fait entre la quantité de mouvement et l'énergie cinétique. Quand la force est « passive » il emploie le premier algorithme qu'il appelle vis morliia, comme mesure d'une force ; quand la force est « active » il se sert du dernier, dont il appelle le double de la valeur « vis viva ».

Les séries étudiées par Leibnitz comprennent le développement de log (i H- x), sinx, arcsinx et arctgx, qui tous avaient déjà été donnés. Leibnitz (comme Newton) reconnut l'importance des remarques que Jacques Grégory avait faites concernant la nécessité de s'assurer de la convergence ou de la divergence des séries infinies, et il proposa une règle pour reconnaître si les séries alternées convergent ou non. En 1693, il expliqua la méthode de développement en séries par les coefficients indéterminés, mais les applications qu'il en donne contiennent certaines erreurs.

Leibnitz a fait preuve dans scsœuvresdunegrande habileté d'analyste, mais il a laissé beaucoup de sujets inachevés; cnlm il a commis fréquemment des erreurs lorsque, abandonnant ses symboles, il a tenté d'interpréter ses résultats. Il est hors de doute qu» les exigences

CIIAPITRE Wll. LEIHMT/ ET LES BERNOULLI 5l

delà politique, de la philosophie et de la littérature lui prirent beaucoup de temps et l'empêchèrent d'étudier d'une façon complète les problèmes qu'il abordait ou d'écrire un exposé systématique de ses vues ; à vrai dire, cela n'excuse pas les erreurs de principes qui se rencontrent dans ses écrits. Dans quelques-uns de ses mémoires se trouvent les germes de méthodes devenues de nos jours des instruments précieux d'analyse, telles que l'emploi des déterminants et des coefficients indéterminés : mais lorsqu'un écrivain d'un génie si varié queLeibnitz émet des idées sans nombre, on doit présumer que quelques-unes seulement d'entre elles seront heureuses, et, faire lenumération de ces dernières, sans mentionner les autres, ne pourrait laisser qu'une impression fausse de la valeur de son œuvre. Malgré cela, son titre à la renommée repose sur une base solide, car son nom se trouve lié d'une façon inséparable à l'un des principaux instruments de l'analyse moderne, le Haut calcul, de même que celui de Descartes — un autre philosophe — l'est à la Géométrie analytique.

Par ses mémoires dans les Acta Erudiloriim, Leibnitz fut un des auteurs du continent qui familiarisèrent les mathématiciens avec l'emploi du calcul différentiel. Parmi les autres, les plus remarquables furent Jacques et Jean Bernoulli, qui tous deux étaient amis et admirateurs de Leibnitz, et qui, par leur campagne dévouée, contribuèrent largement à sa réputation. Non seulement ils prirent une part proéminente à la discussion de presque toutes les questions mathématiques dont on s'occupait à cette époque, mais presque tous les mathématiciens en renom sur le continent, durant la première moitié du xvni° siècle, subirent directement ou indirectement l'influence de l'un ou l'autre ou même de l'un et l'autre.

Les Bernoulli (*) (ou Bernouilli comme on les appelle quelquefois, et peut-être plus correctement) descendaient d'une famille hollandaise qui, chassée de son pays parles persécutions espagnoles s'était établie à Bâle, en Suisse. Le premier membre de la famille qui se créa un renom de mathématicien, fut Jacques.

('; Voir IV'xposo donné dans Alhjemeine Deulsche Biograplde, vol. Il; Lciii/ig 1875. pp. 470-483.

5a UISTOIBE DES MATQÉM.VlIQtES

Jacques BernouUi {^ ). — Jacijiies Bernoulli naquit à Bàle le 27 dccenibre iGô i ; en iG8(j il fut chargé d'une chaire de mathématiques à l'Université de cette ville, et il l'occupa jusqu'à sa mort, qui survint le lOaoùt 170.").

L un des premiers, il sut apprécier le puissant instrument d'ana- Ivse qu'était le calcul infinitésimal et l'appliquer à i)lusieurs problèmes. Usant fort heureusement de sa grande inlluence, il préconisa avec succès l'emploi du calcul dilTérenliel ; ses leçons sur ce sujet, qui furent [)résentces sous la forme de deux essais composés en 1691 , et se trouvent insérées dans le second volume de ses œuvres, montrent combien il avait, dès cette époque, saisi complètement les principes de la nouvelle analyse. Ces écrits, où le mot inléirrale figure pour la première fois, constituent le plus ancien essai pédagogique de calcul intégral : car Leibnitz avait traité chaque problèuie indépendamment de résultats généraux établis par avance, cl n'avait posé aucune règle générale sur le sujet.

Les découvertes les plus importantes de Jacques Bernoulli sont sa solution du problème de la courbe isochrone, sa démonstration (le l'exactitude de la construction de la chaînette donnée par Leibnitz, et son extension à la construction de la courbe affectée par une corde extensible de densité variable, soumise en chaque point à l'action d'une force dirigée vers un centre fixe; la détermination de la forme que prend une tige élastique fixée par l'une de ses extrémités et dont l'autre est actionnée par une force (-) ; celle de la figure que prend un rectangle fait d'une substance llexlble dont deux côtés sont fixés horizontalement et qui est rempli d'un liquide pesant (^), et enfin la courbe dessinée par une voile enllée par le vent (*). En 1696, il proposa un prix pour la solution générale du [troblème des isopérimètres, c'est-à-dire des figures d'un périmètre donné présentant une aire minimum; sa propre solution, publiée en 1701, est exacte pour tous les cas qu'il examine. En i()98, il publia un essai sur le calcul dilTérentiel ek ses applications

(') Voir son Ehxjc par H. ue t'"oMEM:i.LE, l'arls 1760, et Moxncx.v Histoire, \ol. II. Une édition des œuvres de Jacoles Ber>ollli a été publiée^ en deux volumes à Genève, en ij'ii, et Ttiistoire de sa vie se trouve en tête du i*^"" volume.

{-) (j'esl VIClastica.

(■') C'est la Liiitcuriu.

('»j C'est la \ claria.