LAGRANGE, LAPLACE ET LEURS CONTEMPORAINS

(de 17^10 A i83o)

Le chapitre précédent contient l'histoire de deux Ecoles distinctes — l'Ecole continentale et l'Ecole britannique. Dans les premières années du xviii" siècle, cette dernière se montre féconde et pleine de vigueur; mais elle tombe rapidement en décadence et, après la mort de Maclaurin et Simpson, on ne voit apparaître aucun mathématicien anglais pouvant être comparé aux géomètres du continent de la seconde moitié du même siècle. Ce fait s'explique en partie par l'état d'isolement de l'Ecole anglaise, et en partie par sa tendance à adopter d'une façon trop exclusive les méthodes géométriques et la méthode des fluxions. Les applications scientifiques attirèrent cependant un p?u l'attention; mais, en dehors de quelques observations présentées à la fin de ce chapitre, nous ne pensons pas qu'il soit nécessaire d'étudier en détail les mathématiciens anglais antérieurs à 1820, époque à laquelle les méthodes analytiques reprirent vigueur en Grande-Bretagne.

Sur le continent, sous l'influence de Jean Bernoulli, le nouveau calcul était devenu un instrument d'une grande puissance ; grâce surtout à son admirable notation : pour les applications pratiques, une bonne notation est sans prix. Cependant les recherches

So IIISTOIIU: DES M vniKMATIt^iLES

mécaniques s'claiciil iiiaiiitcmies au [miiit où Ne\\ Ion ks avait laissées, jusqu'à ce que d'Alcmijert en eut étendu les limites au niovendu calcul dilTérentiel. La ^'lavitation universelle, telle qu'elle se trouvait énoncée dans les Principia, était acceptée comme un lait établi, mais les méthodes géométriques adoptées pour les démonstrations étaient difficiles à suivre ou à employer dans les problèmes analogues ; Maclaurin. Simpson cl Cllairaut peuvent être regardés connue les derniers nialhénialiciens en renom qui ■en firent usage. Enfin la tlii'(»ric Ncwlnnienne de la Imuirrc était généralement adoptée.

Les principaux matlu-maliciens de la période dans hicpicllc nous -allons entrer sont Euier, Lagrange, Laplacc cl Legendre. Dune façon succincte, nous pouvons dire qu'Eulcr étendit, résuma et cum[)léta l'œuvre de ses prédécesseurs; et que Lagrange, avec un talent presque sans égal, développa le calcul inlinitér^imal et la mécanique théorique en leur donnant la forme sous laquelle nuus les connaissons actuellement. En même temps, Laplace apporta quelques additions au calcul infinitésimal et l'appliqua à la théorie <le la gravitation universelle ; il créa également le calcul des probabilités. Enfin Legendre créa l'analyse des sphériques harmoniques, les intégrales elliptiques, et compléta la théorie des nombres. Les œuvres de ces géomètres sont encore classiques. Nous nous contenterons de présenter un simple aperçu des principales découvertes qu'elles renferment, renvoyant au\ ouvrages mêmes ceux qui désireraient étudier leurs travaux de manière plus -approfondie.

Lagrange, Laplace et Legendre ont créé une Ecole française dont nous ré[)artirons les membres en deux groupes : l'un (comprenant Poisson et Fourier) commença à appliquer l'analyse mathématique à la physique; l'autre (comprenant Monge, Garnot et Poncelet) créa la géométrie moderne. Rigoureusement parlant, quelques-uns des grands mathématiciens modernes, tels que Gauss et Abel, furent contemporains des géomètres dont nous venons de citer les noms; nous avons pensé cependant qu'il était préférable ■de renvoyer au chapitre suivant létude de leurs travaux.

CHAI'ITUE \VII(. DÉVELOPPEMENT DE l'aNVLYSE, ETC. 8l

DÉVELOPPEMEM DE L'AN.VLYSE ET DE L.V MÉC.VMQUE

Euler '). — Léonard Ealer naquit à Bàle, le i5 avril 1707 et mourut à Saint-Pétersbourg le 7 septembre i7(S.*>, Fils d'un ministre luthérien qui s'était fixé à Bàle, il lit ses études dans sa ville natale sous la direction de Jean Bernoulli et s'y lia avec ses fds Daniel et Nicolas pour toute sa vie. Lorsque, sur l'invitation de l'impératrice, ceu\-ci se rendirent en Russie, en 1725, ils lui procurèrent dans ce pays une situation qu'il échangea en 1783 pour la chaire de mathématiques laissée vacante par Daniel. La rigueur du climat lui causa une maladie des yeux et, en 1735, il perdit complètement l'usage d'un œil. En 1741 il se rendit à Berlin à la requête, ou plutôt sur Tordre de Frédéric-le-Grand ; il y séjourna jusqu'en 176G, y fut remplacé par Lagrange et revint en Russie. Deux ou trois ans après son retour à Saint-Pétersbourg, il devint aveugle; malgré cette infirmité et. bien que sa maison et beaucoup de ses mémoires eussent été brûlés en 1771, il y refit et perfectionna la plupart de ses anciens écrits. Il mourut d'apoplexie.

On peut résumer l'œuvre d'Euler en disant : qu'en analyse il créa beaucoup, qu'il reprit l'élude de presque toutes les branches des mathématiques pures alors connues, les complétant dans leurs détails, et dans leurs démonstrations, les disposant sous une forme bien ordonnée. Un pareil travail est très important et c'est une bonne fortune pour la science qu'un homme du talent d'Euler le mène à bonne fin.

Euler mit au jour un nombre immense de mémoires sur toutes sortes de sujets mathématiques. Voici ses principales a^uvres.

En premier lieu il écrivit en 17^8 son Inlrodaclio in Analysin Injînitorum, ouvrage composé pour servir d'introduction aux mathématiques pures. Il est divisé en deux parties.

(•) Les principaux événements de la vie (I'Eller sont exposés par N. Ftss, cl une liste de ses écrits se trouve en tête de sa Correspondance, 2 vol. Saint- Pétersbourg, 1843. Voir aussi Index Operum Eulcri par J. G. H\ges, Berlin, 1896. Les premiers travaux d'EuLER sont examinés par Cantou ; cliap. cxi, cxni, cxv et cxvii. Une édition complète des œuvres d'Euler n'a pas encore été publiée, bien qu'à deux reprises différenles on ait tenté de le faire.

R. B. — Tome H. 6

Sa HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

La picmlèrc renferme rcnscmblc des malièrcs que l'on peut trouver dans les classiques modernes sur l'algèbre, la théorie des équations et la trigonométrie. En algèbre, il s'occupe particulièrement de développer en séries diverses fonctions et de sommer des séries données ; il montre explicitement qu'une série inlinie ne peut être sûrement employée si elle n'est convergente. Dans sa Trigonométrie, inspirée en grande partie de l'ouvrage de Maycr, Arilhmelic of Unes, qui avait été [)ublié eu 1727, Eulcr développe cette idée de Jean Bernoulli que la trigonométrie est une branche de l'analyse et non un simj)le ai)pendice à l'astronomie ou à la géométrie. Il y introduit (en même temps que Simpson) les abré^ vialions courantes pour les fonctions trigonométriques, et montre que ces dernières et la fonction exponentielle sont liées par la relation

cos6 + i sin 0 = e' .

Nous rencontrons ici le symbole «.' qui désigne la base des logarithmes Népériens, c'est-à-dire le nombre incommensurable 2,71828..., et le symbole tt qui représente le nombre incommensurable 3,1 'u 5g... L'emploi d'un symbole pour désigner le nombre 2,718-28... semble dû à Cotes, qui se servait de la lettre M; Euler, en 1781, le représentait par e. Autant que nous le sachions. Newton a été le premier à user de la notation littérale exponentielle, et Euler, employant la forme a-, a pris a comme la base de tout système de logarithmes : il est probable que le choix de e pour une base particulière a été adopté parce que c'est la voyelle qui suit a. L'usage d'un simple symbole pour représenter le nombre Oji/iiog... ne paraît ]ias être antérieur au commencement du xviii* siècle. En 1706, W. Jones représentait ce nombre par ;:, symbole qui avait été employé par Oughtred en 1647 ^^ par Barrow quelques années plus tard pour désigner la périphérie d'im cercle. Jean Bernoulli se servait de la lettre c ; Euler en i73'i employait p et, dans une lettre de 1706, où il énonçait ce théorème que la somme des carrés des inverses des

nombres naturels est ^rr^, il utilisait la lettrée; Chr. Goldbach

employait - en 17/12; après la publication de V Analyse d'Euler, le symbole n fut généralement usité.