CHAPITRE XVIII. DÉVELOPPEMENT DE l'aNALYSE, ETC

Les nombres e et r. doivent entrer dans l'analyse malhcmaiique de quelque cùté que l'on aborde le sujet. Le dernier, entre autres choses, représente le rapport de la circonférence d'un cercle à son dianièlrc, mais ce n'est qu'accidentellement que cette propriété a été prise pour sa définition. Dans son Bmhjet of paradoxes, De Morgan cite une anecdote qui montre combien la définition usuelle du nombre - rappelle peu son origine réelle. Il expliquait à un actuaire quelle chance une fraction déterminée d'un groupe de personnes avait d'être encore en vie à la fin d'un temps donné, et il indiquait la formule actuelle dans laquelle figure tt qui, expliquait-il, représente le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Son auditeur qui, jusque là, l'avait écouté avec intérêt, l'interrompit alors en ces termes: « Ce doit être une erreur, mon cher ami ; que peut bien faire un cercle aA^ec le nombre de personnes encore en vie à une époque déterminée ? »

La seconde partie de VAnalysis Infinitoram roule sur la géométrie analytique. Euler commence par diviser les courbes en algébriques et transcendantes, puis il démontre une série de propositions concernant toutes les courbes algébriques. Il les applique alors à l'équation générale du second degré à deux variables, montre que celle-ci représente les diverses sections coniques, et établit la plupart de leurs propriétés à l'aide de l'équation générale. Il s'occupe également des courbes algébriques, cubiques, quartiques et autres. Il examine ensuite quelles sont les surfaces représentées par l'équation générale du second degré à trois variables et comment on peut les distinguer entre elles : quelques-unes de ces surfaces n'avaient pas encore été étudiées. Dans le cours de cette analyse, il donne les formules pour la transformation des coordonnées dans l'espace. Là encore nous trouvons la première tentative faite pour introduire la courbure des surfaces dans le domaine des mathématiques, et la première discussion complète des courbes à double courbure.

UAnalysis Iiifiiiilorani fut suivie en lyôô des hutiliilioiies Calculi Dijferenlialis auquel il devait servir d'introduction. C'est le premier livre classique sur le calcul différentiel qu'on puisse considérer comme complet, et l'on peut dire qu'il a servi de modèle à beaucoup de traités modernes concernant le même sujet. Il est regrettable que l'exposition des principes soit souvent prolixe et . obscure, et parfois même peu rigoureuse.

S\ Hisioinr: tes matiikmatiques

Celle série d'ouvrages fnl complélôe par la publicalion en Irois volumes, de 17O8 à 1770, des Insliliiliones Calcnli Inlccjrnlis ; on y trouve insérés les résultats de plusieurs anciens mémoires d'Eulor sur le calcul intégral et sur les équations différentielles.

(]et ouvrage, de même que le traité sur le calcul dilTérenliel, résume tout ce que l'on savait alors ; Eulcr y complète beaucoup de théorèmes connus de son temps et en améliore les démonsi rations. C'est ici que les fonctions Jièta et Gamma (') sont pour la première fois introduites en analyse, mais Eulcr s'en sert seuleiiu'nl pour la réduction et la transformation des intégrales. L'exposé que lait l'auteur des intégrales olli[)liques est superficiel : il lui lut suggéré par une relation entre les arcs d'une liyperbole et dune ellipse qu'indiqua Jean Landon dans les Pliilosnpliical iransncliom; pour 1775. Les ouvrages d'Euler précités eurent de nombreuses éditions.

Les problèmes classiques des courbes isopérimètres, de la brachistocbrone dans un milieu résistant et la théorie des géodésiques (qui tous avaient été proposés par son maître Jean lîernoulli) avaient attiré de bonne heure l'altcnlion d'Euler ; c'est en les résolvant qu'il fut amené au ddlrnl 'les purialions. 11 en exposa l'idée générale dans son Curvaram nta.i:inii inintmcvc propriclalc (jaiulciitium inventio nova ac fdcilis, publiée en 17^1/1. mais le développement complet du nouveau calcul fut l'cpuvre de Lagrange, i7r)(). La méthoâe employée [)ar Lagrange est décrite dans le calcul intégral d'Euler; on la reneonire dans ia |)lii[tarl des ouvrages modernes.

En 1770 Euler publia son lù'nicilitn'/ :nr Mijcbraon deux ^olllmes. Une traduction française, avec des additions nombreuses et im[)orlantcs de Lagrange, parut en 1791 : on y annexa un traihd'arithmétique d'Euler.

Le premier volume traite de l'algèbre ortlinaire. Il contient l'un des plus anciens essais tenté pour ('-tablir les opérations fondamentales sur des bases rationnelles : le même sujet avait altiié l'attenlion de d'Alend)ert. Cet ouvrage renferme ('gaiement la démonstration du llu'orèmc du binôme pour un exposant (luelconque, llirorèine qui porte encore le nom d'Euler ; la d('mons-

(•) I^'liisloirc de la fonction (îamma est donnée dans une monograiiliie ilc Hiu ^EL parue dans les Mémoires de la soriété des Sciences, l'ordeaux, iSIHJ.

GIIAI'ITUE XVIll. DI^VELOIU'KMEM' DE l'vNALYSE, ETC. 83

lialion, fondée sur le principe de la permanence des formes équi vaientes est convenable, mais Euler ne chercha pas à étudier la convergence de la S('ric. Il est sur[)rcnant (pi'il ait omis ce point essentiel, car il avait lui-même reconnu lu nécessité d'examiner la convergence des séries infinies. La démonstration de Yandermon. donnée en i'](')\, présente le même défaut.

Le second volume est consacré à l'analyse indéterminée ou algèbre de Diophantc. 11 contient les solutions de quelques questions proposées par Fermât et qui n'avaient pas encore été résolues.

* Sa traduction française est suivie d'une note célèbre où Lagrangc ex[)ose les très remarquables résultats qu'il obtint au sujet des fractions continues arithmétiques *.

(domine exemple de la simplicité et de la rigueur des méthodes d'Euler nous résumons sa démonstration (') de ce théorème : que tous les nombres parfaits pairs sont compris dans la formule d'Euclide i"-^ p, p étant un nombre premier de la forme 2" — i (-). Soit N un nombre parfait pair. N étant pair peut être écrit sous la forme 2"-' a, a représentant un nombre impair. N est parfait, c'est-à-dire égal à la somme de tous ses diviseurs entiers ; par conséquent, (en considérant le nombre N lui-même comme un de ses diviseurs) il est égal à la moitié de la somme de tous ses diviseius entiers, somme que nous pouvons représenter par ^N.

De l'égalité 2N = iN on déduit :

2 X 2"-' a = X2"-^ a = S3"-i X -« et

2"a =r (i -h 2 -f- ... -h 2"-^) la = (2" — \) yia;

par conséquent

Xrt 2" p -h l'

Dès lors a = Ip et la = ).(p + 1 ) et, puisque la fraction " ~~

est irréductile, ). doit être un entier positif. Les facteurs de Ap sont I , }., p et "/.p, abstraction faite de l'hypothèse X = i ; et de plus,

(') Coniinenlatioiies Arithim'licn' Collccl;r, Saint l'étcrsbourg, i84(), Vol. H. p. r>i4, art. 107 : Sylvester a fait paraître une analyse de celte démonstration dans le journal Nature, déc. i.'), 1887, Vol. XXXVII, p. lôa.