CHAPITRE XVIII. DÉVELOPPEMENV DE l'aNALYSE, ETC. f

extrêmes qu'assignait Lagrange concordent exactement avec celles obtenues plus tard par Levcrrier, et il alla aussi loin que le lui permettait la connaissance que l'on avait alors des masses des planètes ; trois mémoires sur la méthode d'interpolation, 1788, i~()'2 et 1783 ; la partie relative aux différences finies est encore aujourd'hui dans l'état oi!i Lagrange l'a laissée.

Outre ces divers mémoires, Lagrange composa son grand traité de Mécanique analytique. Dans cet ouvrage, il établit la loi du travail virtuel, et de ce seul principe fondamental il déduit, à l'aide du calcul des variations, toute la mécanique des solides et des fluides.

L'objet du livre est de montrer que la mécanique entière est implicitement comprise dans un simple [>rincipe, et de donner des formules générales permettant d'obtenir un résultat particulier quelconque. La méthode des coordonnées généralisées dont il fit usage est peut-être le résultat le plus brillant de son analyse.

Au lieu de suivre le mouvement de chaque partie individuelle d'un système matériel, comme l'avaient fait d'Alembert et Euler, il montre que si la configuration du système est déterminée par un nombre suffisant de variables, nombre précisément égal à celui des degrés d'indépendance que possède le système, les énergies cinétique et potentielle de ce système peuvent être obtenues en fonction de ces variables, et alors les équations difTérentielles du mouvement s'en déduisent par une simple difTérentiation.

Parmi les autres théorèmes, d'importance moindre, donnés dans cet ouvrage, nous pouvons citer cette proposition : que l'énergie cinétique communiquée par des impulsions données à un système matériel soumis à des liaisons données, est un maximum; enfin, le principe de la moindre action. L'anahse est présentée d'une façon si élégante que sir ^^ illiam RoAvan Hamilton appelait cet ouvrage un poème scientifique. Il peut être intéressant de noter cette idée de Lagrange, que la mécanique était en réalité une branche des mathématiques pures comparable à la géométrie à quatre dimensions, à savoir : le temps et les trois coordonnées d'un point de l'espace ; et on raconte que lui-même se vantait de n'avoir pas introduit une seule figure dans l'ouvrage. Tout d'abord aucun éditeur ne voulut se charger de publier le traité de Lagrange ; mais enfin Legendre réussit à persuader une maison de Paris d'entreprendre cette publication, et l'ouvrage parut en 1788.

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l-"n''iléric mourut en 1787, et Lagrangc qui a\all trouvé dur le cliinal de Hcrliii. accepta de grand cœur l'olTre que lui faisait Louis \VI de \enir s'établir à Paris. Il reçut en nièiue temps des inNÏtations semblables de l'Espagne et de Naples mais les refusa. Il fut accueilli en France avec de grands bonneurs et on lui ménagea un appartement spécial au Lcjuvre. Au début de son séjour il cul une attaque de neuraslbéuie telle, cju'il laissa pendant plus de deux ans sur sou biuTau, sans luémc l'ouviir, un exciu[)laire imprimé de cette mécanique qui lui avait coûté prés d'un quart de siècle de labem'. I.e désir de connaître les résultats de la Révolution le fit s(,)rtir de celte Ictbargic, mais sa curiosité ne tarda pas à se cbanger en fraveur quand il \il le développement qu'elle avait pris. Ce fut vers cette époque, i~\)>., que l'inconcevable tristesse de son existence et sa timidité excitèrent la compassion d'une jeune personne (|ui nuuIuI se marier avec lui ; elle fut pour lui une femme dévouée, à qui il s'attacba profondément. Bien que le décret d'octobre 1793, qui ordonnait à tous les étrangers de quitter la France, til ime exception nominale en sa faveur, il se préparait à fuir, quand on lui offrit la présidence de la Commission cbargée de la réforme des poids et mesures. Il contribua grandement au cboix des unités finalement adoptées et c'est grâce à son influence que la subdivision décimale fut acceptée par la Commission de 1799.

liien que Lagrange ait eu l'intention de quitter la France lorscjuil en était encore temps, il ne courut jamais aucun danger, et les différents gouvernements révolutionnaires, puis l'Empire, le comblèrent d'honneurs et de distinctions. Comme témoignage frappant du respect dont il était entouré, rappelons qu'en 179O le Commissaire français d'Italie reçut l'ordre de se rendre en grand apparat auprès du {)ère de Lagrange et de le remercier, au nom de la llépubrujue, des œuvres de ce (ils u qui faisait l'honneur de rbumaiiilé par son génie, et que le Piémont avait la gloire spéciale de le compter parmi ses enftints ». Il faut ajouter que Napoléon, lorsqu'il parvint au pouvoir, encouragea fortement les études scientifiques en France et fut pour la science un généreux bienfaiteur.

En 1795, Lagrange fut désigné pour occuper une chaire de mathématiques à l'I'^cole normale nouvellement créée, et qui n'eut qu'une courte existence de quatre mois. Ses cours étaient absolu-

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menl élémentaires ; ils ne renferment rien présentant une importance spéciale. Ils furent recueillis au moyen de la sténographie et publiés, pour que les députés puissent être ainsi en mesure de se rendre compte de la façon dont les professeurs s'acquittaient de leurs fonctions.

Lors de la création de l'Ecole polytechnique, en 1797, Lagrange y fut nommé professeur ; les mathématiciens qui eurent la bonne lortune de suivre alors son enseignement disent qu'il était absolument parfait quant à la forme et quant au fond. Partant des principes les plus simples, il conduisait ses auditeurs aux limites du sujet sans même qu'ils s'en aperçussent : par-dessus tout, il insisliiil auprès de ses élèves sur l'avantage d'employer toujours des méthodes générales et d'user de notations symétriques.

Ses leçons sur le calcul différentiel forment la base de sa Théorie des fonctions analyti<jucs, publiée en 1797. Cet ouvrage est le développement d'une idée contenue dans une note qu'il avait envoyée en 177^ aux Mémoires de Berlin, et son objet est de substituer au calcul dilTéienliel un groupe de théorèmes basés sur le développement en séries des fonctions algébriques. Une méthode à peu pics semblable avait été antéticurement employée par Jean Landen dans Sun Residiial Analysis, publié à Londres en i-')8. Lagrange pensait pouvoir ainsi éviter les difficultés que les philosophes croyaient voir dans l'exposition alors admise du calcul dillérenticl, et qui avaient trait à l'emploi des quantités infiniment grandes et infiniment petites. Le livre est divisé en trois parties : dans la première, il traite de la théorie générale des fonctions, et donne une démonstration algébrique du théorème de Taylor ; on a longtemps discuté la rigueur de cette démonstration ; dans la seconde, se trouvent exposées des applications à la géométrie et, dans la troisième, des applications à la mécanitjue. Un autre traité composé dans le même ordre d'idées, ses Leçons sur le calcul des fondions, parut en iSo/i. Ces ouvrages peuvent être considérés comme les points de départ des recherches de Cauchy, Jacobi et AVeiersliass. Plus tard, Lagrange renonçant à fonder le calcul différentiel sur l'étude des formes algébriques (' revint aux infini-

* f) I^ôcemmenl, M. Mkiiay. dans sou Trailc dWna'ysc, a liante d<> rcMiioUre en lioniieur la mûlliodc algéljiimiu. Les résullals modernes ont nroinL" ciiTunc I\. B. — Tome 11. -

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ment potil> : et dans la préface de la seconde édition de la Mccaniouc, qui parut en iSii, il en justifia reni[)loi et conclut en disant que u lorsqu'on a bien conçri l'esprit de ce système, et qu'on s'est convaincu de l'exactitude de ses résultats par la méthode géométrique des premières et dernières raisons, ou par la méthode analytique des fonctions dérivées, on peut employer les infiniment petits comme un instrument sûr et commode pour abréger et simplifier les démonstrations ».

Sa licsolulion des équations niinu'-n'tjncs. publiée en 1798, fut également le résultat de ses leçons à l'Ecole polytechnique. Dans cet ouvrage, il donne la méthode permettant d'obtenir des ^aleurs approchées des racines réelles d'une équation au moyen des fractions continues, et il énonce plusieurs autres théorèmes. Une note, qui se trouve à la fin, montre comment le théorème de Fermât, exprimé par lacongruencc a''~' — 1^0 (modyj) où/) est un nombre premier et a un numbre premier avec y), peut servir à donner la solution complète de toute équation binùuie algébrique. Il y explique aussi comment l'équation, ayan t pour racines les carrés des dillérences des racines de l'équation primitive, peut être utilisée pour fournir des indications précieuses sur la position et la nature de ces racines. La théorie des mouvements des planètes avait fait l'objet de quelques-uns de ses plus remarquables Mémoires de Berlin. En 1806^ le sujet fut repris par Poisson qui, dans une note lue devant l'Académie des Sciences, montra que les formules de Eagrange conduisaient à certaines limites pour la stabilité des orbites. Lagrange. ^ qui était présent, discuta alors la question de nouveau et d'une f, façon complète, et, dans un mémoire communiqué à l'Académie, en 1808. il expliqua comment on pouvait déterminer par la variation de constantes arbitraires les inégalités périodiques et séculaires de tout système de corps agissant mutuellement les uns sur Icsautres. , En 1810, Lagrange entreprit une revision complète de la mécanique analylifjuc, mais il mourut axant d'avoir pu achever son travail, dont il u'axail fait que les deux tiers environ.

Au physique, Lagrange était de taille moyenne, d'une constitution faible, avait des yeux bleus pâles et un teint très coloré. Gomme

telle tcnlallve était vainc. Elle est d'ailleurs sans objet depuis que les malliéinaliciens contemporains ont réussi à dégager l'analyse iiillnilésinialc de l'inluiliou géométrique. *