CHAPITRE WIII. DEVELOPPEMENT DE L ANALYSE, ETC

riiabilelé donl il fit preuve pour créer des mélliodes analyliqncs se prêtant aux queslious qu'il étudiait soit en quelque sorte phénoménale. Quand les résultats trouvés étaient reconnus exacts, il ne prenait pas la peine d'expliquer la marche suivie pour y arriver ; dans ses calculs il ne s'attachait ni à l'élégance ni à la symétrie, et il trouvait suffisant d'arriver, par n'importe quelle voie, à la solution de la question particulière qu'il étudiait.

La réputation de Laplace n'aurait pas eu à souffrir s'il s'était contenté de son œuvre scientifique ; mais il convoitait les honneurs de la vie politique. La rapidité avec laquelle il changeait d'opinion politique quand l'occasion l'exigeait, et le talent dont il faisait preuve en la circonstance prêteraient à rire s'il n'avait pas été si servile. A mesure que la puissance de Napoléon croissait, Laplace abandonnait ses principes républicains (qui avaient d'ailleurs passé par bien des nuances, depuis qu'ils reflétaient fidèlement les opinions du parti au pouvoir) et il pria le Premier Consul de lui confier le poste de Ministre de l'Intérieur. Napoléon qui désirait l'appui des savants accueillit favorablement sa requête ; mais la carrière politique de Laplace prit fin au bout de six semaines environ. Le mémorial de Napoléon porte cette mention : « Géomètre de premier rang, Laplace ne tarda pas à se montrer administrateur plus que médiocre ; dès son premier travail nous reconnûmes que nous nous étions trompés. Laplace ne saisissait aucune question sous son véritable point de vue : il cherchait des subtilités partout, n'avait que des idées problématiques, et portait enfin l'esprit des infiniment petits jusque dans l'administration. » Bien que Laplace ne fut plus ministre, il était avantageux pour le gouvernement de conserver son attachement ; il fut donc nommé sénateur et en tète du troisième volume de la Mécanique céleste il inséra une note pour dire que, de toutes les vérités exposées dans l'ouvrage, la plus précieuse, pour l'auteur, était la déclaration qu'il faisait en ce moment de son dévouement povu' le puissant protecteur de la paix de l'Lurope. Cette note disparut des exemplaires vendus après la Restauration. En iSil, la chute de l'empire était imminente ; Laplace se hâta d'offrir ses services aux Bourbons, et lors de la Restauration, il tut récompensé par le titre de Marquis : on peut se rendre compte, en lisant Paul-Louis Courier, du mépris que ses collègues plus loyaux ('prouvèrent pour sa conduite.

io8 msToinr; des mathématiques

Sps connaissances servirent nlilemenl les nonii)reuses commissions scicnlifiqnes dont il (it partie et conlrihuèrcnt jirobablemcnl à faire oublier son peu de fidélité politique ; la petitesse de son caractère ne saurait cependant nous l'aire perdre de vue les services immenses qu'il rendit à la science.

Que Laplace ait été vain et égoïsie, ses plus cbauds admirateurs eux-mêmes ne le nient pas ; sa conduite à l'égard des bienfaiteurs de sa jeunesse et de ses amis polilicpies fut in<,'rate et méprisable ; mais le fait de s'être approprié les résultats obtenus par ceux qui étaient relativement peu connus, et qui paraît parfaitement établi, est absolument sans excuse. Trois de ceux qu'il traita ainsi se firent plus lard im brillant renom f Legcndre et Fourier en France, "N ouug en Angleterre) et n'oublièrent jamais Tinjuslice dont ils avaient été victimes. D'un autre côté, on |i('nt dire que dans certaines circonstances Laplace lit preuve d'iiidéjjcndance de caractère, et qu'il ne dissimula jamais ses idées religieuses, pbilosopbiques ou scientifiques, si blâmables qu'elles pussent paraître aux yeux des détenteurs du pouvoir. Ajoutons encore que sur la fin de sa vie, et surtout pour ses élèves. Faplacc se montra à la fois généreux et juste ; il lui arriva même une Ibis de détruire une note pour laisser à un de ses élèves le mérite d'one découverte.

Legendre. — Adrien-Marie Legendre naquit à Toulouse le i8 septembre 1702, et mourut à l^aris le 10 janvier i8.33. Les principaux événements de sa vie sont très simples et peuvent se résumer brièvement. Il fit ses études au Collège Mazarin, à Paris, et fiit nomme, en 1777, professeur à l'Ecole militaire de Paris; cboisi ensuite pour faire partie de la Commission anglo-française de 1787, cbargée de relier géodésiquemont Croonvvicb et Paris ; devenu membre de plusieurs des commissions publiques qui fonctionnèrent de 1799 à 1810. il fut nommé professeur à l'Ecole normale en 179") ; pbis tard, il occn|>a quelques emplois gouvernementaux de peu d'importance.

Ea|)lace s'employa avec acbarncuuMil à l'empêcher d'oblcnir un emploi ])nblic quelconque et f^egendre. (pii était un timide, accepta l'obscurité à laquelle l'hostilité de son collègue le condamnait.

Les travaux de Legendre sont d'un ordre supérieur ; ils se classent immédiatement après ceux de Lagrange et de Laplace, bien qu'ils

chapithe xviii. — l)i;m;loi'1'i;mi;.\t di: l anaiask, i;rc. 109

ne préscnlent pas le même caractère d'originalité. Ses principaux ouvrages sont : sa Géomelrie, modèle du genre * mais déligurée par d'obscurs commentateurs *, sa T/tcorie <lcx nombres, son Calcul Inlcijral et ses Fondions elllpti<jucs. Ils renferment la substance de divers ménu)ircs (]u'il présenta sur ces sujets. 11 écrivit, en outre, un traité où il donna la règle des moindres carrés, et deux groupes de mémoires, l'un sur la théorie des attractions et l'autre sur les opérations géodésicjues.

Les mémoires sur les attractions eont analysés et discutés dans l'ouvrage de Todliunter, IJlslory of Ihc llicories oj Allractlon. Le plus ancien, qui fut présenté en 17S0, traite de l'attraction des sphéroïdes. On y trouve introduits les coefficienls de Legendre qui sont des cas particuliers des coefficients de Laplace ; il contient également la solution d'un problème oii il fait usage du potentiel. Le second mémoire parut en 1784, et traite de la forme d'équilibre d une masse liquide à peu près sphérique, animée d'un mouvement de rotation. Le troisième, écrit en 1786, traite de l'attraction des ellipsoïdes de mêmes foyers. Dans le quatrième, il étudie la forme que prendrait une planète fluide et la loi de variation de sa densité.

Ses notes sur la géodésie sont au nombre de trois et furent présentées à l'Académie en 1787 et 1788. Le résultat le plus important auquel il arrive est celui qui permet de traiter un triangle sphérique comme un triangle plan, sous condition d'apporter aux angles certaines corrections. En corrélation avec ce sujet, il s'occupe beaucoup des lignes géodésiques.

La méthode des moindres carrés se trouve énoncée dans ses Nouvelles Mélhodes publiées en 1806, ouvrage auquel des suppléments ont été ajoutés en i8io et 1820. Gauss était arrivé indépendamment au même résultat, l'avait utilisé en 1790, et l'avait publié en 1809. Laplace est le plus ancien auteur qui en ait donné une démonstration, en 1812.

Des autres ouvrages de Legendre, le plus connu est celui intitulé : Eléments de (/éométri'', qui fut publié en 1794^ et qui, à une certaine époque, était très répandu sur le Continent où il avait remplacé Euclide. La dernière édition contieat les éléments de la trigonométrie et des démonstrations de l'incommensurabilité de ir et de ~^ Un appendice sur la question difficile de la théorie des pa-

IIO HISTOIKK nns M VTinCMATIOLES

ralli'les. paru en i^io.'i, a été incorporé il;ins la plupart tics éditions qui suivirent.

Sa Théorie des nombres fut j)ul)liéo en 1798 et des appendices v lurent ajoutés en 181 (i et 18).") : la troisième édition parut en deux volumes en 1800 : elle contient l'ensemble de ses recherches sur ce sujet; elle est resiée toujours classique 0). On peut dire que Legendre a conduit la théorie des nombres aussi kiiii qu'il était pi lisible de le faire au moven de l'aliièbre ordinaire ; la création d'une arithmétique supérieure, formant mie branche distincte des mathématiques, devait être l'd'uvre do ses successeurs.,

La loi de réciprocité quadratique, qui établit une relation entre doux nombres premiers impairs quelconques, se trouve démontrée j)our la première fois dans cet ouvrage, mais ce résultat avait déjà été énoncé dans un mémoire de 178J. CJauss appelait cette proposition « le joyau de l'arithmétique » et on n'en trouve ])as moins de six démonstrations difiorcntes dans ses œuvres. ^ oici le théorème en question.

Si/) est un nombre premier et n un nombre premier avec p,

nous savons que l'expression na '""' divisée par/> donne pour reste H- I ou — I . Legendre représentait ce reste par f - 1. Quand le reste

est -H I, il est possible de trouver un nombre carré parfait qui, divisé par }), donne pour reste n, c'est-à-dire que n est un résidu quadratique de y). Quand le reste est — i, un tel nombre carré parfait n'existe pas, et n est un non-résidu de p. La loi de réciprocité quadratique est exprimée par ce théorème que, si a et h sont deux nombres premiers impairs quelconques, on a :

Ainsi^ si b est un résidu de a, a est également résidu de b, à moins que les nombres preir.iers a et 6 soient tous les deux de la forme A m -H 3. En d'autres termes, si a et b sont des premiers impairs, nous savons que

(à^^~''^ = ± i(mod. //), et 62-^""') = ± i(mod. a); et (luc, par la loi de Legendre, les doux signes seront ensemble

(1) Rcimprimûc en lyoo. Paris, Ilcnnanii, 2 vol. in 4».

cnAPirnF. \\m. — développkmknt di: l'anaiasi:, r.rc. 1 1 1

plus ou moins, hors le cas où a et h seraient tous deux de la forme /( m -i- 3. Dès lors, si ini nombre premier impair est un nonrésidu d'un autre, ce dernier sera à son tour un non-résidu du premier. Gauss et Kummer ont, plus lard, démontré des lois semblables de réciprocité cubique et bicpiadraticpic : on a basé sur leurs recherches une branche importante de la théorie des nombres. L'ouvrage de Lcgendre contient encore cette utile proposition qui permet, quand la chose est possible, de réduire une équation indéterminée du second degré à la forme ax^ -\- by- + ce- = o. Leg-endre examine aussi les nombres qui sont les sommes de trois carrés ; et il démontre enfin (art. ''|o4) que le nombre des nombres premiers moindres que n est approximativement.

log,, n — I .oSoGG ' Les Exercices de calcul intégral parurent en trois volumes en 1811. 1817 et 182G. Le troisième volume est consacré aux fonctions elliptiques ainsi que la plus grande partie du premier ; toutes ces matières se trouvent finalement reproduites dans les Fonctions elliptiques. Le reste de l'ouvrage se rapporte à des sujets de caractères variés. On y trouve, entre autres, l'intégration par séries des intégrales définies et, en particulier, une discussion bien étudiée des fonctions Bêta et Gamma.

Le Traité des Jonctions elliptiques fut publié en deux volumes en 1825 et 1826 ; et c'est le plus important des ouvrages de Legendre. Quelques semaines avant sa mort, il compléta l'œuvre par un troisième volume qui contient trois mémoires sur les recherches d'Abel et de Jacobi. Les premières études de Legendre sur ce sujet se trouvent dans une note écrite en 178G, sur les arcs elliptiques, mais là, comme dans plusieurs autres notes, il traitait simplement la question comme problème de calcul intégral, sans voir qu'elle pouvait être considérée comme une trigonométrie supérieure, constituant une branche distincte de l'analvse. Il construisit des tables d'intégrales elliptiques. L'exposition moderne du sujet est basée sur les travaux d'Abel et de Jacobi. La supériorité de leurs méthodes fut reconnue de suite par Legendre, et l'un des derniers actes de sa vie fut de préconiser ces découvertes malgré qu'elles dussent avoir pour elTet, il s'en rendait bien compte, de faire oublier ses propres recherches.

I 1 i IIISTOIUE DES MATHEMATIQLES

Ce que nous venons do dire doit nous rappeler, et nous insislons à dessein sur ce [)oint, que (iauss, Ahel. .lacobi et quelques autres des mathématiciens mentionnés dans le clia])itre suivant iuri-nl contemporains de l'Ecole Française.

"' Meusnier. — Jean-Baplislc-Mar'w ( Iharles Meusnicr de In Place, naquit à l'aris le ii) juin i7."j'i cl mourut à Gassel le 17 juin i7<j3. 11 lui oKicierdu génie cl entra en 17SI à l'Académie lies sciences. On lui doit d'inq^ortants travaux géométricpics et tout particulièrement un théorème bien connu qui conq^lète les recherches d'Eulcr sur la courbure des sections normales à une surface : le rayon de courbure d'une section oblique d'une surliice est la projeclion sur le plan de celle section du rayon de courjjurc de la section normale faite par la lan^cenle à la section oblique. Il a fait de beaux travaux sur la navigation aérienne qui d(,)ivenl ètic prochainement mis en lumière par un savant français *.

' Lhuillier. — Siinon-Anloine-Jcan Lluiillicr, uiminl à (jenè\c le -j'i a\ril 1700 et mourut le 28 mars iS'io. Il fut d'abord précepteur en Pologne des enfants du prince Czartoriski et obtint en 1786 un prix sur un sujet propose ])ar l'Académie de licrhu; il s'agissait de donner une définition claire et précise de l'inlini mathématique.

On lui doit un nombre considérable de mémoires concernant la théorie des polygones et des polyèdres, les séries, les questions de probabilité, la géométrie du cercle et de la sphère et aussi deux ouvrages remarquables ; Elêinenls (ranlliiiHiniuc et de (jcuiuclru', Elémenls c/V/na/v.vt' yconictrifjne *.

Pfaff. — (liions encore un autre savant dont les travaux se rap|)()rlenl smtoul au calcul intégral, Jean-Frederic Pfn[f\ né à Sliillgart le 22 décembre 17(»Ô, et mort à Halle, le ■> 1 avril iS>r», I^aplacc en [larle connue du ni;Uli(''mali(ien le plus ('■miiiciil dr rAllemagnc au commencement du xix'' siècl(>, appréciation (pii aurait été assez exacte si Gauss n'avait pas existé.

l'faff fut le précurseur de l'Ecole allemande cpii, avec Gauss et ses successeurs, ouvrit de nouvelles voies au développement îles mathématiques au xix" siècle. 11 était ami intime de Gauss, cl en