CHAPITRE XIX

LES MATHÉMATIQUES AU XIXe SIÈCLE

Le xTx*" siècle a vu surgir, en mathémathiques pures, de nombreuses branches nouvelles. Xotamment la théorie des nombres ou arithmétique supérieure ; la théorie des formes et des groupes ; la théorie des fonctions de périodicité multiple ou trigonométrie supérieure ; enfin la théorie générale des fonctions, embrassant les vastes régions de l'analyse supérieure. Les développements de la géométrie analytique et synthétique ont également engendré de nouveaux sujets d'études. Enfin l'application des mathématifjiies aux problèmes de la physique a révolutionné les fondements et l'exposition de cette science.

Une pareille extension peut, à juste titre, être considérée comme ouvrant une nouvelle période dans l'histoire, ; un futur écrivain, qui envisagerait l'histoire comme nous l'avons fait, aurait tout lieu de traiter les mathématiques des xvii'' et xviii" siècles comme formant une période distincte, et de considérer le xix" siècle comme l'origine d'une nouvelle période. Une pareille division impliquerait alors une étude à peu près complète et systématique des mathématiciens du xix" siècle. Mais il nous est évidemment impossible de discuter d'une façon impartiale les œuvres mathématiques d'une époque aussi rapprochée et les travaux de mathématiciens dont quelques-uns vivent encore et dont d'autres nous sont personnellement connus. C'est pourquoi nous n'avons pas la prétention de faire l'histoire complète des mathématiques au cours du xix" siècle ; nous nous contenterons de mentionner les faits les plus saillants de l'histoire contem^joraine des mathématiques pures en y compre-

\ô'\ inSTOmE DES MATHEMATIQUES

nanl la dynamique lliéoiiquc et rasliononiie ; nous ne nous occuperons qu'incidemment des récentes applications des mathématiques à la physique.

Dans quelques cas seulement nous donnons des détails sur la vie et les œuvres des mathémaliciens, et nous complt'tons par quelques courtes notes nos renseignements sur ceux d'entre eux qui ont étendu quelque hranclie nouvelle, en précisant la [)arlie sur laquelle leur attention sest particulièrement fixée. Même en nous renfermant dans ces limites, il nous a été très difficile de faire un exposé bien ordonné des mathématiques contemporaines ; nous répétons intentionnellement et en insistant : que nous ne prétendons pas (nos lecteurs ne doivent pas l'oublier), donner ici les noms de tous les principaux savants qui ont écrit sur les mathématiques. En fait, la quantité de matériaux produits a été si grande que personne ne peut espérer faire plus qu'étudier les ix>uvres relatives à une certaine branche ou à quelques branches spéciales. Nous pouvons ajouter à l'appui de cette remarque que la Commission nommée par la Société Royale pour préparer un catalogue des publications sur ce genre de littérature, a trouvé, en 1900, qu'il se publiait actuellement par an plus de 1 5oo mémoires de mathématiques pures et plus de 4o 000 sur des sujets scientifiques.

La plupart des histoires des mathématiques ne parlent pas des ouvrages parus dans le courant du xix*" siècle; nous connaissons cependant quelques exceptions dont voici les principales : une courte dissertation par II. llankel, intitulée : Die Enlwichclan>j (1er Malhemalih in den lelzleii Jahrkunderlen, Tubingue, iSSÔ ; les onzième cl douzième volumes de VJIisloire des sciences de M. Marie, dans lesquels on trouve quelques notes sur les mallit'inaticiens qui naquirent dans le dernier siècle ; l'ouvrage de Gerliardl, Geschichte der Malhemalih in Dealschland, Munich, 1877 ; un Discours de C. Ilermile sur les professeurs, de la Sorbonne, dans le liuUetin des sciences mathématiques, 1890 ; les LccUu\s on Malhemalics de F,-C. Klein (Evanston Colloquium), New-\ork et Londres, 189,^1 ; et Die reine Malhenialik in den Jahren, iSS'i- 1899, de E. Lampe, lierlin, 1899.

Quelques ouvrages ont été écrits sur le développement de certains sujets particuliers, tels ceux d'Isaac ïodhunter sur les théo-

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ries de rattraclion et sur le calcul des probabilités ; on trouve aussi dans les volumes annuels de l'Association Britannique, nombre de rapports sur les progrès faits dans diverses branches des mathématiques modernes ; un ou deux rapports semblables ont été présentés à l'Académie des Sciences de Paris. La neuvièiue édition de Y Encyclopédie Bnlannique contient également quelques mémoires importants. Citons encore l'ouvrage du professeur G. Loria, Die haupisachlicJisten Theorien der Géométrie, Leipzig, 1888 ; * le Rapport sur les progrès de la Géométrie de Chasles, le Rapport sur les progrès de Fanalyse mathématique et les Eloges académiques de J. Bertrand; V Œuvre mathématique du xix" siècle de R. d'Adhémar ; les sciem^es mathématiques au xix® siècle, de ^L Painlevé*. L'Encyklopadie der mathematischen Wissensrhaften, en cours de publication, *tant en Allemagne qu'en France* cherche à décrire l'état actuel des connaissances en mathématiques pures et appliquées et, sans aucun doute elle complétera heureusement les rapports précités.

Toutes ces références et ces lapports nous ont été utiles^ mais pour la composition de ce chapitre nous nous sommes également beaucoup servi des notices nécrologiques parues dans les Comptes rendus des diverses Sociétés savantes, à l'étranger aussi bien qu'en Angleterre. Nous sommes encore redevables à nos amis de tous les renseignements qu'ils nous ont gracieusement fournis ; si nous n'insistons pas davantage sur ce point, c'est que nous ne voulons pas paraître les rendre responsables de nos eri'eurs et de nos omissions.

Généralement, à une période d'activité intellectuelle intense, succède un état de repos. Après la mort de Lagrange, Laplace, Legendre et Poisson, l'Ecole française, qui avait occupé une situation si prépondérante au commencement de ce siècle, ralentit pendant quelques années sa production d'œuvres nouvelles. *Dans ces derniers temps, par contre, elle devait briller d'un vif éclat.* Quelquesuns des mathémaciciens que nous nous proposons d'étudier en premier lieu, Gauss, Abcl et Jacobi, ont été les contemporains des dernières années des savants français cités ci-dessus, mais leurs travaux nous ayant semblé appartenir à une nouvelle école, nous avons cru devoir les placer plutôt en tète d'un nouveau chapitre.

De tous les mathématiciens de ce siècle, il n'en est aucun dont

l3G IIISTOinC DES MATUlhlATlQLES

les écrits aient eu plus d inllucncc que ceux de (iauss, influence qui s'est fait sentir d'une façon permanente sur plusieurs branches de la science. Nous ne pouvons donc mieux commencer notre histoire des mathématiques contemporaines qu'en exposant très brièvement ses recherches les plus importantes.

Gaups ''). — Cliarlcs-Fi'cdcric G aiis s, naqu'il à Bruns\Nick le ■j3 avril 1777 et mourut à Gottingue le 2.) lévrier iSôT). Son père ('lait un simple maçon et Gauss dût l'instruction qui lui fut donnée (contre le désir de ses parents, (jui auraient vouki proliter de son salaire ouvrier) au Duc régnant, qui avait su deviner ses rares facultés. En i~Q', il fut envoyé au Collège Caroline et, vers lyc)"), professeurs et élèves étaient d'accord pour déclarer qu'il connaissait tout ce que les maîtres du collège pouvaient lui enseigner ; c'est pendant son séjour dans cet établissement qu'il publia sa méthode des moindres carrés et qu'il établit par induction la loi de réciprocité quadratique. Il alla ensuite à Gotlinguc où il étudia sous la direction de Kiistner ; plusieurs découvertes qu'il lit dans la théorie des nombres datent de l'époque où il était ('ludiant à cette Université. En 1798, il retourna à I5runs\viclv où il vécut d'une façon assez précaire en donnant des leçons particulières.

En 1709, Gauss publia une démonstration de ce théorème : que toute équation algébrique a une racine de la forme a -\- hi; il en donna à la fois trois preuves distinctes. Ses Disqiiisiliones Arithmeiic;v suivirent en 1801 ; elles forment le premier volume de ses œuvres complètes. La plus grande partie de ce travail avait été envoyée l'année précédente à l'Académie des sciences de Paris qui l'avait dédaignée avec un sans gène injustifiable, même au cas où l'ouvrage eut été sans valeur, conmie le pensaient les arbitres chargés de l'examiner. Gauss en fut péniblement affecté et sa rcpu-

(') Les œuvres de Galss, éditées en sept volumes par E.-J. ■ Scheking, 1868-71, ont été publiées par la Société Royale de Gotlinguc. Une grande quantité de travaux additionnels ont paru depuis et il y a lieu d'espérer que la collection n'est pas épuisée ; une nouvelllc édition publiée par Félix Klein, est en cours de publication, neuf volumes ont paru ; le septième paru en 1907 contient comme la précédente édition la « Theoria molus » et en outre de très iioniljrcuses additions, ducs à la découverte de nombreux et importants manuscrits ii)édits de Gauss.

' Sartobils \on WAi.TEnsn.vusEN a fait la biograpliie de Galss : Gauss ziim Geddchtniss, Leipzig, i85(3.*