CHAPITRE XIX. LA. TIIEOUIE DES NOMBRES, ETC. l'i

repose la solution du problème, (iauss y ajoutait quelques résultats concernant les lornics quadratiques ternaires, mais l'extension générale de deux à trois indéterminées est l'œuvre d'Eisenstein. qui, dans son mémoire Noue théorème dcr hiiheren Arillimctik, déduit les caractères génériques des formes quadratiques ternaires d'un déterminant impair et, dans le cas des formes définies, en assigne la valeur d'un ordre ou d'un genre quelconque ; mais il ne considère pas les formes à déterminant pair. Malheureusement les résultats trouvés ne sont accompagnés d'aucune démonstration.

Eisenstein s'occupa aussi du théorème relatif à la possibilité de représenter un nombre par une somme de carrés et montra que lo théorème général (Hait limit('' à huit carrés. Les solutions pour les cas de deux, quatre et six carrés peuvent être obtenues au moyen, des fonctions elliptiques, mais les cas relatifs à un nombre impair de carrés impliquent des procédés spéciaux particuliers à la théorie des nombres. Eisenstein donna la solution pour le cas de trois carrés. Il laissa également un aperçu 'de lo solution qu'il avait obtenue pour le cas de cinq carrés (') ; ses résultats furent donnés sans démonstration et s'appliquent seulement à des nombres nondivisibles par un carré.

Henry Smith (-). — Aux mathématiciens de l'Ecole de Gauss qui se distinguèrent le plus par leur originalité et leur puissance, il faut ajouter Henry Smith. Henry John Stephen Sniilh naquit à Londres, le 2 novembre 1826, et mourut à Oxford, le 9 février, i883. Il fit ses études à Rugby et au collège Balliol, à Oxford, et devint membre de cette Université. En 1S61, il fut nomm»'professeur de géométrie, chaire Savilian, et résida à Oxford jusqu'à sa mort.

Le nom de Smith reste spécialement attaché à la théorie des, nombres. 11 y consacra dix années, de i854 à i864- Le principaL résultat de ses recherches est compris dans deux mémoires insérés dans les Philosophical transactions pour 1861 et 1867 ; le premier,

(1) Journal de Crelle, vol. \XXV. 1847, P- 368.

Q) La collection des œuvres malliématiques do Smith, éditées par J.-W.-L, Gl.visher, avec une préface contenant une notice biographique et d'autres notes, fut publiée en deux volumes, à Oxford, 1894.

L'exposé qui suit est extrait de la notice nécrologique insérée dans les nolices mensuelles de la Société astronomique, i884, pp. iSS-iAg.

R. B. — Tome H. lo

l^Q HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

est rclalll aux t'qualions indéterminées linéaires et aux congruences, cl le second aux ordres et aux genres des formes quadratiques ternaires. Dans le dernier mémoire, Smith fournit les démonstrations des résultats trouvés par Kisenstein et donne leur extension aux formes quadratiques ternaires à déterminant pair ; il donne aussi ime classification complète des formes quadratiques ternaires.

Cependant Smith ne se limita pas au cas de trois indéternûnées ; il sut établir les principes sur lesquels repose l'e.x tension au cas général de n indéterminées et obtenir des formules générales, faisant faire ainsi à la (pieslion le plus grand pas en avant depuis la publication des travaux de Gauss. Dans l'exposé de ses méthodes et de ses résultats, parus dans les Proceedings de la Société Royale ('), Smith faisait remarquer que les théorèmes concernant la représentation des nombres |)ar quatre carrés et par d'autres formes quadratiques simples, se déduisent à l'aide d'vmc méthode uniforme des principes qu'il exposait, comme aussi les théorèmes relatifs à la représentation des nombres par six et huit carrés. Il continuait en disant que, puisque la série des théorèmes concernant la représentation des nombres par des sommes de carrés s'arrêtait, pour la raison assignée par Eisenstein, quand le nombre des carrés surpassait huit, il était désirable qu'elle ne présentât pas de lacimes. Les résultats pour les nombres pairs do carrés étaient connus. Les principaux théorèmes pour le cas de cinq carrés avaient été donnés par Eisenstein, mais il avait considéré seulement des nombres non divisibles par im carré, et n'avait pas examiné le cas de sept carrés. Smith complétait dans son mémoire l'énoncé des théorèmes pour le cas de cinq carrés, et ajoutait les théorèmes relatifs au cas de sept carrés.

Ce mémoire fut l'occasion d'un incident curieux dans l'histoire des mathématiques. Quatorze ans plus tard, l'Académie des sciences de Paris, n'ayant pas connaissance des travaux de Smilh, jtroposa comme sujet du « Grand prix des sciences mathématiques )),la démonstration et le complément des théorèmes d'Kisenslein pour le cas de cinq carrés. Smith envoya la démonstration des théorèmes généraux nécessaires pour établir les résultats dans le cas spécial de cinq carrés, et un mois après sa mort, en mars 1883,

(') Voir vol. XIII, i8G4, pp. i!)y-^o3, et vol. XVI, i868, pp. ty7-ao8.