CHAPITRE XIX. I.A THEORIE DES NOMBRES, ETC. l^J

le prix lui fut décerné ; un autre prix fut également accordé à H. Minkowski de Bonn. Aucun fait ne saurait mieux mettre en pleine lumière l'étendue des recherches de Smith; une question, dont il avait donné la solution en 1867 comme corollaire de formules générales régissant une classe entière de questions de même nature, avait éli- considérée par ri\cadémie de Paris comme présentant assez de difficulté et d'importance pour mériter les honneurs du grand prix. Le même incident a provoqué cette réiloxion que les Académiciens français du temps devaient connaître hien peu les recherches de leurs contemporains anglais et allemands, pour ignorer qu'ils avaient dans les recueils de leur bibliothèque la solution du problème qu'ils proposaient.

Parmi les autres travaux de Smith, nous pouvons mentionner spécialement son mémoire de géométrie sur quelques problèmes cubiques et biquadratiques, pour lequel l'Académie de Berlin lui décerna, en 18GS, le prixSteiner. Dans une note envoyée aux Atti de l'Académie dei Lincei pour 1877, il établissait une relation analytique très remarquable reliant l'équation modulaire d'ordre m €t la théorie des formes quadratiques binaires appartenant au déterminant positif n. Dans cette note, la fonction modulaire est représentée analytiquement par une courbe qui donne une image géométrique des systèmes complets des formes quadratiques réduites, appartenant au déterminant ; il donne aussi une interprétation géométrique des idées de « classe », d' « équivalence », et de u forme réduite ». Smith est également l'auteur de notes importantes étendant aux formes quadratiques complexes plusieurs des résultats de Gauss relatifs aux formes quadratiques réelles. Ses recherches sur la théorie des nombres le conduisirent à la théorie des fonctions elliptiques, et les résultats auxquels il parvint, spécialement en ce qui concerne les fonctions Thêta et Oméga, sont importants.

* Ernest Edouard Kunimer '1 810-1893), professeur a l'université <lc Berlin, s'occupa, lui aussi, de la théorie des nombres et particulièrement des nombres complexes généralisés de la forme Oj A, -I- «> Ao H- «3 A3 +... où a, sont des nombres réels et A, les racines de l'équation x" — i = o. La théorie du plus grand commun diviseur n'est pas applicable à ces nombres, et leurs facteurs premiers •doivent être définis d'une façon spéciale, ce qui conduisit Kummer

à la notion des nombres idéaux. Ces nombres paraissent être d'un intérêt restreint.

Jules G nillaiime Richard DedcLind, né en i8.)i, à lirunswick, a donné dans la seconde édition des Vorlesangen iiher Zahlentheoric de Dirichlet une nouvelle théorie des nonibres com[)lexes, où il complî'te les résultais de Kummer tout en évitant l'emploi des nombres idéaux.

Lcopold Kronecher (1823-1891), élève de ce dernier, s'est plutôt intéressé aux équations algébricjues. Citons enfui Panl Bacltmann, né à Munster *.

On peut dire (pic la Théorie des nombres, toile qu'elle est traitée aujourd'hui , date de (iauss. Nous avons déjà rnppclé de faron trèsbrève des travaux de Jacohi, Dirichlet, Eisensicin, Henry Smith. Nous nous contentons d'ajouter quelques notes sur les développements postérieurs de certaines branches de cette théorie.

La distribution des nombres premiers a été étudiée en particulier par G.-F.-B. liiemann, J.-J. Sylvester, et P.-L. Tchebycheff {^) {182 i-iSç)!i), de Saint-Pétersbourg^. Le court traité de Riemann, sur le nombre des nombres premiers qui existent entre deux nombres donnés, olVre un e\cm[)lc remarquable de sa puissance analytique. Legendre avait antérieurement montré que le nombre des nombres premiers moindres que n était approximativement

loge " — i,o83(>0'

mais Riemann est allé plus loin ; son traité contient, avec un mémoire de Tchcbycheff, à peu près tout ce qui a été fait jusqu'ici concernant un problème d'un intérêt tel qu'il s'imposait à l'esprit de tous ceux qui ont abordé la théorie des nombres et qui, cependant, a dépassé la puissance même de Lagrangc et de Gauss.

La partition des nombres, question qu'avait spécialement étudiée Euler, a été traitée [vàv 1. Cayley, J.-J. Sylrester, et P. -A. Mac Mahon.

(') Les œuvres réunies de TciiEnvciiEFF, éditées par il. Maukoff cl \. Son, sont en cours de publication à Saint- Pélersbourg ; le premier volume a été publié en 1899. '