CHAPITRE \\\. LA THEORIE DES FONCTIONS, ETC. lOI

Euler fit connaître au sujet de l'intégrale elliptique de première espèce un théorème important, analogue à l'addition des arcs sinus ; d'autres gc'-omètres, comme Landcn et Lagrange, y ajoutèrent quelques résultats ; mais c'est Legcndrc (|ui eut le mérite de deviner là (( le germe d'une branche importante de l'analyse ». Pendant quarante ans, il étudia l'intégrale de première espèce et aussi les intégrales, peu différentes de deuxième et de troisième espèce, et mit au jour leurs propriétés, à vrai dire sous forme compliquée et fragmentaire, comme il arriverait (') si l'on étudiait les fonctions trigonométriques en partant de la relation

arc sin x = I ■

Jo V I —

Pour faire apparaître une théorie générale des intégrales elliptiques, il fallait introduire la fonction inverse, qui est à l'intégrale ce que le sinus est à l'arc sinus ; il fallait écrire

r-"' dx

et étudier non plus ii comme fonction de x, mais x comme fonction de a.

C'est ce que fit Abel, tout en introduisant les valeurs imaginaires de la variable ii.

La nouvelle fonction x fut désignée plus tard parle symbole sn ii.

Grâce au théorème d'addition d'Euler, Abel découvrit cette propriété capitale de la fonction sn ii d'être doublement périodique relativement à u, c'est-à-dire de ne pas changer quand on augmente a de l'une ou l'autre de deux quantités fixes, irréductibles l'une à l'autre, dites périodes, et dont l'une au moins est imaginaire : de même sin u est une fonction simplement périodique de u, où la période est ^r,. La même propriété, de double périodicité, appartient aux deux autres fonctions ellijDtiques cnu = v^i — sn^u^ dnu = \/ 1 — k'^sn-u, dont l'étude se lie à celle desnu, comme l'étude du cosinus est liée à celle du sinus *.

(*) * Voir l'exposé sommaire de cette question Jans le Traité des fondions elliptiques de Appell et Lacoar^ Paris 1897 *.

l5a HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

Les premiers mémoires d'Abel concernant les fonctions ellipliqiics furent publiés dans le Journal de Crel/e. Abel traite le sujet .ui point de vue de la tbéorie des équations et des formes algébriques, exposition à laquelle ses recherches l'avaient naluielle ment conduit.

Le résultat important et très général connu sous le nom de théorème d'Abel, appliqué, par la suite, parRicmann, à la théorie des fonctions transcendantes, fut envoyé en 1826 à l'Académie des sciences de Paris, mais jjrincipalement à cause de l'inaclion de Cauchv il ne fut pas imprimé avant i8/i 1 .

* Dans ce mémoire, Abel introduit le premier les difTérenliclles algébriques les plus générales, auxquelles Jacobi, par un juste honmiage, a donné le nom d'abélicnnes *.

Sa publication est due aux recherches de Jacobi, à la suite d'une citation sur la question, faite par H. Ilolmbœ dans son édition des (ouvres d'Abel parue en i83(). Il n'est pas très facile de présenter le théorème d'Abel d'une façon à la fois inlelligible et concise; on peut cependant dire que ce théorème permet d'évaluer la somme d'un certain nombre d'intégrales ayant le même intégrant, mais diiTérentes limites. Ces limites sont les racines d'une équation algébrique. Le théorème donne la somme des intégrales en fonction des constantes qui se présentent dans cette équation et dans l'intégrant. Nous pouvons regarder l'inverse de l'intégrale de cet intégrant comme une nouvelle fonction transcendante, et ainsi le théorème fournit une propriété de cette fonction.

Par exemple, si on applique le théorème d'Abel à (i — x'') a

il fournit le théorème d'addition pour les fonctions circulaires ou trigonométriques. Le nom de fonctions abéiiennes a été donné aux transcendantes supérieures de périodicité multiple qui furent tout d'abord étudiées par Abel.

* En empruntant le langage géométrique, les intégrales abéiiennes appartenant à une courbe plane/ {x,y) = 0, sont celles du type J'^j{x, y) d xoii 'b désigne une fonction rationnelle de x, y et où y est lié à ./• par l'équation mèma de la courbe.

Soient maintenant (i, h, c les points d'intersection de la

courbe primitive avec une courbe quelconque ; soient A, li, C,... les points oîi viennent a, b, c,... quand cette dernière courbe varie ;