CHAPITRE \l\. I.V TIIlioRIE DES lO^CTIONS, ETC

prenons une intégrale ahc'lienne quelconque et donnons-lui successivement pour limites les coordonnées des points a et A, b et |{,...; le célèbre théorème d'Abel peut s'énoncer : la somme des intégrales ainsi définies est une fonction rationnelle et logaritlimique des valeurs initiales et finales des coefficients servant à délinir la courbe mobile.

La théorie des fonctions abéliennes, qui a fait l'objet de remarquables travaux de Neumann, de F. Klein, avec ses formes premières, de MM. Pick, Burckhardt, Ritter, Nother, Prym, Web^r, Frobenius, Schotlkv, Weierstrass, Picard, Poincaré, est encore en voie de formation. Comme dans les fonctions hyperelliptiques, le problème principal est celui de la transformation. Nous en reparlerons à propos de l'œuvre d'Hermite *.

Abel critiqua l'usage des séries non convergentes et découvrit le théorème bien connu qui donne le critérium de la validité du résultat obtenu en multipliant une série infinie par une autre. Comme exemple de la fécondité de ses idées nous pouvons citer en passant sa célèbre démonstration de cette proposition : il est impossible d'exprimer la racine de l'équation générale du cinquième degré en fonction des coefficients au moyen d'un nombre fini de radicaux et de fonctions rationnelles ; ce théorème est très important puisqu'il limite définitivement un champ de recherches qui avait attiré autrefois l'attention de nombreux géomètres. Nous devons ajouter que ce théorème avait été énoncé en 1798 par Paolo Ruffini, médecin italien qui exerçait à Modène ; mais nous croyons que la démonstration qu'il en donnait manquait de généralité.

* La vie d'Abel fut courte et remplie de difficultés matérielles. On ne saurait oublier non plus qu'il eut avec Crelle l'honneur de fonder le célèbre recueil qui porte le nom de ./o/i/vm/ de Crelle (') *.

Jacobi (-). — Charles-Gustave -Jacob Jacobi, né à Postdam, le

(') * Voir à propos (I'Abel un article de G. Bulnel dans le Bulletin des sciences m itttématifiues (i885j et aussi le tome XXIII des Ac/»( inatematica * .

(') Voir C. J. Gerhardt, Gcschichte der Matliematilc in Dcalsehland, Munich, 1877. Les œuvres complètes de Jacobi ont été éditées par Dirichlet, 3 volumes, Berlin, i8i()-7i, et accompagnées d'une biographie, 1853; une nouvelle édition par C. A\ . Borchaut et E. Weierstrass a été publiée à licrlin, eu 8 volumes, 1881-87.

i54 niSTOiiu: DES mathématiques

10 décembre i<So/i, de parents israëlites, cl mort à Berlin, le 18 février iiSâi, fit SCS études à ri nivcrsité de Berlin, où il obtint en 182Ô, le grade de docteur en philosophie. En 1827, il devint professeur suppléant de niathématicpies à Kœnigsberg et, en 1829, il fut promu professeur ordinaire ; il occupa cette chaire jusqu'en i8V<, époque où le gouvernement Prussien lui accorda une pension ; il se rendit alors à Berlin où il résida jusqu'à sa mort en 1 85 1 .

11 a été, pour l'enseignement des mathématiques, le plus grand maître de sa génération, et ses leçons, bien que parfois peu correctement ordonnées, étaient un stimulant puissant pour les élèves capables de le comprendre.

Les recherches les plus célèbres de Jacobi ont trait aux fonctions eUiptiques ; il a ('tabli leur théorie avec Abel mais indépendamment des travaux de ce dernier. Les résultats de Jacobi se trouvent dans son traité sur les fonctions elliptiques, publié en 1829, et dans quelques notes plus anciennes parues dans le Journal de Crelle ; ils sont antérieurs à ceux de Weierstrass dont nous parlons plus bas. La correspondance entre Legendre et Jacobi sur les fonctions elliptiques a été réinqirimée dans le premier volume de la collection des œuvres de Jacobi. De même qu'Abcl, Jacobi reconnaissait que les fonctions elliptiques ne touchaient pas simplement aux théories de l'intégration, mais constituaient des types de nouvelles transcendantes; il s'occupa ensuite d'une façon toute spéciale de la fonction Thêta. Le passage (') suivant dans lequel il explique ses idées est assez intéressant pour mériter une reproduction textuelle.

<( E quo, cum univcrsam,qu» fingi potest, amplctactur periodicitatem anah ticam elucet, functiones ellipticas non aliis adnumerari debere, transcendentibus, quîe quibusdam gaudent elegantiis, fortasse pluribus ilhis aut majoribns, sed speciem quandam ii^; inessi perfecti et absoluti ».

* On doit à Jacobi l'expression des fonctions eUiptiques 5aî, en. dn sous forme de quotients de séries ou de produits infinis, découverte déjà nettement indiquée dans le premier mémoire d'Abel ; Jacobi créa à cette occasion la théorie des fonctions 6, qui sont des séries d'exponentielles et qui jouent un grand nMc dans la

(^) Voir la collection de ses œuvres, vol. I, 1881, p. 87.

CHÀPtTRE XIX. ],A TllliORlE DES FONCTIONS, ETC. l55

théorie des fondions elliptiques. Gomme le montra Jacobi, les fonctions sn, en, dn s'expriment en effet chamme par le quotient de deux fonctions 0. Enfin, Jacobi exprima les intégrales elliptiques de deuxième et de troisième espèces à l'aide des (onctions 0 et de leurs dérivées ; il montra ainsi que les dilTérentielles ellij)tiques les plus générales pouvaient s'intégrer par les transcendantes nouvelles, conquête non moins précieuse pour la théorie que pour l'application.

D'autres surprises étaient réservées aux mathématiciens par les relations curieuses qu'établit Jacobi entre les séries 0 et l'arithmétique, et qui lui donnèrent d'intéressantes propositions sur la décomposition des nombres entiers en sommes de quatre carrés. Après lui, Ilcrmile et Ivronecker ont approfondi ce sujet *.

Parmi les autres recherches de Jacobi, nous pouvons signaler spécialement ses notes sur les déterminants, qui contribuèrent beaucoup à en généraliser l'usage ; et en particulier son invention du Jacobien, c'est-à-dire du déterminant fonctionnel formé par lï^ coefficients différentiels partiels du premier ordre de n fonctions données de n variables indépendantes. Nous devons aussi mentionner ses notes sur les transcendantes abéliennes ; ses recherches sur la théorie des nombres, auxquelles nous avons déjà l'ait allusion ; ses importants mémoires sur la théorie des équations difrérentielles, ordinaires et partielles ; son développement du calcul des variations ; ses mémoires sur le problème des trois corps et sur d'autres problèmes particuliers de dynamique. Les résultats auxquels il était parvenu dans ces dernières recherclies se retrouvent dans ses Vorlcsungen iiber Dynamlk.

Riemann (*). — Gcorgcs-Frédcric-Dernhaid Riemann naquit à Breselenz, le 17 septembre iSi^O, et mourut à Selasca le 20 juillet 1866. Il étudia à Gottingue avec Gauss, et ensuite à Berlin avec Jacobi, Dirichlet, Steiner et Eisentein, qui tous étaient professeurs dans cette ville à la même époque. Il eut à lutter contre la pau-

(*) Les œuvres de Riemann, édictées parti. Weber et précédées de l'histoire de sa vie par DedekInd, turent publiées à I^eipzig, seconde édition, 1892.

Une autre courte l'iograpliic de Riemann a été écrite par E. J. Sgherinu, Gottingue, 1867.

l56 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

vreté cl la maladie pour terminer ses ('tutles. En 1857 il fut nommé professeur à Gottinguc ; son lalcnt fui bientôt généralement reconnu, mais en 1862 sa santé commença à décliner et il mourut quatre ans plus tard, travaillant jusqu'à la fin avec autant d'artleur que de courage.

liiemann doit être considéré comme l'un des mathématiciens les plus profonds et les plus brillants do son temps. 11 produisit peu mais son originalité et son talent sont manifestes ; ses recherches sur les fonctions et sur la géométrie, en particulier, furent l'origine de dévelop[)ements forts importants de ces sciences.

Sa note la plus ancienne, écrite en iS'x), traite des fonctions algébriques d'une variable complexe, et donna naissance à une nouvelle méthode pour traiter la théorie des fonctions. Le développe ment de cette méthode est spécialement le fail ^\^} l'Iicole de (lutlingueà laquelle les noms de Riemann et de Klein sont élroitenienl liés. En i854, Riemann écrivit son célèbre mémoiic sur les hypothèses servant de fondement à la géométrie ; nous y faisons allusion plus bas. Ce mémoire fut suivi par d'autres sur les fonc tions elliptiques et sur la distribution des nombres premiers qui ont déjà été mentionnés. Enfin, en ce qui concerne les fonctions de périodicité multiple, on ne s'avance pas trop en disant (jue, dans son mémoire paru dans le Journal de lionhardt, année 1857, il a fait pour les fonctions abélienncs ce qu'Abcl avait fiiit pour les fonctions elliptiques.

* Le problème fondamental de la théorie des fonctions algébriques est celui de l'inversion, dont il a été parlé à propos des travaux d'Abel.

Il fallait définir, d'une manière générale, les intégrales ou les diirérentiellcs algébriques propres à remplacer dans les équations d'inversion les dillcrcnlicUes elliptiques ou hypcrelliptiques étudiées par Abel.

C'est ce que fit Riemann.

Représentant, comme Gauchy, la >ariablc imaginaire sur un plan, mais sur un plan composé d'autant de fcuillels superposés (juc la fonction algébrique à étudier a de \alours distinctes, soudant ces feuillets le long de certaines sections, déterminées j)ar les points critiques de la fonction, passant d'un feuillet à l'autre, selon des lois bien définies, quand la variable traverse une section. Rie-

CHAPITBE XIX. L.V THEORIE DKS FONCTIONS, ETC. ifjy

mann parvint à rendre uniforme, les fonctions algébriques et avec celles-ci les intégrales abéliennes qui en dépendent (').

La théorie de Riemann conduit à un ensemble de propositions généralisant les fonctions elliptiques et faisant pénétrer fort avant dans la nature des fonctions algébriques.

Son œuvre a été simplifiée par Lurotli, Clcbsch, et ClilTord qui a montré que l'ensemble de ses feuillets, peut être transformé en une surface à Trous.

Aux idées de Riemann sur les fonctions analytiques, se lie le problème de la reprcscnlilion conforme de deux aires l'une sur l'autre, problème qui consiste à trouver une fonction uniforme Z ==/(;), telle qu'à un point du plan de la variable ::, situé dans une aire donnée, corresponde un point du plan Z, situé aussi dans une aire donnée et inversement. Ce problème, abordé par Riemann, a été résolu par M. Schwarz pour des aires limitées par un seul contour par M. Schottky dans le cas de plusieurs contours '^.

Fonctions elliptiques et abclicnncs (-). — Nous avons déjà fait allusion aux recherches de Lc(/cn(lre, (kuiss, Ahel, Jacobi et Bic~ mann sur les fonctions elliptiques et abéliennes. Le sujet a également été traité, entre autres auteurs, par J.-(L Rosenhain (1816- 1887) de Kœnigsberg, qui écrivit, en i844, sur la fonction hyperelliptique ou double 9 et sur les fonctions de deux variables avec quatre périodes; A. Gopel {1812-18I1']) de Berlin, qui discuta (•') les fonctions hyperelliptiques ; L. Kronecker (*) (i823- 1891), de Berlin, qui écrivit sur les fonctions elliptiques; L. Koni(jsber(jcr {), de lleidelberg, qui discuta la transformation de la fonction double 6 ; F. Brioschi (1824-1897), de Rome, qui écrivit sur les fonctions elliptiques et hyperelliptiques ; Henry Smith,

(') A propos des variables imaginaires, voir l'exposé des travaux de Cauchy.

(•2) Voir l'inlroduction à l'ouvrage EUiptische Fimrlioiwn, par A. Enxeper, seconde édition (éd. par F. Mûller), Halle, 1890 ; et Geschichte dcr Thcorir (1er EHiptisvhrn Transcendfnlen, par L. Ivunigsberger, Leipzig, 1870. Sur l'histoire des fonctions abuliennes, voir les Transactions of Ihr British Associatiaii vol. LXVII, Londres, 1897, pp. 246-286.

(■') Voir Journal de Crclle, vol. XXXV, 1847, PI'- 377-3i2 ; une notice nécrologique par Jacobi s'y trouve, pp. 3i3-3i7.

(^) Ses œuvres réunies en 4 volumes, éditées par K. IIensel, sont en ce moment en cours de publication, à Leipzig, 1895.

(^) Voir ses leçons publiées à Leipzig, en 187/1.

l58 HISTOIRE DES M ATIIKM V TIQL'ES

d'Oxlord, qui éliidia la théorie de la transformation, les fonctions 5 et oj, et certaines fonctions modulaires ; .1 . (layley, de Cambridge, qui le premier, en i845, étudia la théorie des produits doublement infinis et détermina leur périodicité, et qui écrivit Ion gucmenl sur la relation existant entre les recherches de Legendre et de Jacobi ; et C //e/v/j/'/c (182:? i()()i ). do Paiis. dont les travaux se rapportent principalement à la théorie de la transformalion et du développement supérieur des fonctions 0.

* Lamé. — Gabriel Lamé naquit à Tours, le 22 juillet 1790. Sans fortune, il eut la plus grande peine à faire ses études, entra cependantà l'Ecole polytechnique. Sa promotion fut licenciée pour cause d'indiscipline, et il fut alors sur le point de partir pour le Brésil. Heureusement admis à passer ses examens de sortie, il fut nonuné ingénieur des mines et envoyé en Russie, avec Clapeyron, sur la demande du Tsar qui désirait faire construire des routes.

11 fut, dans la suite, professeur à l'Ecole polytechnique, et c'est là qu'il médita ses plus beaux travaux.

Peu après son retour en France, il avait j)uhlié un beau mémoire sur les surfaces isothermes. Mais c'est plutôt vers la physique mathématique qu'il dirigea ses elVorts, car il eut à enseigner cette branche des sciences en Sorbonne. On lui doit cependant un remarquable travail sur l'équation de Fermât et l'étude d'une équation diflérentielle importante reprise par Hrioschi cl liermitc *.

"Weierstrass ('). — darl Wcicrslrass, né en Wcstphailc, le 'A\ octobre i8i5, et mort à lierlln, le i() février i8()"y, a été l'un des plus grands rMaihématiciens du xix" siècle.

Son nom est lié d'une façon inséparable à deux branches des mathématiques pures : les fonctions elliptiques et abélicnnes, et la théorie des fonctions. Ses plus ancieimes recherches sur les fonctions elliptiques sont relatives aux fonctions 'j, (ju'il étudia sous

Cj La collcclion «Jcs œuvres de W'eieustuass est aclnellemcnl en cours de publicalion, Berlin, i8()4. et suiv. Des récits de sa vie, i)ar G. MmAC-Liiii-LEu et II. PoiNCAUi':. sont donnés dans les Acta Matliemalica, 181)7, vol. X\I, pp. 79- Ha et i8()(j, vol. XXII, pi). 1-18.

CIIAPITUE \\\. LA THKOaiK DES FONGTIOJiS, ETC. I0()

une forme modifiée permettant de les exprimer suivant les puissances du module. A une époque récente, il inventa une méthode permettant de traiter toutes les fonctions elliptiques d'une manière symétrique. Il fut conduit naturellement à cette méthode par ses recherches sur la théorie générale des fonctions, dans lesquelles il cmhrassait, en les coordonnant, les diverses voies suivies antérieurement.

* Aux fonctions d'Ahel et de Jacobi, sn^ en, dn, 0, Weierstras's a substitué d'autres éléments elliptiques, les fonctions/), £, 7, qui simplifient les formules et les applications. Après Abel, Jacobi et AVeierstrass, on appelle aujourd'hui fonctions elliptiques les fonctions à deux périodes d'une seule variable ; leur théorie est aussi achevée que celle des fonctions circulaires. Leurs applications sont des plus nombreuses : en analyse pour les équations de M. Picard, dont la plus simple, intégrée par Hermite, est une équation célèbre que Lamé avait rencontrée dans ses recherches de physique mathématique ; en mécanique rationnelle aussi *.

En particulier. ^^ eierstrass construisit une théorie des fonctions analytiques uniformes. La représentation des fonctions par des produits infinis et par des séries attira également d'une façon toute spéciale son attention. En dehors de ses travaux sur les fonctions, il écrivit encore ou fit des leçons sur la nature des hypothèses faites en analyse, sur le calcul des variations, et sur la théorie des surfaces minima. Ses méthodes sont remarquables à cause de lem* grande généralité. Des recherches récentes faites sur les fonctions elliptiques sont en grande partie basées sur les méthodes deAA eierstrass.

* Weierstrass s'est préoccupé toute sa vie des fonctions abéliennes ; dans la première période de sa carrière, il applique à ces transcendantes, et en particulier aux fonctions hyperelliptiques, les propriétés connues de sn, en et dn ; à cette époque survint le premier mémoire de Riemann. qui relégua au second plan les fonctions hyperelliptiques : les fonctions abéliennes engendrées par les courbes algébriques les plus générales venaient à l'ordre du jour.

C'est alors que Weierstrass se posa ce problème : rechercher les fonctions périodiques les plus générales. Un premier problème déjà résolu par Jacobi, se posait : combien une fonction de n

l6o mSlOlRE DES MVTIILMATIQLES

variable pcul-elle avoir de périodes ? 2n, démontra lui aussi Wcierslrass et plus simplement que son devancier. Puisa son tour il dirigea ses recherches vers les fonctions de n variables à 2/i périodes les plus générales et parvint à montrer qu'elles jouissent d(^ propriétés analogues à celles dos transcendantes cllipticjucs, tliéo rèmes d'addition notamment, résultats importants s'il en lût.

Mais la principale découverte de ^^ eierstrass est celle des Ja<- U'urs primaires.

Les transcendantes les plus sinq)les sont les fonctions entières, qui n'ont de point singulier (ju'à l'inlini. Ces transcendantes sont toujours des produits de facteurs primaires, composés chacun du produit d'un polynôme du premier degré j)ar une exponentielle dont l'exposant est un polynôme de degré (/ : 7 est dit genre du facteur primaire. Une fonction est de genre 'j «juand tous ses fadeurs primaires sont de genre (/ au plus.

A cette découverte se rattaclie la classification des fonctions entières en genres, dont l'importance arithmétique a été récemment mise en évidence par M. lladamard. AA eierstrass a trouvé là également le moyen de construire une fonction entière ayant des zéros, ou racines, donnés.

\\ eierstrass a de plus trouvé dans la notion des facteurs primaires le moyen de représenter toute fonction méromorphe, on nomme ainsi les fonctions à singularités simplement polaires, par un quotient de fonctions entières, propriétés que M. Poincaré a étendues aux fonctions de deux variables.

Le domaine ainsi ouvert aux géomètres était immense. MM. Runge et Mittag-LcHler peuvent désormais effectuer la représentation des fonctions uniformes par des séries d'éléments simples ; M. Picard peut montrer qu'une fonction entière peut rendre toutes les valeurs finies, sauf une peut-être ; M. Poincaré peut faire voir que si y est une fonction analytique non uniforme de X, on peut toujours exprimer x et y en fonction unilorme d'une variable z, ramenant ainsi l'étude des fonctions non uniformes à celles des fonctions uniformes ; MM. Appell et (ioursat étudient les fonctions à espaces lacunaires, M. Painlcvé les lignes singulières des fonctions analytiques, MM. Horcl et lladamard donnent d'importantes propriétés des séries de puissances.

C'est enfin VVeierstrass qui, le premier, a donné rexem[)le d'une