CHAPITRE XIX. L\ THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. l6l

fonction continue sans dérivée, à laquelle correspond une courbe où la tangente en un point quelconque est indéterminée... exemple frappant de la rigueur qu'il voulait voir en tout, de sa logique inflexible *.

\u nombre des continuateurs et des émules de ^^eierstrass, nous citerons G. -II. Halphen (-) (i84-i-it^î^9), officier dans l'armée française, dont les recberches sont largement fondées sur les travaux de A\ eierstrass et F.-C. Klein, de Gœttingue. Les travaux de ce dernier sont relatifs aux fonctions abéliennes, aux fonctions elliptiques modulaires, et aux fonctions hyperelliptiques. Nous devons citer encore II.-A.Scliwarz, de Berlin; //. \\ eber, de Strasbourg; M. Nother, d'p]rlangen ; \V. Stahl, d'Aix-la-Chapelle; F. -G. Frobenias, de Berlin et J.-]] .-L. Glaisher, de Cambridge, qui a développé, en particulier la théorie de la fonction zêta.

Les ouvrages les plus répandus de nos jours sur les fonctions elliptiques sont peut-être ceux de J. Tannery et J. Molk, 4 volumes, Paris 189.3-1901 ; de P.-E. Appell et E. Lacour, Paris, 1896; de H. Weber, Brunswick, 1891 ; et de G. -H. Halphen, 3 volumes, Paris, 1 886-1 891.

La théorie des fonctions. — Nous avons déjà dit que la théorie moderne des fonctions est due pour une grande part à W eierstrass. C'est un sujet présentant un attrait singulier et qui promet d'être une branche féconde et vaste de la science mathématique. Au point de vue historique, elle doit le jour à l. Cniichy, qui posa les fondements de la théorie des fonctions synectiques dune variable complexe. Ces recherches furent continuées par /. Liourille, qui écrivit principalement sur les fonctions doublement périodiques. Ces travaux, étendus et reliées entre eux par .4. Briot (1817-1882) et/.-C. Bouquet (1819-1885), reçurent parla suite de nouveaux développements de C. Ilevmite (181Î2-1901 .

Les recherches sur la théorie des fonctions algébriques ont leur origine dans une note de G.-F.-B. Riemann, qui date de i85o ; H. -A. Schivarz, de Berlin, établit d'une façon rigoureuse plusieurs théorèmes qui laissaient place à quelques objections après

(') Un exposé de la vie et des travaux d'HALPUES a été donné dans le Journal de LiouvUle, 1889, pp. 'i!\ô-35g, et dans les Comptes Rendus, 1890, vol. GX, pp. 489-497.

R B. — Tome H >i

rfia HISTOIRE ors mxthkm \ in)rES

les travaux deRiemann. Dans la suite, F.-C. Klein, de Gœtlingue, relia In tliéorie des fonctions de Riemann à la théorie des groupes, et s'occupa des fonctions aulomorphes et modulaires ; //. I^oincaré, de Paris, s'occupa également des fonctions automorphes, de la théorie générale des fonctions et de son application spéciale aux équations dilTérentiellcs ; tout récemment, (t. Painlevc, de Paris, a écrit sur les fondions uniformes, et K.-II . Ilensel, de Rerlin, sur les fonctions algébriques.

Nous avons déjà dit que les travaux de >\ eicrslrass eurent pour effet de jeter une grande lumière sur ces questions. Sa théorie des fonctions analytiques a élé développée par M.-d. Millnfj-LcJfJcr, de Stockholm, l'un des plus distingués mathématiciens contemporains. C. Hermifc, P.-F Appell, C -F. Picard et E. Goursat, ont également écrit sur des branches spéciales de la théorie générale des fonctions.

Comme ouvrages d'étude, nous pouvons mentionner les suivants : Tlicory of Fanctions oj a complcx variable, par A.-R, Forsvth, seconde édition, Cambridge, 1900; Die Fimklionstheorie, par J. Petersen, Copenhague, 1898 ; Abcl's Theorem, par II. -F. Baker, Cambridge, 1897 ; Des Fondions algébriques, par P.-E. Appell et F. Coursât, Paris, 1895 ; The Jheory oJ fanclions, par J. Harkness et F. Morley, Londres, 1893; et peut-être l'ouvrage de ?Seumann, Vorlesungen ilber Ricnianns Théorie der Abel'schen Intégrale, seconde édition, Leipzig, 188^.

Algèbre sapérienrr. — La théorie des nombres peut ctre considérée comme une arithmétique supérieure, et la théorie des fonctions elliptiques et ahéliennes comme une trigonométrie supérieure. Les théories de l'algèbre supérieure (en y comprenant celle des équations) ont également été l'objet de travaux importants ; elles étaient les sujets favoris des études des mathématiciens dont nous allons parler, bien que leurs recherches ne se soient pas bornées à ce sujet.

Cauchy ('). — Angaslin-Louis Canclty est, pour l'analyse, le

(*) Voir La vie et 1rs travaux de CaiichY, par L. Vvlson, 2 volumes, Paris, i8G8. Une ('dilion complète de ses œuvres est aclucllemont en cours de publication aux frais du gouvernement français.

r.HAlMTlir XIX. I,\ THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. lG3

•principal représentant de l'Ecole française au xix'= siècle, il naquit -à Paris, le 21 août 17S9, et mourut à Sceaux, le 25 mai 1807. * Esprit universel, il fut initie par son père à la connaissance de toutes les branches des connaissances humaines*. Il entra à l'Ecole polytechnique, le berceau de tant de mathématiciens français de celte époque, et devint ingénieur des ponts et-chaussées. Son premier travail est une note de 181 1 sur les polyèdres. Des mémoires sur l'analyse et la théorie des nombres, présentés en i8i3, i8i4 et i8i5, montrèrent l'étendue de son savoir qui était loin d'être limité à la géométrie : dans une de ces notes, il généralisait quelques résultats établis par Gauss et Legcndre ; dans une autre, il donnait un théorème sur le nombre des valeurs qu'une fonction algébrique peut admettre quand les constantes littérales qu'elle contient sont échangées. C'est ce dernier théorème qui permit à Abel d'établir, qu'en général, une équation algébrique d'un degré supérieur au quatrième ne peut être résolue au moyen d'un nombre fini d'expressions purement algébriques.

Nous devons à Cauchy et à Gauss l'étude scientifique des séries ayant un nombre infini de termes ; mais c'est Cauchy qui a établi des règles générales permettant de s'assurer, dans des cas très étendus, de la convergence ou de la divergence de telles séries.

* Plus tard, Bertrand a donné le moyen de construire des ensembles de séries convergeant ou divergeant de moins en moins rapidement, ce qui permet, dans tous les cas pratiques, de décider de la convergence ou de la divergence d'une série donnée *.

Peu d'ouvrages de date plus ancienne font allusion aux restrictions que comporte l'emploi de ces séries. Lorsque Cauchy lut sa première note sur celte question, Laplace, dit-on, fut si impressionné par les exemples cités du danger d'employer de telles séries sans en avoir rigoureusement vérifié la convergence, qu'il mit de côté un travail auquel il était occupé, et ferma sa porte à tous les visiteurs, afin de s'assurer que toutes les démonstrations données dans les premiers volumes de sa Mécanique céleste étaient correctes ; il eut la bonne fortune de constater qu'aucune erreur importante ne s'était glissée dans sa rédaction par suite de 1 emploi des séries. L'exposition de la théorie des séries et des conceptions fondamentales du calcul infinitésimal

l6'i itisroïKL: m:s m miilmaikhes

était alors basée, dans la plupart des ouvrages classiques, sur les travaux d'Kuler, et n'était pas sans soulever quclcpies objections de la part de ceux qui avaient conservé riiabitudc des raisonnements rigoureux. C'est l'un des principaux mérites de Caucliv d a\oir établi cette brandie de l'analyse sur un fondement logique.

*Dans les dernières années du xix" siècle, la question des séries a été reprise par les géomètres français, MM. Borel et Servant notamment, qui ont réussi à résoudre ce problème : sommer les séries divergentes, dans des cas très étendus. Il s'agissait en l'espècede substituer à une série

convergente pour les seules valeurs de j: comprises entre deux limites données a et h, une série convergente également entre a et 6, ayant dans cet intervalle même somme que la pro|)oséc et de plus, convergente pour x compris entre A et B, l'intervalle AB comprenant l'intervalle ah *.

Lors de la Restauration, en 1816, l'Académie des sciences fut renouvelée et, malgré l'indignation que manifestèrent les membres de cette société savante, Caucby ne craignit pas d'accepter le siège laissé vacant par l'expulsion de Monge ('). Il fut également, et en même temps, nommé professeur à l'Ecole polytcclmique. Les leçons qu'il y fit sur l'analyse algébrique, le calcul iidinitésimal et la théorie des courbes furent publiées et devinrent classiques. A la révolution de iSoo, il quitta la France et fut d'abord professeur à Turin, d'oii il se rendit à Prague pour faire l'éducation scientifique du comte de Chambord. Il retourna en France en 1807 ; en iSAS" d'abord, puis de nouveau en iSôi, [)ar dispense spéciale de l'empereur, il fut autorisé à occuper une cliaire de mathématiques sans être dans l'obligation de prêter le serment exigé de tons les fonctionnaires.

Son activité était prodigieuse et, de i83(j à i85ç), il publia dans les Comptes /?e/?'/u.v de l'Académie plus de 600 mémoires originaux et environ ir)o rapports. Ils embrassent un nond^re extraordinaire de sujets, mais sont de mérite très inégal.

Parmi les plus importantes de ses recherches, nous pniirrions

(') M. liouse Bail cxayèrc qucl(|iic' peu ; Caucli}' royaliste convaincu, nommé par ordre du roi, ne crut pas dc\oir désobéir à cet ordre. {Note de l'cditeur).

CIIVPITUE XIX. r.A. THÉOKIE DES FONCTIONS, ETC. lG5

citer ses travaux sur la convergence des séries; la détermination du nombre des racines réelles et imaginaires d'une équation algébrique quelconque ; sa méthode pour le calcul approché des racines d'une équation ; sa théorie des fonctions symétriques, des coefficients des équations d'un degré quelconque ; son évaluation a priori d'une quantité moindre que la plus petite différence entre les racines d'une équation ; ses notes de iS'ii sur les déterminants, qui permirent d'en généraliser l'usage, et ses recherches sur la théorie des nombres. Cauchy perfectionna beaucoup la théorie des intégrales définies, inventa le calcul des résidus. Il a également donné une méthode analytique directe pour déterminer les inégalités planétaires de longue durée. Ses travaux en physique consistent en mémoires sur les ondes et sur la quantité de lumière réfléchie par les surfaces métalliques, et en diverses autres notes relatives à l'optique.

* Avant Cauchy, les imaginaires avaient été employés en analyse, souvent avec succès, jamais sans appréhension; Cauchy, et c'est déjà une véritable découverte, commence par définir ce qu'on doit entendre par fonction de la variable imaginaire z = x -h iy. P (x, y) -+- f Q -x, y) est fonction de r = x H- iy si elle admet une

1, . , . , . ,->P ôQ ftP ôQ dérivée par rapport r, ce qui nécessite que — = — et — - = -; ;

les deux fonctions P et Q des variables réelles x et y vérifient dès lors l'équation de Laplace —.2 -+■ - 2 = o; de telles fonctions sont

dites harmoniques. Très effacées dans la théorie de Cauchy, on verra ces notions passer au premier plan dans celle de Riemann.

L'intégrale dune fonction de variable imaginaire n'est point déterminée, comme l'est celle d'une fonction de variable réelle, quand on se donne les valeurs initiales et finales de la variable z. Il faut donner en outre les valeurs que prend z, ou les valeurs que prennent x,y, entre les valeurs initiales et finales. Géométriquement, en représentant la variable 2: = £C + ij sur un plan par le point de coordonnées x, y si a, h sont les points qui correspondent aux limites, l'intégrale doit dépendre de la ligne &' intégration qui suit le point z entre a et 6 : le théorème fondamental de Cauchy est qu'en général elle n'en dépend pas. En général, pour deux chemins quelconques joignant les points a et h, l'intégrale a la même valeur, sauf quand ils comprennent un point critique de la

iGC) HISTOIRE DES M VTllÉM VTIQIES

l'onction, un point où la fonction est infinie ou indéterminée, et aussi dans le cas d'une fonction à valeurs multiples, comme un radical, les points où quelques-unes de ces valeurs deviennent égales,. distinction qui n'a été nettement faite que par Puiseux.

De là, GaucliY, dans une série de mémoires parus de iSaô à i85i, et que complètent sur plusieurs points importants les tra- \aux de Puiseux (i85o-i85i) déduit une série de propositions qui forment la base de la science mathématique actuelle.

Voici lune des plus importantes : une fonction analyti/juc, c'està-dire une fonction d'une variable imaginaire au sens de Cauchy, est développable en série, ordonnée suivant les puissances croissantes de c — a, et qui converge lorque z reste dans un cercle ayant pour centre le point a, supposé non critique, et pour rayon la distance de ce point au point critique le [)lus voisin : c'est l'extension au domaine imaiiinairc de la série classique de Taylor.

Sur la circonfércnco du cercle de convergence, ainsi défini, il existe au moins un point critique a, un point où la fonction n'est j)lus analytique. Prenons un point b situé dans le cercle de convergence : nous pourrons partir de ce point et développer la fonction en série suivant les puissances de r — h, cela dans un cercle ayant pour centre le point h et pour rayon la distance de h à a ; on conçoit que certains points de ce second cercle seront extérieurs au premier cercle, que le second développement sera valable pour despoints, pour d(>s valeurs de z, où le premier ne l'était pas. On dit que l'on a prolonge la fonction analytique en dehors du premier cercle. D'importants résultats concernant ce sujet sont dus à AAeierstrass et à M. Méray, notamment que parfois les cercles ne peuvent s'étendre indéfiniment dans tout le plan. Alors, par une série de cercles se recoupant mutuellement, on définit dans le plan une certaine aire, dont la frontière, la courbe enveloppe des circonférences extrêmes, limite le domaine d'existence de la fonction.

Dans le domaine d'existence, l'on peut avoir des points singuliers isolés qui sont des pôles si autour de ces points a la fonction est de la forme :

]~Si ■+- ..• •+■ — -— . -+- série ludciniie en r — a

et des points essentiels si, dans le développement précédent, ni est

CIIVIMTKE \I\. I,\ TIIÉOIUE DKS FONCTIONS, ETC.. 167

infini. La fronlièrc contient un ensemble de points singuliers autres que des pôles.

Weierstrass a exclu de son étude les frontières, tandis que MM. Iladamard, Painlevé, Borel étudient les frontières; M. Borel les franchit même et dans les espaces lacunaires, aires dont tous les points seraient singuliers d'après la définition de Weierstrass, il définit, dans certains cas, un prolongement de la fonction.

De là, le rôle immense de la série de Taylor, des travaux de Cauchy et de ses continuateurs dans l'analyse moderne.

Autre point de vue nouveau, du encore à Cauchy. Entre deux points donnés, l'intégrale d'une fonction analytique à points critiques située entre les deux chemins prend des valeurs qui diiVèrent entre elles de quantités constantes, dites périodes de l'intégrale et qui ne dépendent pas de la position des deux points primitifs : la fonction inverse de l'intégrale est donc une fonction périodique. Ainsi se retrouvent et s'expliquent cette propriété des fonctions circulaires et elliptiques d'être périodiques et certaines particularités des fonctions abéliennes.

Rappelons encore à ce propos que dans toute fonction algébrique u de z, c'est-à-dire dans toute fonction définie par une relation ffii, z) = 0 où y est un polynôme entier en u et z, certaines des valeurs de u s'échangent les unes dans les autres, suivant des lois déterminées, lorsque le point z tourne autour des points critiques a de la fonction, et sont développables autour de a en séries convergentes ordonnées suivant certaines puissances fractionnaires de z — a.

C'est de ces principes que découlent, entre autres conséquences remarquables, le calcul des résidus, la détermination du nombre des racines situées à l'intérieur d'un contour, étendue au cas de plusieurs variables par Kronecker et M. Picard, la recherche de la valeur d'intégrales définies, etc...

A Cauchy encore, on doit des théorèmes très généraux concernant l'existence des solutions d'une équation clitTérentielle donnée. Soit donnée une relation :

... ( dv d"Y\

en peut-on déduire une relation équivalente y =f(x) ?

lC8 iiisTOinr dks m\tiii';matiim es

Les géomètres du xviu" siècle a\aient inlé<,Mc un grand nombre d'équations ilillércntielles. Caucliy a scinde la question, et sous son influence, l'on clierche d'abord des théorèmes d'existence, c'està-dire des conditions auxquelles '^ doit satisfaire pour (|ue l'on puisse avoir une véritable fonction r.

Après Gauchy, MM. Lipschitz et Picard ont donné des lliéorèmes d'existence sous des conditions plus larges.

Briot et liûuquet. AIM. Poincaré et Picard, Bendixson et llorn ont publié de remarquables mémoires concernant des formes particulières de ç.

Plus récemment. M. Painlevé, dans ses leçons faites à Stoekhlom, a fait ime étude profonde des équations dillérentielles, envisagées au point de vue fonctionnel. Il se propose de reconnaître les singularités de l'intégrale, de savoir si elle est uniforme, algébrique, ce qui est au sens moderne du mot intégrer réf|nation.

Pour les équations linéaires, où r et ses dérivées n'entrent qu'au premier degré, l'on trouve immédiatement les points singuliers de l'intégrale et la forme de l'intégrale autour de ces points, comme l'ont montré MM. Fuchs, Poincaré, Darboux, Autonne, Tliomé, dans le cas des équations du premier ordre. Au contraire, pour les équations d'ordre supérieur à an, les points singuliers essentiels de la fonctions}' peuvent varier avec les constantes arbitraires qu'introduit l'intégration. Il y a là un fait capital, analogue à rimjiossibilité de résoudre par radicaux les équations algébriques de degré supérieur à 4» fait mis en évidence d'abord par M. Picard, puis par M. Painlevé.

M. Painlevé a su de plus déterminer toutes les équations du deuxième ordre à points critiques fixes, indépendantes des constantes arbitraires. Il a entrepris la même recherche pour les équations du troisième ordre, et a été conduit ainsi à la découverte de transcendantes nouvelles.

jNous parlerons plus loin, à propos de (Jalois, de la théorie des groupes. Disons simplement ici, au sujet des équations diflërentielles, que cette notion intervient dans les méthodes de Sophus Lie et de Jacobi concernant la recherche effective des intégrales. Sophus Lie a su donner l'unité et la cohésion à ces théories et mettre en évidence les relations étroites qui existent entre les équations