CIIAIMTUE XIX. LA THÉORIE PES FONCTIONS, ETC

difTércntielles et les groupes. Les travaux de Soplnis Lie sur les groupes continus sont fort importants. Il en est de même des travaux de M. H. Poincai'é sur ces groupes discontinus qu'il appelle Fuclisiens et qui engendrent les fonctions fuchsiennes. Ces fonciions donnent l'intégrale de toutes les équations linéaires à coefficients algébriques, c'est-à-dire des équations différentielles linéaires à coefficients irrationnels en x. On sait que les fonctions fuchsiennes généralisent les fondions elliptiques, en ce sens que si celles-ci permettent la représentation paramétrique des courbes de genre un (dans les courbes de genre zéro les coordonnées sont fonctions rationnelles d'un paramètre) les fonctions fuchsiennes donnent la représentation paramétricjue de courbes de genre quelconque, comme l'a encore montré iNL Poincaré.

La découverte de pareilles fonctions, dont le rôle est capital dans toutes les branches de l'analyse, est un des titres de gloire de M. Poincaré.

Enfm, sous l'influence des écrits de M. Poincaré, l'étude au point de vue réel des équations dilTérentiellcs a fait récemment de grands progrès.

Dès l'apparition dans la science du concept de dérivée, les équations différentielles s'introduisaient dans la science.

Aussitôt après se présentaient les équations aux dérivées partielles, qui posaient ce problème : d'une relation donnée

,,. , du du d'hi î>"« \

tirer, si possible, une relation

(II) a=f(x,y).

Dès le début du xix" siècle, Gauchy, suivi par Jacobi, a ramené aux équations différentielles les équations iï) du premier ordre,

c'est-à-dire celles de la forme simple ci (x, y, u, — » — ) = o.

Pour les équations d'ordre quelconque, Gauchy se proposa l'étude des conditions d'existence de la fonction ii et démontra ce théorème : on peut trouver un développement de a en série de x, y ayant, sur une courbe gauche donnée, des valeurs données, cela pour le cas de deux variables x, y. Le théorème s'étend au cas de n variables.

I^O HISTOIRE DES MVTIIIMVTIorES

Le iht'OiTiiie de Cauchy a été rcj)i is par M"" de Kowaleski, par M. Darbûux, par M. 11. Poincaré qui en a examiné les cas d'exception.

L'équation -=0, qui admet p^ur Inlé^nale la fonction

Il = F(.x') -h G(y), où F et G sont arbitraires, mon Ire combien l'intégrale d'une équation donnée est indéterminée.

Citons sur le sujet Mong-c, Ampère, Laplace, MM. Moutard, Darboux, Mayer, Sophus Lie, von Weber, Uiquier, Delassus, Beudon. Cosserat, Kimig, Biicklnnd, Hamburger, Sonine.

Dans tous ces travaux se retrouvent les transformations de contact, déjà employées par Ampère, et des applications d'un baut intérêt intéressant les surfaces.

En même temps que se développait la théorie analytique des équations aux dérivées partielles, le point de vue réel, avec conditions aux limites faisait l'objet de travaux d'autant plus remarquables que la physique mathématique y avait une part importante. La plus célèbre des équations ainsi étudiées est celle de Laplace :

d-a d'^ii

dx^ dy-

II ayant des valeurs données sur une courbe fermée. Celte étude,, cajîilale en mécanique, en électricité, en thermodynamique, porte le nom de problème de Dirichlet. Au point de vue analytique, aucune distinction n'est à faire entre l'équation de Laplace (type

elliptique) et l'équation — o — 1 ,2 ^^ ° l^yP'^ hyperbolique) et cependant, au point de vue réel, ces deux équations, affectées d'un second membre, présentent les différences les plus essentielles.

M. Picard a complètement intégré ces équations par sa belle méthode des approximations successives. Il a montré que, pour les équations de Laplace, on peut donner les valeurs de u sur une courbe fermée du plan et que pour les autres on peut donner a et l'une de ses dérivées sur un certain arc de courbe seulement.

Les belles méthodes de Laplace. de M. Darboux, de M. Coursât, de M Coulomb, de M. d'Adhémar, on doit à ce dernier l'importante notion de conormale, permettent d'alleindre des catégories plus générales d'équations, mais non poini d'oj)l(Miir des résultats aussi précis, aussi achevés.

Les travaux de M. Schvvarlz, la célèbre méthode du balayage