CHAPITRE XIX. LV TIIKOUIK DES FONCTIONS, ETC. lyr

de M. Poincaré pour la résolution du problème de Dirichlet dans le plan ou dans l'espace, les mémoires de M. Le Roy sur les équations de la chaleur, ceux de M. Yito Volterra sur les équations de l'élasticité, de MM. LiapounofT, Ilorn, SteckloIT, Ilarnack, Almansi, Bianchi, doivent encore être cités ici, d'autant plus qu'un fait important ressort de cet ensemble de travaux : tout comme pour les fonctions algébriques, les complications se multiplient quand on passe, au point de vue réel, de deux à trois variables, et plus.

Certaines lignes, dites caractéristiques, jouent un rôle fondamental dans les équations dilTérentielles à deux variables indépendantes, rôle étudié surtout par MM. Picard et Goursat. Dans le cas de trois variables indépendantes Beudon, le premier, a trouvé les surfaces caractéristiques qui correspondent aux lignes caractéristiques. Il se présente ici un fait nouveau : pour avoir des surfaces caractéristiques, il faut connaître une intégrale particulière de l'équation, sauf pour les équations linéaires.

Tel est l'ensemble et des travaux de Cauchy et des travaux qu'il a inspirés *.

Argand. — Nous pouvons mentionner ici le nom de Jean-Robert Argand, qui naquit à Genève le iS juillet 17G8, et mourut le i3 août 1S22. Dans son Essai, paru en 180G, il donnait la représentation géométrique d'un nombre imaginaire et s'en servait pour montrer que toute équation algébrique aune racine : cet opuscule, antérieur aux mémoires de Gauss et Cauchy sur le même sujet, n'attira pas beaucoup l'attention lorsqu'il fut publié.

Une démonstration plus ancienne de ce fait, que [/ — i peut être interprétée comme indiquant la perpendicularité dans l'espace à deux dimensions, et même Textension de cette idée à l'espace à trois dimensions par une méthode laissant pressentir l'usage des quaternions, a été donnée dans un mémoire de C. Wessel, présenté en mars 1797, à l'Académie des sciences de Copenhague ; d'autres mémoires sur le même sujet ont été publiés dans les PJiilosophical transactions pour 1806, et par II. Kfdm, en 1700, dans les Procès-verbaux de l'Académie de Saint-Pétersbourg (').

(•) Voir W.-W. Beman dans les Pron-cdinns of thc Amcriran Associa lion for the Ailvanceinent of Science, vol. XLVI, 1897.

172 HISTOIRE DLS MATIIEM \TIOl r.S

* Gôpel. — Atlolplie Ciipcl naquit à Hostock, en SaXv% en 181 2.

On lui doit un mémoire concernant les éqjiations indéterminées du deuxième degré et surtout la solution d'un beau problème : donner une expression des fonctions inverses des intégrales abéliennes de première espèce, problème dont une solution plus sinij)lc fut obtenue peu après par Roscnbaiu *.

Hamilton (') — Suivant l'opinion de quelques écrivains, la théorie des quaternions sera envisagée un jour comme l'une des plus grandes découvertes du \i\* siècle en mathématiques pures : cette découverte est due à Sir William Jiowan Hamilton, qui naquit à Dublin, de parents écossais, le \ août iSoj et mourut, dans cette même ville, le 2 septembre i8G5. L'instruction qui lui fut donnée dans sa famille, paraît avoir été singulièrement décousue ; sous rinHucncc d'un oncle bon linguiste, il se consacra tout d'abord à l'étude des langues ; vers l'Age de 7 ans, il pouvait lire avec facilité le latin, le grec, le français et l'allemand ; à i!> ans, il pouvait se vanter d'être familier avec autant de langues qu'il avait vécu d'années. Vers cette époque, il eut l'occasion de parcourir un exem[)\oiïrc de V Arithmétique Universelle de Neuton ; ce fut son initiation à l'analyse moderne, et il étudia bientôt les éléments de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal. 11 lut ensuite les Principes et les quatre volumes alors publiés de la Mrcanit/iie céleste de Laplace. Dans le dernier, il découvrit une erreur et sa note sur le sujet, écrite en 1823, attira considérablement l'attention. L'année suivante, il entra au collège de la Trinité, à Dublin : sa carrière universitaire est sans exemple, car la chaire d'astronomie étant devenue vacante en 1827, lorsqu'il n'était encore qu'étudiant, les électeurs lui demandèrent de se mettre sur les rangs, et il fut élu à l'unanimité. Il était entendu qu'on le laisserait parfaitement libre de poursuivre en même temps ses propres études.

Son plus ancien mémoire fut écrit en i82.'> et publié en 1828, sous le titre Tlteory of Systems of Rays ; deux su|)pléments écrits en i83i et 1802, furent ajoutés après C(iu[); dans

(')Voir la \ie d'IIainilton (avec luic Ijibliograjihic de ses écrits), par R. P. fînAMis, en trois volumes, DiiMin, 1882-8;) : les faits principaux sont donnés dans un article de la \orlh liritish lirv'ww, pour 188G.

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le dernier, il annonçait le phénomène de la réfraction coniqne. Ce mémoire fut suivi d'une note, en 18:^7, sur le principe de la ]aryiwj Action et, en i83/i et i835, par des mémoires sur une General Melhod in Dynamics, où il traitait, ainsi qu'il convient, la dynamique théorique comme une hranche des mathématiques pures. Ses leçons sur les Qualcrnions furent publiées en i87)'3 ; quelquesuns de ses résultats auraient été, semble-t-il, découverts antérieument par Gauss, mais ils ne furent connus et publiés que longtemps après la mort du dernier. Parmi ses autres écrits, nous devons rapporter : une noie sur la forme de la solution de l'équation générale algébrique du cinquième degré, qui confirmait la conclusion d'Abel' que les racines ne pouvaient être exprimées au moyen d'un nombre fini d'expressions purement algébriques ; une note sur les fonctions ; un travail sur l'hodographe ; et enfin un mémoire sur les solutions numériques des équations diflerentielles. Ses Eléments of Qaaternions furent publiés en 18G6 : parlant de cet ouvrage, une autorité compétente dit que les méthodes d'analyse qui s'y trouvent énoncées présentent sur les procédés de la géométrie analytique un perfectionnement aussi grand que ces derniers sur ceux de la géométrie euclidienne. Aune époque plus récente P. -G. Tait, d'Edinbourg, a, de nouveau, développé le sujet.

Ilamilton est d'une lecture pénible ; il a laissé une collection nombreuse de manuscrits que possède aujourd'hui la bibliothèque du collège de la Trinité, à Dublin, et dont quelques-uns, il faut l'espérer, seront un jour publiés.

* Laurent. — Pierre-Alphonse Laurent, né à Paris le 18 juillet 1810, entra à l'Ecole polytechnique en i83o et mourut à Paris en i8."J'|. Il fit sa carrière dans le génie, mais ne dépassa point le grade de commandant. Il ne fut membre d'aucune société savante, publia peu et se montra cependant mathématicien de valeur.

On lui doit une théorie importante sur la variation des intégrales multiples et une note sur le développement des fonctions, qui contient un théorème classique portant son nom; il est à regretter qu'il n'ait pas poursuivi ses travaux d'analyse et qu'il leur ait préféré les théories de la physique mathématique *.