I-'l niSTOIHE DES MATIIKM VTIQIES

* Gournot. — \ntoine- Aur/nslc ('ournnl naquità Grayen 1801 et mourut à Paris en 1877.

M. Poincaré, dans ses Lerons sur le cnlrul des probabilités^ est d'avis qu'il n'est iruère possible de donner une définition satisfaisante de la probabilité.

Cournol, cependant, avait développé une série de considérations conduisant à une définition convenable de la [)robabilité. Si sur m épreuves ou observations, faites dans des conditions constantes déterminées, un événement E se produit n fois et si le rapport ^^^

tend vers une limite quand le nombre m croît, cette limite, selon Cournot, est la probabilité de l'événement E dans les conditions considérées.

Quand à la question du basard, plutôt pbilosopbique que matbémalique, Cournot s'en est aussi préoccupé, et, après lui nombre d'auteurs que cite Y Encyclopédie des sciences nialtténiatitjues.

Hasard et probabilité sont des notions à peu près élucidées aujourd'liui et notamment les idées de Laplace. voulant que la probabilité soit relative en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance, celles de Hume, que le basard est l'ignorance oii nous sommes des véritables causes, sont complètement abandonnées.

Le calcul des probabilités est d'origine française. Il a été étudié tout d'abord par Pascal et Fermât, à propos d'une question relative aux jeux de hasard. Parmi les premiers mathématiciens qui s'en sont occupés on compte encore Galilée, Hierosme Cardan, Montmorl, Huygens, Jacques Ikrnoulli, Leibniz, d'Alcmbert. Laplace fut le premier à en composer un corps de doctrine.

Moivre, Lagrange, Laplace ont appliqué les équations aux dilTérences finies au calcul des probabilités, Boolc a simplifié les méthodes de ces derniers. Ampère, puis M. Rouché ont étudié le problème de la ruine des joueurs, Euler et les BernouUi celui de la loterie, Bertrand et M. André celui du scrutin, BufTon, Cesaro, M. Poincaré, M. Czuber et d'autres auteurs que nous ne saurions nommei', la question de la probabilité géométrique où il s'agit de problèmes tels que celui-ci : on jette une aiguille sur une table, sur laquelle on a tracé des parallèles équidistantes ; quelle est la [)robabililé pour que l'aiguille rencontre Tune des parallèles;' On peut aussi ■rappeler à ce sujet : Laplace, Lamé, Barbier, Croflon, Sylvester.

CIIVI'ITRE XIX. LV THÉORIE DES FONCTIONS, ETC. l'S

Poisson s'est occupé de certaines probabilités concernant un très grand nombre d'épreuves.

Laplace, Bayes, Morgan, Condorcet ont attaché leurs noms à la probabilité des causes.

Divers auteurs, CondorcetetTcbcbuhof surtout, se sont préoccupés de l'Espérance malhémo tique, ou évaluation objective de l'attente d'un gain attaché à la réalisation d'un événement incertain.

Comme on le voit par cette très rapide élude, le calcul des probabilités est surtout dû aux mathématiciens français. Il a d'ailleurs fait peu de progrès depuis Laplace.

Cournot s'est aussi préoccupé d'une question qui divisait les philosophes et les mathématiciens de son temps : les principes du Calcul Infinitésimal. M. Poincaré a exposé les idées de Cournot dans la Rcriic de Métaphysique et de Morale. Aujourd'hui, où le nombre incommensurable a été défini de façon satisfaisante par Kronecker, où l'analyse mathématique a été arithmétisée, les diffi- ■cultes qui se trouvaient à la base du calcul différentiel ont disparu. Tout au plus est- il permis de se demander si les procédés du calcul ■différentiel et intégral, actuellement complètement justifiés au point de vue logique, peuvent être légitimement appliqués à l'étude des phénomènes naturels, ou plutôt à préciser sous quelles conditions une telle application est légitime.

Revenant à notre premier sujet, nous devons ajouter que Cournot, puis Westergaard ont produit des travaux classiques concernant les tables de mortalité *.

Grassmann ('). — L'idée des opérations non commutatives et ■des quaternions semble s'être présentée à l'esprit de Grassmann et de Boole à peu près à l'époque où Ilamilton s'en occupait. Hermann Giinther (Grassmann naquit à Stettin, le i5 avril 1809 et y mourut en 1877. Il était professeur au gymnase de cette ville. Ses recherches sur les algèbres non commutatives sont contenues dans l'ouvrage Ausdehnungslehrc, publié en iS^^i, et augmenté en 1862. L'exposition scientifique des principes fondamentaux de l'algèbre créée par Hamilton et Grassmann fut poursuivie p^r de Morgan et Boole et reçut plus tard de nouveaux développements de

(1) Ses œuvres, réunies en trois volumes, éditées par F, Engel, ont été paillées k Leipzig, iSg^-

II. Ilankel clans son ouvrage sur les complexes, 1867, et de G. Canlor, qui suivit une marche quelque peu dilTérenle, dans ses mémoires sur la théorie des grandeurs irrationnelles, 1871 ; l'examen de ces questions est si technique que nous devons nous contenter d'y faire allusion dans un livre tel que celui-ci. Grassmann a également étudié les propriétés de l'hyperespace homoloïdal.

Boole. — (jcon/e lindlc, né à Lincoln le 2 novembre 181 5 et mort à Cork le 8 décembre i8G'i, imagina, indépendamment des travaux de Grassmann, un syslème d'algchrc non commutalive. De ses ménioircs sur les transformations linéaires, la partie relative à la théorie des invariaiils a pris un certain développement.

Galois (') — Un nouveau dévcl(.)p[)enicnt de l'algèbre, la théorie des groupes de substitutions a été imaginée par Kuarislc Cialois, né à Paris le 26 octobre 181 1 et qui s'annonçait comme un des mathématiciens les plus originaux du xix" siècle, lorsqu'il fut îué dans un duel, le 3o mai iS.'û), à l'Age de 20 ans.

La théorie moderne des groupes est née des recherches de Galois, Gauchy etJ.-A. Serret qui se sont surtout préoccupés desgroupes de substitution finis discontinus. Cette branche de recherches a été poursuivie par M. G. Jordan, de Paris, et E. Netto, de Strasbourg. Le problème des opérations avec les groupes discontinus, avec applications à la théorie des fonctions, a été abordé de nouveau par F. -G. Frobcnius, de Berlin, F. -G. Klein, de Gœttingue, et W. jjurnsidc, anciennement à Cambridge et aujourd'hui à Grecnwich.

* La théorie des équations a fait au \ix" siècle des progrès décisifs. C'est d'abord le théorème de Sturm, qui permet de calculer le nombre de racines réelles qu'une équation algébrique possède entre deux limites données, théorème qui, étendu aux racines imaginaires par Gauchy et Laguerre, olVre encore im vaste champ de recherches. D'autre part, Gauss a donné une théorie complète des équations binômes. 11 a étudié aussi les équations j)riuiilivcs et les équations non primitives. Ces dernières sont celles ([ui. étant de

(') * Sur sus rcclicrclics, voir l'édilion de ses œuvres avec une introduclion par E. l'icvF.u, l'aris, 1897 *.