CHAPITRE XI\. I.A. TIIEOUIE DES FONCTIONS, ETC. fTy

degré mn se décomposent en m facteurs de degré n, au moyen de la résolution d'une seule équation de degré m.

Mais la découverte la plus profonde, celle qui a fait pénétrer au cœur de la question est celle de Galois. Le premier, Galois met en évidence l'importance du (jroape de l'équation, qu'il définit ainsi. Il appelle ralionnclle toute quantité qui s'exprime en fonction rationnelle des coefficients de l'équation et d'un certain nombre de quantités arbitraires adjointes à l'équation. Soient alors a, u,c..., les racines : il y a toujours un groupe de permutation des lettres a, b, c,... tel que toute fonction des racines invariable numériquement par les substitutions de ce groupe soit rationnellement connue et, réciproquement, que toute fonction des racines, déterminable rationnellement, soit invariable par les substitutions.

Une autre notion très importante est celle des sous-groupes dits invariants, contenus dans le groupe primitif. Un groupe est composé ou simple, selon qu'il renferme ou non un sous-groupe invariant. Galois tire de ces principes des résultats très remarquables, qui sont actuellement la base de la tliéorie des équations et qui furent complétés dans la suite par Belti, Kronecker, Serret et surtout par M. Jordan, qui s'est attacbé à l'étude des groupes composés, des groupes transitifs, des groupes primitifs et a considérablement étendu à leur aide le champ de la théorie des substitutions. Il a montré que les équations à groupe composé peuvent se résoudre à l'aide d'équations auxiliaires, il a construit tous les groupes d'équations d'un degré donné résolubles par radicaux, problème à la fois très important et très difficile posé par Abel.

La notion de groupe de substitution ou de transformation, dont Galois a, le premier, révélé la fécondité, est aujourd'hui fondamentale dans bien des parties de l'analyse, caria science mathématique étudiant essentiellement les transformations de diverses natures doit toujours rechercher ce qui demeure constant et inaltéré dans ces transformations. Partout elle étudie des rjroiipes au moyen des invariants. La géométrie projective offre les relations les plus étroites avec la théorie des substitutions linéaires, de même que la géométrie élémentaire avec celle des substitutions orthogonales.

Halphen a étudié le groupe des substitutions linéaires, c'est-àdire des changements projectifs de coordonnées ; il a nommé invariants différentiels certaines fonctions des dérivées que ces substitu-

R. H. — Tome II la •

1^8 HISTOIRE DES MATIlKMATlQt ES

lions n'altèrent pas; il a fait la théorie complète de ces invariants et il a déterminé les plus simples et les plus remarquables d'entre eux. Laguerre, à son tour, a introduit en analyse l'importante notion des invariants des équations différentielles linéaires, mais c'est encore Halphen qui reconnut l'analogie de ceux-ci avec ses invariants différentiels et basa sur ce l'ait son célèbre travail sur le problème de l'intégration des équations différentielles.

La notion de groupe de substitutions ou de transformations, dont Galois a, le premier, révélé la fécondité, est aujourd'hui fondamentale en analyse, où la géométrie projective, les fonctions modulaires et fuchsiennes, les fonctions elliptiques, abéliennes et autres ont au fond pour objet l'étude d'un groupe particulier, et celles des fonctions qui demeurent invariables par les substitutions de ce groupe. Aujourd'hui, la théorie des groupes est une immense théorie autonome que divers géomètres. Lie et AI. Klein. M. Poincaré et M. Picard, Frobenius et Sylou, M. Maillet et M. dcSéguier ont développé à divers points de vue *.

De IVorgan (*). — Aiujiisle de Morgan, né à Madras en juin 180G et mort à Londres, le 18 mars 1871, fit ses études au collège de la Trinité, à Cambridge, mais dans l'état de la législation d'alors, il ne pouvait (étant unilarien) être membre agrégé. En 1828, il devint professeur à l'Université nouvellement créée à Londres et qui est la même que l'institution désignée aujourd'hui sous le nom de Collège de l'Université. Une fois là. il exerça, par ses propres lra\aux et ceux de ses élèves, une grande inllucncc sur les mathématiciens anglais. La Société malhématicpie de Londres lui doit en grande partie, sa création, et il prit une large part aux actes de la Société astronomique royale. Il était très au courant de la philosophie et de l'histoire des mathématiques, mais ses aperçus à' ce sujet sont donnés dans des articles disséminés un peu partout ; nous en avons fait largenient usage dans ce livre. Ses niénioires sur les principes fondamentaux de l'algèbre, son traité sur le calcul différentiel, publié en i8V^ sont des œuvres de talent où l'on remarque une exposition rigoureuse de la ihéoiie des séries infinies ; ses articles sur le calcul des fonctions et sur la théorie des proba-

(*) Sa vie a été écrite par sa veine, S. E. de Morga>-, Lonilrcs, 1882.

CIIAPITHE XIX. I.V THEORIE DES FONCTIONS, ETC. I jg

bilités, méritent d'être spécialement notés. L'article sur le calcul des fonctions contient l'étude des principes de la dialectique symbolique, mais les applications concernent plutôt la solution des équations fonctionnelles que la théorie générale des fonctions.

*Genocchi. — Angclo (7e/20cc/// naquit à Plaisance le 5 mars 1817 et mourut à Turin le 7 mars 1889. D'abord avocat et professeur de droit à Parme et à Plaisance, il abandonna bientôt ces premières études et, après avoir étudié à Turin, il publia, en i85i, un premier mémoire concernant la théorie des nombres et, en i852, une note sur les résidus quadratiques.

En 1837, il avait déjà publié plus de quarante mémoires, et fut nommé professeur d'algèbre supérieure et de géométrie à l'Université de Turin, où il fit toute sa carrière.

Ses travaux ont eu pour objet les séries, le calcul intégral et surtout la théorie des nombres, où il se montra passé maître. La théorie des nombres complexes, la loi de réciprocité quadratique, la résolution en nombres entiers des équations indéterminées ont été de sa part l'objet de mémoires remarquables. La grande loi de réciprocité quadratique donnée par Gauss et démontrée une seconde fois par ce grand mathématicien, à la suite des recherches d'Euler et Legendre sur le même sujet, puis une quatrième, une cinquième, une sixième fois, toujours par Gauss, fut de nouveau l'objet des travaux de Jacobi, Eisenstein, Liouville, Lebesgue, Kummer, A. Stern, Zeller, Kronecker, Bouniakowsky, Shering, Petersen, Voigt, Busche, Th. Pépin. Tout spécialement, le mémoire de Genocchi sur le même sujet, Sur la théorie des résidas quadratiques, fut couronné par l'Académie des sciences de Bruxelles,

Genocchi s'intéressait aussi à l'histoire des mathématiques comme le montrent ses publications sur Léonard de Pise, la correspondance de Lagrange et d'Alembert, l'histoire de l'algèbre, et les manuscrits de Fermât *.

* Betti. — Henri Betti naquit près de Pistoie le 21 octobre 1828 et mourut le 11 août 1892, près de Pise.

Ses premiers travaux concernent la théorie des équations. Dans une célèbre lettre écrite à Chevalier, la veille de sa mort, Galois, à l'exemple de Fermât, avait énoncé toute une suite de théorèmes sans

l8o HISTOIRE DES M VTIIKM VTIQIES

en donner les démonstrations; cet te lacune fut comblée par Hetli. Entre autres, il démontra que l'éqnatio.i modulaire dont (lé|)end la transformation des fonctions elliptiques peut être abaissée d'un degré et n'est pas résoluble par radicaux pour les depfrés .'), - . i i . Sur plusieurs points, il se rencontra avec Ilermitc et Kronecker. 11 était sur la voie de la résolution de l'équation du cinquième degré parles fonctions elliptiques, mais il fut devancé par Ilermite et Kronecker. On peut citer sur ce sujet les travaux de Sohnke, Mathieu, Konigsberger, Joubert, Hrioscbi, Srbliifli. Scluotor. Gudermann, niilzlalT. Les leçons sur l' claslicilc <\q Belli, publiées en iSy-j, constituent une œuvre très importante et font date dans l'histoire de celte théo rie. Le théorème qui porte son nom et qui concerne l'équilibre des solides élastiques, a pour beaucoup contribué à le faire reconnaître comme un mathématicien de valeur *.

Cayley ('). — \rlhiir Cayley est un des plus grands mathématiciens anglais ; il naquit dans le comté de Surrey, le 16 août 1821 et, après avoir fait ses études au collège de la Trinité, à Cambridge, il fut inscrit au barreau; mais ses goûts le portant vers les mnlhématiques, il fut nommé, en i863, à la chaire Sadlerian, à Candjridge, où il passa le reste de sa vie. Il mourut le 26 janvier i8()j.

Les écrits de Cayley se rapportent surtout aux mathématiques pures. Nous avons déjà fait mention de ceux cpii se rapportent à la partition des nombres et aux fonctions elliptiques envisagées au même point de vue que Jacobi. Ses dernières notes sur les fonctions elliptiques visent principalement la théorie de la transformation et l'équation modulaire. Ce sont cependant ses recherches sur la géométrie analytique et sur l'algèbre supérieure qui constituent ses principaux titres de gloire.

En géométrie analytique, la conception de ce qu'on désigne (d'une l'açon peu heureuse, peut-être) sous le nom d' It.vo/a est due à Cayley. Comme il l'établit d'ailleurs lui-même u la théorie, en effet, est que les propriétés métriques d'une figure ne sont pas les propriétés de la figure considérée per se... mais ses propriétés quand on les considère en connexion avec une autre figure, à savoir la conique nommée Asbola » ; par suite, les propriétés métriques

(•) La collection de ses œuvres en treize volumes a été publitc à Cambridge, 1S89-98.