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peuvent être soumises aux méthodes descriptives. 11 contribua largement à la théorie générale des courbes et des surfaces ; son travail est basé sur la supposition d'une liaison nécessairement étroite entre les opérations algébriques et géométriques.

En algèbre supérieure, on doit à Cayley la théorie des invariants ; SCS dix mémoires classiques sur les formes binaires et ternaires, ses recherches sur les matrices et sur les algèbres non commutatives font époc[ue dans le développement du sujet.

Sylvester. — James-Joseph Sylvester, né à Londres le 3 septembre iSi4 et mort le i5 mars 1S97, est contemporain de Cayley. Lui aussi fit ses études à Cambridge où il se lia d'amitié avec Cayley ; leur liaison dura toute leur vie. Comme Cayley, il fut inscrit au barreau et cependant ses goûts le poussaient vers les mathématiques. Il professa successivement à AA oohvich, Baltimore et Oxford. Personnalité puissante, il fut un professeur entraînant, mais il est difficile de résumer ses écrits, car ils sont nombreux et sans liens les uns avec les autres.

Sur la théorie des nombres, Sylvester a écrit des notes importantes concernant la distribution des nombres premiers et la partition des nombres. En analyse, il s'occupa du calcul infinitésimal et des équations ditîérentielles. Mais son étude favorite était peut-être l'algèbre supérieure ; parmi ses nombreux mémoires sur ce sujet, nous pouvons citer en particulier ceux qui se rapportent aux formes canoniques, à la théorie des contrevariants, aux réciprocants ou invariants difîérentiels, à la théorie des équations (notamment à la règle de Xewton). Il créa la langue et la notation de la majeure partie des sujets qu'il traita.

Les écrits de Cayley et de Sylvester présentent un contraste marqué ; ceux de Cayley sont méthodiques, précis, réguliers et complets ; ceux de Sylvester sont vifs, inachevés, mais non moins vigoureux ni moins stimulants. L'algèbre supérieure surtout a vivement intéressé ces deux mathématiciens et sa forme moderne leur est due pour une grande part.

- Lie ('). — Un autre grand analyste du xix^ siècle, est Mariiis-

(*) Voir la notice nécrolofrique par A.-R. Forsyth dans le Year book of the j{oy(^l socicty, Londres, 1901.

l8a mSTOlKE DES MVTIIKM VTIQl ES

Sopliiis Lie, né le 12 décembre 18 '12, et mort le iS février 1899. Lie fit ses études à Christiania, puis il obtint une bourse de voyages qui lui permit de faire la connaissance de Klein, Darboux et Jordan. C'est linlluence de ces trois hommes qui décida de sa carrière.

En 1870, il découvrit la transformation au moyen de laquelle on peut faire correspondre une sphère à une ligne droite et dont l'emploi permettait de transformer les théorèmes sur les assemblages de lignes en théorèmes sur des assemblages de sphères. Puis suivit une thèse sur la théorie des transformations tangentielles pour l'espace.

En 1872, il devint professeur ù Christiania. Les premières recherches qu'il fit alors concernent les relations entre les équations dilTérentielles et les transformations infinitésimales. 11 fut ainsi naturellement conduit à la théorie générale des groupes continus finis de substitutions ; les résultats de ses études sur ce sujet sont contenus dans son ouvrage Théorie der transformations griippen, Leipzig, 3 volumes, 1888-93. H poursuivit ses travaux par l'étude des groupes continus infinis, et il faut espérer que ses découvertes sur ce sujet seront publiées d'ici peu. ^ ers i>'^79, Lie porta son attention sur la géométrie dilïérentielle ; on publie actuellement l'exposition systématique de ses recherches sur cette question, sa Géométrie der Beruhran<js-transformalioncn.

Il fallut un certain temps pour que les travaux de Lie fussent estimés à leur juste valeur. Il en éprouva un vif désappointement. Laréputalion lui vint, mais lentement. En 1886, il se rendit à Leipzig, et en 1898 il retourna à Christiania, où un poste venait d'être créé pour lui. Malgré sa nouvelle situation, il conserva toujours un souvenir pénible du temps où il avait été méconnu, et les dix dernières années de sa vie en furent attristées.

h'Alf/èbre supérieure (en y comprenant la théorie des (ormes et la théorie des équations) a été traitée partant d'autres auteurs qu'il est difficile de résumer les conclusions auxquelles ils sont arrivés ou de les signaler individuellement.

La convergence des séries a été étudiée par ./.-/.. Huabe (1801- 1809) de Zurich ; J.-L.-F. Bertrand (1822-1900), qui fut secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences de Paris ; E.-E. Ku/nmer (i 810-1893) de BerUn ; U. Dini de Pise ; .1. Pringslieim de

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Munich (M ; et Sir Geor<jes-G(ibvicl Slokes (^) de Cambridp-e, auquel on doit le théorème bien connu sur les valeurs critiques des sommes de séries périodiques.

Quant à la théorie des groupes de substitutions, nous avons déjà signalé, d'une part, les travaux de Galois, Cauchy, Serret, Jordan, J.-A. de Séguier et Nette, puis ceux de Frobenius, Klein et Burnside pour les groupes discontinus, enfm ceux de Lie pour les groupes continus.

Nous pouvons encore mentionner les auteurs suivants : C.-W. Borchardt i^) 1 817-1880) de Berlin, qui examina en particulier le rôle des fonctions génératrices dans la théorie des équations ; C. Hermitc (182 2-1 901) qui envisagea la théorie des covariants associés dans les formes binaires, la théorie des formes ternaires, et qui appliqua les fonctions elliptiques à la détermination d'une solution de l'équation du cinquième degré et de l'équation différentielle de Lamé.

Enrico /}6'///(i 828- 1892) de Pise et F. 7i/705c/«' (182/1-1897) de Rome, s'occupèrent tous deux de formes binaires. S. -H. Aronhold (18 19-1 884), développa les méthodes symboliques pour la théorie des formes invariantes.

R.-A. Gordan (*) d'Erlangen, écrivit sur la théorie des équations, sur les théories des groupes et des formes, et a montré qu'il n'y a qu'un nombre fini de formes adjointes. B.-F.-A. Clcbsch [=) 1833-1872; de Gottingue étudia, indépendamment de toutes recherches déjà faites, la théorie des formes binaires dans quelques notes, réunies et publiées en 1 871 ; il écrivit également sur les fonctions abéliennes. P. -A. Mac-Mahon, officier dans l'armée anglaise, a écrit sur la relation des fonc-

(') Sur les recherches de Kaare, Bertrand, Kummer, Dini et I^rincsiieim, voir le Bulletin de. la SocirU' mathémaligiie de New-Yoric, Vol. II, 1892- 1898, p. I-IO.

(*) La collection des notes mathématiques et physiques de Stokes, a été publiée en deux volumes, à Gamhridge, 1880 à i883.

(■') Une édition de ses œuvres réunies, préparée par (i. IIettner, a paru à Berlin en 1888.

('') Une édition de son travail sur les invariants (déterminants et formes ■binaires) préparée par G. Kerschensteiner, a été publiée à Leipzig en trois volumes, i885, 1887, i8g3, le troisième volume n'est pas paru.

(^) Un compte rendu do sa vie et de ses travaux se tiouve dans les Mathc- .malische Amialen, 1878, vol. VI, pp. 197-203, et 1874, vol. VII, pp. i-55.

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lions svnu'lriqiics, los invariants et covariants, les formes adjointes binaires, et l'analyse coniiiinaloiie. F.-(]. Klein, de Gôttingue, comme suite à ses recherches déjà mentionnées, sur les foncliiins et sur les groupes finis discontinus, s'est occupé des équations diflërentiellcs. A.-B. Forsyth de Cambridge, a développé la théorie des invariants et la théorie générale des équations dilîérentielles, lernariants et quaternariants. (]. Painlcrc, a écrit sur la théorie des équations difTérenticUes. Et enfin D. IlHhcrt de Gœttingue, a traité la théorie des formes homogènes.

Un exposé des écrits contem[)orains se rapportant à ralgèbrc supérieure ne serait pas complet, si nous ne faisions pas mention des admirables ouvrages classiques : Ilujher Ah/chra, de G. Salmon, proviseur du Collège de la tiinilé à Dublin, Ahjcbra de AN eber ,run et l'autre traduits en français, et Cours d'ahicbrc supérieure de J.-A. Serret (i8iq-i885) professeur à la Sorbonne. dans lesquels se trouvent exposées les principales découvertes modernes. Un superbe résumé historique de la théorie d'une variable complexe est donné dans l'ouvrage de II. llankel }'(trlesuni/('u lilicr die coinplexen Zahlen, Leipzig, 1867.

* Puiseux. — Victor Puiscux naquit à Argenteuil le 16 avril i8i>o et mourut à Fontenay, dans le Jura, en i883. Elève à l'Ecole normale, il débuta comme professeur à Rennes et passa de là à Besançon, où son mémoire sur /es fonctions (th/ébri'/ues, venant en suite des beaux théorèmes de Cauchy sur le même sujet, le plaça au premier rang des jeunes géomètres d'alors, ^ommé professeur en Sorbonne, il put s'adonner à son goût pour la mécanique céleste et prêta un précieux concours au liureau des Longitudes et à l'Observatoire, 11 eut la rare sagesse d'abandonner cc^ fonctions le jour où il se sentit incapable de les remplir.

Membre de l'Académie des sciences, Puiseux y laissa le souvenir d'un tiavailleur toujours prêt à prendre à sa charge les études qui s'imposaient au savant corps dont il faisait partie *.

* Bouquet. — Jean-Claude Bouquet naquit à Morteau en Franche-Comté le 7 septembre 1819 et mourut à Paris le 9 septembre 188.").

Après ses lienitwrjues sur les syslènws de droites dans l'espace^