CHAPITRE IX. — COTfTfAISSAÎÎCES MATHÉMATIQUES iS

dans laquelle a serait égal à 3° p en partant de cette formule, il construit une table de sinus et trouve finalement 3 438 pour la valeur du sinus de 900. Ce résultat est exact si l'on suppose * = 3,i4i6 et il est intéressant de constater que c'est là la valeur qu'il assigne à n dans une autre partie de l'ouvrage. La formule trigonométrique exacte est

sin (n -f- 1) a — sin na = sin na — sin (n — i)a — 4 «in na sin* - a

par conséquent Arya-Bhata faisait 4 sin1 - a égal à cosec a, c'està-dire qu'il supposait 2 sin a = 1 -+- sin ia ; en employant les valeurs approchées de sin 2 a données dans sa table, cette égalité revient à 2 (225) = 1 -+- 449.

Sa formule est donc exacte avec l'approximation résultant de l'hypothèse d'où il est parti. Un grand nombre des propositions géométriques qu'il énonce sont fausses.

Brahmagupta. — Le second écrivain Hindou ayant quelque valeur est Brahmagupta né, dit-on, en 598 et qui vivait encore probablement vers 660. Il écrivit un ouvrage en vers intitulé Brahma-Sphuta-Siddhanta, c'est-à-dire, le Siddhanta ou le système de Brahma en astronomie. Dans ce livre, deux chapitres sont consacrés à l'arithmétique, l'algèbre et la géométrie (1).

L'arithmétique est sans aucun symbolisme. La plupart des problèmes sont traités par la règle de trois et un grand nombre roulent sur des questions d'intérêt.

Dans son algèbre, qui est également sans symbolisme, il étudie les propositions fondamentales des progressions arithmétiques et résout une équation du second degré (mais il ne donne que la valeur positive du radical). Gomme exemple des problèmes qu'il traite, nous pouvons citer le suivant qui a été reproduit sous des formes légèrement différentes par divers auteurs, mais nous remplaçons les nombres par des lettres.

métrie a été donnée, par L. Rodet, dans le Journal Asiatique 1879. Paris, série 7, vol. XIII, pp. 3o3-434.

(«) Ces deux chapitres (chap. xn et xyiii) ont été traduits par II. T. Colbbrookb et publiés à Londres, en 181 7.

l58 HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

« Deux ascètes vivent au sommet d'un rocher de hauleur h dont la base est à une distance mh du village le plus voisin. L'un se rend au village en descendant la montagne, l'autre monte jusqu'à une hauteur xt puis se dirige directement sur le village. Trouver x sachant que tous les deux ont parcouru la même distance ».

Brahmagupta donne la réponse correcte x = . Dans la

question telle qu'il l'énonçait h = 100 et m = 2. Brahmagupta trouva les solutions en nombres entiers de plusieurs équations indéterminées du premier degré par une méthode semblable à celle qui est encore en usage aujourd'hui. Il a fait connaître une équation indéterminée du second degré nx* ■+- 1 = y9 et donné comme

solutions x = -0 et y = -. . Il a prouvé que cette solution

générale se déduit d'une solution particulière de l'équation donnée ou d'une autre qui en dépend, mais il n'a pas dit comment il obtenait une solution particulière.

Ce qui est assez curieux c'est que cette équation fut proposée en défi, dans le dix-septième siècle par Fermât à Wallis et k lord Brouncker ; ce dernier trouva les mômes solutions que Brahmagupta. Brahmagupta a encore démontré que l'équation y8 = nx2 — 1 ne peut être satisfaite par des valeurs entières de x et de y que si n est exprimable par la somme des carrés de deux entiers. Il est peut être bon d'observer que les premiers algébristes Grecs, Hindous, Arabes ou Italiens ne faisaient aucune distinction entre les problèmes qui conduisaient à des équations déterminées et ceux qui conduisaient à des équations indéterminées. Ce n'est qu'après l'introduction de l'algèbre syncopée que des tentatives ont été faites pour donner les solutions générales des équations et la difficulté de les obtenir pour les équations indéterminées autres que celles du premier degré avait conduit à les exclure en pratique de l'algèbre élémentaire.

En, géométrie Brahmagupta démontra le théorème de Pythagore concernant le triangle rectangle (Eue. I. £7). Il donna des expressions pour calculer les aires d'un triangle et d'un quadrilatère inscriptible en fonction de leurs côtés, et montra que la surface du cercle est égale à celle d'un rectangle ayant pour côtés le rayon et le demi-périmètre. Il fut moins heureux dans ses essais de rec-