CHAPITRE IX. — CONNAISSANCES MATHÉMATIQUES l6l

posée avec des cas divers. Intérêts, escompte et partages. Le tempsnécessaire à plusieurs fontaines pour remplir une citerne. Echanges, progressions arithmétiques et sommation des carrés et des cubes. Progressions géométriques. Problèmes sur les triangles et les quadrilatères. Valeur approchée de it. Quelques formules trigonométriques. Volume des solides. Equations indéterminées du premier degré. Enfin le livre se termine par quelques questions sur les combinaisons.

C'est le plus ancien ouvrage connu présentant une exposition ' méthodique du système de numération décimale. Il est possible que ce système fût familier à Arhya-Bhata et très vraisemblable que Brahmagupta Tait connu, mais nous trouvons dans l'arithmétique de Bhaskara des symboles numériques dûs aux Arabes ou aux Indiens et un signe pour le zéro, formant ensemble une notation bien définie. Il est actuellement impossible de trouver des traces de l'emploi de ces symboles antérieurement au huitième siècle, mais il n'y a aucune raison de douter de l'assertion, qui a été émise, que leur usage remonte au commencement du septième siècle. Leur origine est une question difficile et controversée. Nous mentionnons plus loin (') les opinions qui nous paraissent, en définitive, les plus probables et qui sont généralement admises, et nous reproduisons quelques-unes des formes qui furent primitivement employées.

Pour nous résumer, nous pouvons dire que le Lilavati donne lesrègles actuellement en usage pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division aussi bien que les traités d'arithmétique les plus communs ; et que la plus grande partie de l'ouvrage est consacrée à la discussion de la règle de trois, divisée en directe et inverse, en simple et composée, et employée à la résolution de nombreuses questions, principalement d'intérêt et d'échange. Le système de numération décimale que nous connaissons est utilisé dans les applications numériques.

Bhaskara était aussi célèbre comme astrologue que comme mathématicien. Il apprit par celle science que le mariage de sa fille Lilavati serait pour lui un événement fatal. C'est pourquoi il ne voulut jamais lui permettre de le quitter, et comme une sorte de-

(*; Voir plus loin, p. 190

R. B. — Tomel. 11

consolation, non seulement il donna son nom au premier livre de son ouvrage, mais encore il rédigea plusieurs de ses problèmes sous forme de questions qu'il était censé lui adresser.

En voici un exemple : « Aimable et chère Lilavati dont les yeux ont la douceur de ceux du faon, dis-moi quels sont les nombres qui résultent de la multiplication de i35 par 12. Si tu es experte en multiplication, soit par totalité ou par parties, soit par division ou par séparation des chiffres, dis-moi, heureuse demoiselle, quel est le quotient du produit par le môme multiplicateur » .

Ajoutons ici que dans les ouvrages indiens, les problèmes fournissent beaucoup d'informations intéressantes sur les conditions sociale et économique du pays. Ainsi Bhaskara traite quelques questions relatives au prix des esclaves et incidemment il fait remarquer qu'une femme esclave était généralement considérée comme ayant sa plus grande valeur lorsqu'elle avait 16 ans et que celte valeur décroissait ensuite en raison inverse de l'âge ; par exemple si celte esclave valait à l'âge de 16 ans, 32 nishkas, à

16 x 32 20 ans, sa valeur n'était plus que de — =25,6 nishkas. Il

paraîtrait, suivant une évaluation moyenne grossière, qu'une esclave de 16 ans, représentait la valeur de 8 bœufs ayant travaillé pendant

2 ans. L'intérêt de l'argent dans les Indes variait de 3 - à 5 %

par mois. Entre autres renseignements ainsi fournis on trouve le prix de6 denrées et du travail.

Le chapitre intitulé Bija Ganita débute par une sentence si ingénieusement présentée qu'on peut la lire comme renonciation d'une vérité religieuse, philosophique ou mathématique. Bhaskara après avoir fait allusion à son arithmétique ou Lilavati> annonce qu'il se propose dans ce livre d'étudier les opérations générales de l'analyse. Il emploie une notation dont voici le principe. Des abréviations et des initiales sont utilisées comme symbole ; la soustraction est indiquée par un point placé au-dessus du coefficient de la quantité à soustraire, l'addition par la simple juxtaposition ; mais il n'a aucun symbole pour la multiplication, l'égalité ou l'inégalité qui sont écrites en entier. Le produit est indiqué par la première syllabe du mot jointe aux facteurs entre lesquels se trouve quelquefois placé un point. Dans un quotient ou une fraction le diviseur est écrit sous le dividende, mais sans trait séparatif. Les