CHAPITRE XII. DÉVELOPPEMENT DE L* ALGEBRE SYNCOPÉE 21 J

L'exemple suivant nous donnera une idée du genre de problèmes d'arithmétique discutés.

J'achète pour i l\l\o ducats à Venise a l\oo pains de sucre, dont le poids net est 7200 livres; je paye pour le salaire de l'agent 3 % ; aux peseurs et aux chargeurs en tout a ducats; après cela je dépense enachat de caisses, cordes, toile et pour le salaire des emballeurs une somme de 8 ducats ; pour la taxe ou droit d'octroi sur le premier montant de mon achat, i ducat pour cent; après cela pour droit et taxe au bureau des exportations, 3 ducats pour cent; pour inscription des adresses sur les caisses et enregistrements de leur passage i ducat ; pour le trois-mâts barque jusqu'à Rimini, i3 ducats; en cadeaux au capitaine et en pourboire pour l'équipage en différentes occasions, a ducats;. en achat de provisions pour moi et un domestique durant un mois 6 ducats; en dépenses occasionnées par plusieurs petits voyages par voie de terre faits çà et la, pour les barbiers, le lavage du linge, et en bottes pour moi et mon domestique, i ducat; à mon arrivée à Rimini je paye au capitaine du port pour droit de port en monnaie de la cité, 3 lires; aux porteurs, pour le débarquement sur terre, et le transport en magasin, 5 lires ; comme taxe d'entrée 4 soldi la charge, qui est représentée en nombre par 3a (suivant la coutume) ; pour un baraquement à la foire 4 soldi par charge ; plus tard je trouve que les mesures employées à la foire diffèrent de celles usitées à Venise, et qu'un poids de i4o lires là est équivalent au poids de ioo lires à Venise ; de plus l\ lires de leur monnaie d'argent équivalent à i ducat or. Je demande par suite combien il me faut vendre cent lires Rimini afin de réaliser un gain de io °/0 sur mon marché, et qu'elle est la somme que je recevrai en monnaie vénitienne ?

En algèbre il discute avec quelques détails les équations simples* et du second degré, et des problèmes sur les nombres conduisant à des équations de cette nature. Il fait mention de la classification arabe des équations cubiques, mais en ajoutant que la solution qu'ils en donnent semble être aussi impossible que celle de la. quadrature du cercle. La règle suivante est celle qu'il donne (*) pour résoudre une équation du second degré de la forme x* +x = a elle est exprimée en langage ordinaire et non syncopée, elle servirai donc d'exemple pour montrer l'inconvénient de la méthode :

« Si res et census numéro coacquantur, a rébus dimidio sumpto censum producere debes, addereque numéro, eu jus a radice to tiens toile semis rerum, census latusque redibit. »

(!) Edition de i£()4, p. i£5.

Il se borne à signaler les racines positives des équations.

Bien que beaucoup des matières dont nous venons de parler -soient empruntées au Liber Abaci de Léonard, cependant la notation dont il se sert est supérieure à celle de ce dernier. Pacioli imite Léonard et les Arabes en appelant la quantité inconnue la chose, en italien casa — ce qui fait que l'algèbre a été quelquefois appelée l'art de la chose — ou en latin res> et il la dénote quelquefois par <o ou R ou R/. Il appelle le carré de la quantité inconnue census ou zensus et le désigne parfois par ce ou Z ; de même le cube de la quantité inconnue ou cuba, est représenté par eu ou G ; la quatrième .puissance, ou censo di censo s'écrit tout au long comme nous venons de le faire ou ce di ce ou encore ce ce. 11 est à noter que toutes ses équations sont numériques, c'est-à-dire qu'il n'eut pas l'idée de représenter les quantités connues par des lettres comme l'avait fait Jordanus et comme cela se pratique en algèbre moderne; mais Libri cite deux exemples, dans lesquelles il représente •dans une proportion un nombre par une lettre. Il indique l'addition et l'égalité par les lettres initiales des mots plus et œqualis, mais il évite généralement l'introduction d'un symbole pour moins -en écrivant ses quantités dans le membre de l'équation où elles seront prises positivement, bien que dans quelques endroits il «emploie m pour moins ou de pour demptas.

C'est là un commencement d'algèbre syncopée.

On ne trouve rien de frappant dans les résultats auxquels il arrive dans la seconde partie de son ouvrage, c'est-à-dire la partie géométrique, pas plus que dans deux autres traités de géométrie, •qu'il écrivit et qui furent imprimés à Venise en i5o8 et i5og. Il faut remarquer cependant que, de même que Regiomontanus, il fit intervenir l'algèbre pour s'aider dans la recherche des pro- , priétés géométriques des figures.

Le problème suivant donnera un exemple du genre de questions géométriques qu'il traitait.

Sachant que le rayon du cercle inscrit dans un triangle vaut 4 centimètres et que les segments déterminés sur l'un des côtés par 4e point de contact correspondant ont respectivement pour longueurs •6 centimètres et 8 centimètres, calculer les autres côtés.

Pour résoudre la question il suffît de remarquer que

rp = S=y/p(p — a)(p — b)(p — c)