CHAPITRE XII. DÉVELOPPEMENT DE h ALGEBRE SYNCOPÉE

algèbres publiées antérieurement. Jusqu'à ce moment les algébristes s'étaient bornés à fixer leur attention sur les racines positives des équations. Cardan discuta les racines négatives et même imaginaires, et prouva que les dernières se présentaient toujours par couple, mais il se refusa à chercher une explication quant à la signification à attribuer à ces quantités « sophistiques » qui, disait-il, étaient ingénieuses bien qu'inutiles. Une grande partie de son analyse des équations cubiques semble être originale ; il montra que si les trois racines sont réelles, la solution de Tartaglia les donne sous une forme qui, contenant des quantités imaginaires, ne permet pas de les calculer. A l'exception de recherches, à peu près semblables à celles que publia Bombelli (') quelques années plus tard, la théorie des quantités imaginaires attira peu l'attention des mathématiciens postérieurs, jusqu'à ce qu'Euler et Jean Bernoulli eussent repris cette question après un intervalle d'environ deux siècles. Gauss le premier posa les bases méthodiques et scientifiques du sujet, introduisit la notation des variables complexes, et employa le symbole i, qui avait été introduit par Euler, pour dénoter la racine carrée de ( — i) ; la théorie moderne est en grande partie basée sur ses recherches.

Cardan établit les relations entre les coefficients et les racines d'une équation. Il avait également connaissance du principe sur lequel repose « la règle des signes » de Descartes, mais, suivant la coutume alors en usage, il écrivait ses équations comme l'égalité de deux expressions, dans chacune desquelles tous les termes étaient positifs, de sorte qu'il ne lui était pas possible d'exprimer la règle d'une façon concise. Il donna une méthode pour déterminer une racine approchée d'une équation numérique, basée sur ce fait que, si une fonction change de signe quand on remplace la variable par deux nombres différents, l'équation obtenue en égalant la fonction à zéro aura une racine comprise entre ces deux nombres.

La solution de l'équation du second degré de Cardan est géométrique et en substance la même que celle donnée par Alkarismi. Sa solution d'une équation cubique est également géométrique, el se comprendra d'après l'exemple suivant qu'il donne dans le chap. xi.

(!) Voir plus loin.

Pour résoudre l'équation x* -+- 6x = 20 (ou toute autre équation de la forme x2 -h qx = r), on prend deux cubes tels que le produit de leurs arêtes soit 2 (ou » q \ et ayant pour différence de leurs

volumes 20 (ou r). Alors as sera égal à la différence entre les arêtes •des cubes. Pour vérifier cette règle, il pose d'abord celemme géométrique : si on enlève d'une ligne ÀC une certaine portion CB, la différence entre les cubes construits sur AC et BC surpassera le cube construit sur AB de trois fois le parallélépipède droit ayant respectivement pour arêtes AC, BC et AB — cette proposition est équivalente à l'identité algébrique

(a bf = a9 — b* — 3a6 (a — 6),

et le fait que x satisfait à l'équation est alors évident. Pour obtenir les longueurs des arêtes des deux cubes, il n'a qu'à résoudre une équation du second degré et il se sert à cet effet de la solution géométrique précédemment exposée.

De même que les mathématiciens précédents, il donne des démonstrations séparées de sa règle pour les différentes formes que l'équation est susceptible de prendre. Ainsi il établit une formule de résolution différente pour les équations de chacune des formes

x2 -H px = q, x2 =px -+- q, x3 -h px -H q = o et x2 -+- q = px.

Peu de temps après Cardan, nombre de mathématiciens surgirent et s'occupèrent de la résolution des équations du 3e et 4* degré, mais leur importance n'est pas assez grande pour qu'on leur consacre une mention détaillée. Les plus célèbres d'entre eux «ont peut être Ferrari et Rheticus.

Ferrari. — Louis Ferraro, généralement appelé Ferrari, et dont nous avons déjà cité le nom au sujet de la solution de l'équation biquadratique, naquit à Bologne le 2 février 1022 et mourut le 5 octobre i565. Ses parents étaient pauvres et Cardan le prit à son service comme petit commissionnaire, mais il l'avait autorisé à -suivre ses cours et il devint par la suite son élève le plus célèbre. On a fait de lui ce portrait « un petit garçon propre et rose, avec une voix douce, une face joyeuse et un agréable petit nez, aimant le plaisir, d'une grande intelligence » mais « avec les dispositions