TO

'io

Fig. 3a.

le nombre immédiatement au dessus de celui que l'on forme ; par exemple, le quatrième nombre dans la quatrième ligne, c'est-à-dire 20, est égal à 1 + 3 + 6 + 10. Les nombres qui composent chacune des lignes sont ce qu'on appelle aujourd'hui des nombres figurés. Ceux qui entrent dans la première ligne sont les figurés du premier ordre ; ceux de la seconde ligne sont les nombres naturels ou les figurés du second ordre ; ceux de la troisième sont les figurés du troisième ordre, et ainsi de suite. On voit facilement que le m* nombre de la /ie ligne est

(TO 1)! (n i)f

On obtient le triangle arithmétique de Pascal (jusqu'à un ordre demandé quelconque) en traçant une diagonale de droite à gauche comme le montre notre figure. Les nombres contenus dans chaque diagonale donnent les coefficients des termes entrant dans le développement du binôme : par exemple, les figures de la cinquième diagonale, i, 4, 6, l\, i, sont les coefficients du développement de (a -f- by. Pascal employait également le triangle arithmétique pour trouver les nombres de combinaisons de m objets pris n à n ; il

2g2 HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

avait d'ailleurs établi (d'une façon correcte) que ces nombres étaient fournis par la formule

Comme mathématicien Pascal est peut-être mieux connu par sa correspondance avec Fermât en 160/4, où on trouve les principes de la Théorie des probabilités. Cette correspondance eut pour cause un problème proposé à Pascal par un joueur célèbre de l'époque, le Chevalier de Méré, que Pascal communiqua à Fermât. Voici en quoi il consistait. Deux joueurs, de force égale, désirent abandonner la partie avant la fin du jeu . Les mises et le nombre des points qui constituent le jeu étant donnés, on désire savoir dans quelle proportion les enjeux doivent être partagés. Pascal et Fermât tombèrent d'accord dans la réponse, mais donnèrent des démonstrations différentes. Nous reproduisons ci-après la solution de Pascal. Celle de Fermât sera donnée plus loin.

« Voici à peu près comme je fais pour savoir la valeur de cha- « cune des parties quand deux joueurs jouent par exemple en 3 « parties, et chacun a mis 32 pistoles au jeu.

« Posons que le premier en ait deux et l'autre une ; ils jouent « maintenant une partie dont le sort est tel, que si le premier la « gagne, il gagne tout l'argent qui est au jeu, savoir 64 pistoles : « si l'autre la gagne il sont deux parties à deux parties ; et par « conséquent s'ils veulent se séparer, il faut qu'ils retirent chacun « leur mise, savoir, chacun 32 pistoles. Considérez donc, monsieur, « que si le premier gagne, il lui appartient 64 ; s'il perd, il lui « appartient 32. Donc s'ils ne veulent point hasarder cette partie, « et se séparer sans la jouer, le premier doit dire : je suis sûr « d'avoir 32 pistoles, caria perte même me les donne ; mais pour « les 32 autres, peut-être je les aurai peut-être vous les aurez ; le « hasard est égal ; partageons donc ces 32 pistoles par la moitié^ « et donnez-moi outre cela mes 32 qui me sont sures. Il aura donc « 48 pistoles et l'autre 16.

« Posons maintenant que le premier ait deux parties, l'autre « point, et qu'ils commencent à jouer une partie. Le sort de cette « partie est tel, que si le premier la gagne, il tire tout l'argent, 64 « pistoles, si l'autre la gagne, les voilà revenus au cas précédent

« auquel le premier aura deux parties et l'autre une. Or, nous « avons déjà montré qu'en ce cas il appartient à celui qui a les « deux parties 48 pistoles ; donc s'ils veulent ne point jouer cette « partie, il doit dire ainsi : si je la gagne, je gagnerai tout qui est « 64; si je la perds, il m'appartiendra légitimement 48. Donc « donnez- moi les 48 qui me sont certaines, au cas même que je « perde, et partageons les î G autres par la moitié, puisqu'il y a a autant de hasard que vous les gagniez que moi. Ainsi il aura 48 « et 8 qui font 56 pistoles.

« Posons enfin que le premier n'ait qu'une partie et l'autre point. « Vous voyez, monsieur, que s'ils commencent une partie nouvelle « le sort en est tel, que si le premier la gagne il aura deux parties « à point, et partant par le cas précédent, il lui appartient 56 ; s'il « la perd, ils sont partie à partie, donc il lui appartient 32 pistoles. « Donc il doit dire, si vous voulez ne pas la jouer, donnez-moi 32 « pistoles qui me sont sures et partageons le reste de 56 par la « moitié ; de 56 otez 32, reste 24 ; partagez donc 24 par la moitié, « prenez en 12 et moi 12, qui, avec 32, fait 44-

« Or, par ce moyen, vous voyez par les simples soustractions, « que pour la première partie il appartient sur l'argent de l'autre « 12 pistoles, pour la seconde autres 12, pour la dernière 8. »

Pascal continue ensuite en considérant le même problème quand la partie est gagnée par celui qui obtient le premier m -+■ n points, et en supposant que l'un des joueurs a m points et l'autre n points. Il obtient la solution en se servant du triangle arithmétique. La solution générale de la question (dans laquelle on suppose des joueurs de force inégale) est donnée dans plusieurs livres classiques modernes et concorde avec le résultat de Pascal, bien que la notation de Pascal soit différente et moins commode.

Pascal fait intervenir le calcul des probabilités dans le septième chapitre de ses Pensées. On y lit en effet un raisonnement de ce genre : comme la valeur d'un bonheur éternel est infinie, même si la probabilité de ce bonheur assuré par une vie religieuse est très petite, néanmoins l'espérance (qui est mesurée par le produit des deux), est encore assez grande pour nous engager à mener une vie religieuse.

Cet argument, s'il a quelque valeur, s'applique à toute religion qui assure le bonheur éternel à ceux qui en acceptent et en prati-

2 g 4 HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

quent les doctrines. Si une conclusion quelconque doit-être tirée du raisonnement de Pascal, c'est qu'il ne faut pas appliquer les mathématiques à des questions dont certaines données sont nécessairement en dehors de leur domaine. Ce n'est d'ailleurs que justice d'ajouter que personne n'éprouvait plus de mépris que Pascal pour ceux dont les opinions variaient suivant les avantages matériels qu'ils espéraient en tirer, et ce passage isolé est en désaccord avec l'esprit général de ses écrits.

Le dernier ouvrage mathématique de Pascal est de i638 et traite de la Cycloïde. La cycloïde est la courbe décrite par un point de la circonférence d'un cercle roulant sur une ligne droite. Galilée en i63o, avait le premier attiré l'attention sur cette courbe dont la forme est particulièrement gracieuse, et il avait émis l'idée de donner cette forme aux arches des ponts (!). Quatre ans plus tard en i63/i, Roberval trouva l'aire de la cycloïde; Descartes défia de trouver les tangentes à la courbe, le même défi fut également envoyé à Fermât qui résolut immédiatement le problème. Plusieurs questions relatives à cette courbe, à sa surface, au volume engendré par sa révolution autour de son axe, de sa base ou de la tangente au sommet, furent alors proposées par divers mathématiciens. Toutes ces questions et d'autres analogues, ainsi que la détermination de la position des centres de gravité des solides formés, furent résolues par Pascal en i658, et les résultats obtenus publiés comme un défi au monde savant. Wallis réussit à résoudre toutes les questions à l'exception de celles relatives aux centres de gravité. Pascal obtenait ses résultats au moyen de la méthode des indivisibles, et ses solutions sont semblables à celles qui seraient données par un mathématicien moderne avec l'aide du calcul intégral. Il obtenait par sommation des résultats équivalents aux intégrales

/ sin odo, f sin* <wf<p, / ç sin ody,

une limite étant ou o ou - ïï.

Il a fait également des recherches sur la spirale d'Archimède. D'après d'Alembert, ces recherches forment un lien entre la géométrie d'Archimède et le calcul infinitésimal de Newton.

(l) Le pont de la route d'Essex sur le Cam, qui est construit sur les terres du Collège de La Trinité à Cambridge, a des arches cycloïdales.

Wallis (!). — Jean Wallis naquit à Ashford le 22 novembre 1616 et mourut à Oxford le 28 octobre 1703. Il fit ses études à l'Ecole de Felstead, et à l'âge de quinze ans il lui arriva un jour pendant les vacances de voir un livre d'arithmétique entre les mains de son frère ; sa curiosité fut excitée par les lignes bizarres et les symboles contenus dans l'ouvrage ; il l'emprunta et dans l'espace de quinze jours, avec l'aide de son frère, le posséda complètement.

Son père le destinant à la médecine, il fut envoyé au Collège Emmanuel à Cambridge, et pendant qu'il y était il soutint une « thèse )) sur la doctrine de la circulation du sang. C'est, dit-on, la première fois que cette théorie fut soutenue publiquement en Europe.

Cependant il se laissa entraîner vers les mathématiques.

Il obtint son agrégation au Collège de la Reine, à Cambridge, et entra ensuite dans les ordres, mais il s'attacha au parti Puritain à qui il rendit de grands services en déchiffrant les dépêches des Royalistes. Il se joignit cependant aux Presbytériens modérés en signant le manifeste protestant contre l'exécution de Charles Ier, et il s'attira l'hostilité des Indépendants. Malgré leur opposition, il fut désigné en 16^9 pour occuper la chaire Savilian de géométrie à Oxford, où il séjourna jusqu'à sa mort qui survint en 1703. En dehors de ses ouvrages mathématiques, il écrivit sur la théologie, la logique et la philosophie ; c'est lui qui institua le premier système d'enseignement pour les sourds-muets. Nous nous limiterons à quelques notes sur ses plus importants écrits mathématiques. Ils sont remarquables par l'introduction dans le domaine ordinaire de l'analyse des séries infinies, et par ce fait qu'ils révélaient et expliquaient, à tous les étudiants, les principes des nouvelles méthodes d'analyse introduites par ses contemporains et par ses prédécesseurs immédiats.

En i655 Wallis publia un traité sur le* sections coniques, dans lequel il les définissait analytiquement. Nous avons déjà eu l'occasion de mentionner que la géométrie de Descartes est à la fois difficile et obscure, et ne fut pas comprise par plusieurs de ses

(*) Voir notre HUtory oj the sludy of Mathematics at Cambridge pp. 4i-46. Une édition des œuvres mathématiques do Wallis a été publiée en trois volumes à Oxford, 1693-98.

contemporains à qui la nouvelle méthode était inconnue. Wallis dans son ouvrage cherche à rendre la méthode de Descartes intelligible à tous : c'est le livre le plus ancien dans lequel les coniques sont considérées et définies comme courbes du second degré.

L'ouvrage le plus important de Wallis est son Arithmetica Injinitorum qui fut publié en i65G. Dans ce traité les méthodes d'analyse de Descartes et de Cavalieri furent systématisées et étendues. 11 devint aussitôt le livre modèle sur le sujet et les écrivains qui suivirent s'y référèrent constamment. Il est précédé d'un court traités sur les sections coniques. Il commence par établir la loi des exposants ; montrant que x°. x~l, or8, représentent respectivement 1 !—>...; que Xi représente la racine carrée de x, 9 x x1

que x* désigne la racine cubique de a?2, et d'une façon générale x~n représente l'inverse de xn et que xl désigne la racine q* de xp.

Abandonnant les nombreuses applications algébriques, conséquences de cette découverte, il continue ensuite en obtenant par la méthode des indivisibles l'aire limitée par la courbe y = xm, l'axe des x et une ordonnée quelconque x = h ; il prouve que le rapport de cette aire à celle d'un parallélogramme de même base et de même

hauteur est égal à — - — . Il supposait vraisemblablement que le

même résultat serait également vrai pour la courbe y = axm, dans laquelle a est une constante quelconque, et m un nombre positif ou négatif; mais il discute seulement le cas de la parabole où m = 2 et celui de l'hyperbole dans lequel m = — 1 : dans ce dernier cas il interprète mal le résultat trouvé. Il s'occupe ensuite de l'évaluation des aires limitées par une courbe de la forme y = 2axm, et montre que si l'ordonnée y d'une courbe peut être développée suivant les puissances de l'abscisse x, sa quadrature peut être effectuée : ainsi il avance que si l'équation d'une courbe était

son aire serait