X -\ X* -h o xz

Il applique alors ce résultat à la quadrature des courbes

y = (x — x2)0, y = (x — x3)2, y = (x — **)*, y =$(<r — **)*, etc.

prises entre les limites x = o el x = i , et montre que les aires j

sont respectivement

*» ?' o~ • ~t- t etc...

Il considère encore les courbes de la forme y = x~m et établit le ' >

théorème que l'aire limitée par la courbe, Taxe des a\ et l'ordonnée :..*

x = 1, est à Taire du rectangle ayant la même base et la même V3

hauteur dans le rapport de m à m -h i. Ceci revient à trouver la ,-9A

valeur de /"'a:"5 dx. %

Jo 3

Il donne comme exemple la parabole dans laquelle m = 2. Il ^

énonce, mais sans en donner une démonstration le résultat correspon- %

dant pour une courbe de la forme y = xq . *3

Wallis fait preuve d'une grande ingéniosité en réduisant les 'Vd

équations des courbes aux formes données ci-dessus; mais, ne -S

connaissant pas le théorème du binôme, il ne pouvait effectuer la JJ

quadrature du cercle, dont l'équation est y = (x — x*) *, attendu qu'il ne pouvait développer ce binôme. Il posa cependant le principe de l'interpolation. Ainsi, comme l'ordonnée du cercle

y = (x — #2)5 est la moyenne géométrique entre les ordonnées ^

des courbes y = (x — xJ)° et y = (x — x2)\ on pouvait supposer |

approximativement que l'aire du demi-cercle f (x — x*)sdxj qui '£*

est — g 7t, pouvait être prise comme moyenne géométrique entre ' 3

les valeurs de '\

fl(x — x*ydx et JQl (x — a-8)» dx,

c'est-à-dire, 1 et g ; ce qui revient à prendre pour la valeur de n

4t /3ou 3,26. Mais Wallis disait qu'étant donnée la séiie

l' 6' 5ô* TKô9 "" 'u *' ava*1 obtenue précédemment, le terme interpolé entre 1 et g devait être choisi de façon à obéir à la loi de cette série. Par ce moyen et en employant une méthode laborieuse, dont nous ne croyons pas utile d'exposer ici les détails

il était amené à une valeur du terme interpolé qui revenait à faire

Les mathématiciens du dix-septième siècle employaient constamment l'interpolation pour obtenir des résultats que nous donnerait une analyse directe.

On trouve également traités dans cet ouvrage la formation et les propriétés des fractions continues ; cette question avait été mise à Tordre du jour par l'usage que Brouncker faisait de ces fractions.

Quelques années plus tard, en 1659, VTallis publia un traité contenant la solution des problèmes de la cycloïde, qui avaient été proposés par Pascal. Il y expliquait incidemment comment les principes posés dans son Arithmetica Infinilorum pouvaient être utilisés pour la rectification des courbes algébriques, et il donna une solution du problème de la rectification de la parabole semicubique x5 = ov1, qui avait déjà été obtenue en 1607 par son élève William Neil. La spirale logarithmique avait été rectifiée par Torricelli peu avant la découverte de Neil. C'est le premier exemple de la détermination par les mathématiques de la longueur d'une ligne courbe, et comme tous les essais tentés pour rectifier l'ellipse et l'hyperbole avaient été (nécessairement) infructueux, on avait primitivement pensé qu'il n'était pas possible d'effectuer la rectification des courbes, comme d'ailleurs Descartes l'avait affirmé. La cycloïde fut la seconde courbe rectifiée en i658 par Wren.

Au commencement de 1608, une découverte semblable, indépendante de celle de Neil, fut faite par Van Hcuraët ('), et fut publiée par van Schœten dans son édition de la Geometria de Descartes en i65g. La méthode de Van Henraët est la suivante. Il suppose la courbe rapportée à des axes rectangulaires ; si (x, y) sont les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe, et n la longueur de la normale, et si un autre point dont les coordonnées

sont (x, y) est pris de telle sorte que £ = ^, h étant une constante,

alors, si ds est l'élément de la longueur de la courbe cherchée, nous

avons par les triangles semblables -,- — - . Par conséquent

(v) Sur Ya\ Henraut, voir la Bibliotheca Mathcmatica 1887, v°l- I» PP* 76-80.

hds = rtdx. Dès lors si l'aire du lieu décrit par le point (x, r}) peut être trouvée, la première courbe peut être rectifiée.

Henraët effectua de cette manière la rectification de la courbe y* = ax2 ; mais il ajoutait que la rectification de la parabole y2 = ax est impossible attendu qu'elle exige la quadrature de l'hyperbole. Les solutions données par Neil et Wallis sont à peu près semblables à celle donnée par Henraët, bien qu'aucune règle générale ne soit énoncée et que l'analyse soit grossière. Une troisième méthode fut suggérée par Fermât en 1660, mais elle est peu élégante et laborieuse. En 1668, la Société Royale proposa aux mathématiciens l'étude de la théorie du choc des corps. Wallis, Wren et Huygens envoyèrent des solutions correctes et semblables, dépendant toutes de ce qu'on appelle aujourd'hui la conservation du « momentum », mais tandis que Wren et Huygens se bornaient à étudier la théorie des corps parfaitement élastiques, Wallis considéra aussi les corps imparfaitement élastiques. Cette étude fut suivie en 1669 par un ouvrage sur la statique (centres de gravité) et en 1670 par un autre sur la dynamique; ils permettent de se faire une idée de ce que l'on connaissait sur le sujet à cette époque.

En 1 685 Wallis publia une Algèbre, précédée de l'histoire de son développement et contenant un grand nombre de renseignements utiles. La seconde édition, parue en 1693 et formant le second volume de ses Opéra, fut considérablement augmentée. Cette algèbre est à citer comme étant l'ouvrage dans lequel on trouve pour la première fois l'usage méthodique des formules. Une grandeur donnée y est représentée par son rapport numérique à une grandeur de même espèce choisie comme unité : ainsi quand Wallis se propose de comparer deux longueurs, il regarde chacune d'elles comme contenant un certain nombre d'unités. Nous rendrons peut-être cette explication plus claire en disant que la relation entre l'espace parcouru dans un temps quelconque par un point se déplaçant avec une vitessa uniforme aurait été représentée par Wallis par la formule s = vt, dans laquelle s désigne le rapport de l'espace décrit à l'unité de* longueur ; tandis que les écrivains antérieurs auraient exprimé la même relation au moyen de la formule

équivalente (*) - = -^ . Il est curieux de noter que Wallis rejetait (*) Voir par exemple, les Principia do Newto*, Liv. I, sect. T, Le m mes 10 et 11.

comme absurbe l'idée admise aujourd'hui qu'un nombre négatif est plus petit que rien, mais admettait qu'il représente quelque chose plus grand que l'infini. Cette dernière opinion peut être soutenue et n'est pas en contradiction avec la première, mais elle n'est guère plus simple.

Fermât (*). — Tandis que Descartes posait les fondements de la géométrie analytique, le même sujet occupait l'attention d'un autre Français non moins remarquable. Nous voulons parler de Fermât. Pierre de Fermât, qui naquit près de Montauban en 1601, et mourut à Castres le 12 janvier i665, était le fils d'un marchand de cuirs ; il fut instruit dans sa famille ; en i63i il obtint le poste de conseiller au Parlement de Toulouse, et il s'acquitta des devoirs de sa charge avec une grande conscience. Il garda sa fonction toute sa vie, consacrant aux mathématiques la plus grande partie de ses loisirs ; d'ailleurs k part une discussion quelque peu acrimonieuse avec Descartes sur la validité d'un certain système d'analyse employé par ce dernier, sa vie ne fut troublée par aucun événement méritant la peine d'être mentionné. L'obscurité du style de Descartes fut la principale cause de la discussion, mais Fermât par son tact et sa courtoisie permit que cette discussion se terminât sans aigreur. Fermât était un érudit, il parvint à restaurer par conjectures l'ouvrage d'Apollonius sur les lieux plans.

A part quelques notes isolées, Fermât ne publia rien de son vivant, et ne donna aucune exposition systématique de ses méthodes. Quelques uns des résultats les plus remarquables qu'ils a obtenus ont été trouvés après sa mort sur des morceaux de papier, ou écrits en marge des livres qu'il avait lus et annotés, mais sans aucune démonstration. Il est dès lors quelque peu difficile de fixer les dates de ses travaux. Il était par nature modeste et réservé, et ne semble avoir jamais songé à publier ses écrits. Nous allons maintenant considérer séparément i° ses recherches sur la théorie

(*) La meilleure édition des œuvres de Fermât est celle en 3 volumes préparée par S. P. Ta»ery et C. Henry, et publiée aux frais du Gouvernement français; vol I, 189 1 ; vol. II, 189$ ; vol. III, 1896. Des anciennes éditions, nous pouvons mentionner celle de ses notes et de sa correspondance, publiée à Toulouse en deux volumes, 1670 et 1679 : dont un sommaire avec notes, fut publié par E. Brassinne à Toulouse en i853 et dont une réimpression fut aite à Berlin, en 1861.

des nombres ; 2° l'usage qu'il fit en géométrie de l'analyse et des infiniment petits ; et 3° la façon dont il a traité les questions de probabilité.

i° La théorie des nombres paraît avoir été l'étude favorite de Fermât. Il prépara une édition de Diophante, et ses notes et commentaires contiennent de nombreux théorèmes d'une élégance remarquable. La plupart des démonstrations de Fermât sont perdues, et il est possible que quelques unes d'entre elles manquaient de rigueur ; une induction par analogie et l'intuition du génie suffisant à le conduire à des résultats exacts. Les exemples suivants serviront à donner une idée de ses recherches.

a) p étant un nombre premier et a un nombre premier avec/), la différence av~ï — i est divisible par p, c'est-à-dire que l'on a :

a^l — i = o (mod. p).

Une démonstration de cette proposition donnée pour la première fois, par Euler, est bien connue. Un théorème plus général est traduit par la relation

a?(ft>— i =o (mod. n),

dans laquelle a est premier avec ncto(n) représente le nombre des entiers plus petits que n et premiers avec n.

b) Un nombre premier (plus grand que 2) peut toujours être décomposé en une différence de deux carrés entiers mais d'une seule manière.

Voici la démonstration de Fermât. Soit /île nombre premier que nous supposons égal à x* — y2, c'est-à-dire à (x -+• y) (x — y). Par hypothèse, les seuls facteurs entiers de n9 sont net 1. Par suite

x -4- y = n et x — 7=1 d'où l'on déduit

* = I(n+i) et j = i(n— 1).

c) Il donna une démonstration de celte proposition énoncée par Diophante que la somme des carrés de deux entiers ne peut être de la forme l\n — 1 ; et il ajouta un corollaire dont la signification serait, croyons-nous, qu'il est impossible que le produit d'un carré par un nombre premier de la forme !\n — 1 (même multiplié par

3o2 HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES

un nombre premier avec ce dernier) soit un carré ou la somme de deux carrés. Par exemple, 44 est un multiple de 1 1 (qui est de la forme 4 X 3 — i) par 4» par suite il ne peut représenter la somme de deux carrés.

Il établit aussi qu'un nombre de la forme a2 -+- 62, a étant premier avec b, ne peut être divisible par un nombre premier de la forme l\n — i.

d) Tout nombre premier de la forme l\n -+- i est décomposable, et cela d'une seule façon, en une somme de deux carrés. Ce problème fut résolu pour la première fois par Euler qui montra qu'un nombre de la forme 2m(4/i -+- i) pouvait toujours être décomposé en une somme de deux carrés.

é) Si a, 6, c sont des entiers tels que a2 -h 62 = c2, le produit ab ne peut être un carré. Lagrange en donna une démonstration.

f) Trouver un nombre x tel que x*n -+- 1 soit un carré, n étant un nombre entier donné qui n'est pas un carré. Lagrange en donna encore une solution.

g) L'équation a;2 -f- 2 = y3 n'a qu'une solution en nombres entiers ; et l'équation x* -H 4 = y3 ne présente que deux solutions entières. Ces solutions sont évidemment pour la première équation x = 5, et pour la seconde équation x = 2 et x = 1 1 . Cette question fut proposée en défi aux mathématiciens anglais WallisetDigby.

h) L'équation x* -+- y* = zn est impossible en nombres entiers, si n est un entier plus grand que i . Cette proposition (J) a une célébrité extraordinaire parce qu'aucune démonstration générale n'en a encore été donnée, mais on n'a aucune raison de douter de son exactitude.

Fermât découvrit probablement qu'elle était exacte d'abord pour n = 3 et ensuite pour n = 4. Sa démonstration pour le premier de ces cas est perdue, mais celle pour le second cas subsiste et Euler donna une preuve du même genre pour n== 3, Ces démonstrations consistent à faire voir que si on peut trouver trois valeurs entières pour x, y, z satisfaisant à l'équation, il sera possible de trouver trois autres entiers plus petits qui rempliront la même condition : on montre alors finalement que l'équation serait satisfaite

(l) Au sujet de cette curieuse proposition, roir nos Mathematical Récréations and Problems, 3° édition pp. 35-38 . Traduction française par Fitz Patrick).

par trois valeurs qui de toute évidence ne peuvent convenir. Par suite aucune solution entière n'est possible. Ce mode de démonstration ne semble applicable qu'aux cas de n = 3 et n = 4-

La découverte par Fermât du théorème général est d'une date postérieure. On peut en donner une démonstration en admettant qu'un nombre peut être décomposé en facteurs premiers (complexes) d'une manière et seulement d'une seule. Cette supposition a été faite par quelques écrivains, mais elle n'est pas universellement vraie. Il est possible que Fermât ait fait quelques suppositions erronées, mais il est peu probable qu'il se soit servi des nombres complexes, et, en somme, il parait très vraisemblable qu'il n'a découvert une démonstration rigoureuse.

En i8io Legendre parvint à trouver des démonstratious pour n = 5 ; en 1 83 a Le jeune Dirichlet en donna une pour n = 4 : et en i845 Lamé et Lebesgue fournirent une démonstration pour n = 7. La proposition paraît être vraie dans toute sa généralité, et en 18/19, Kummer, en faisant usage des nombres premiers idéaux, prouva qu'elle était exacte pour tous les nombres, sauf ceux remplissant trois conditions (s'ils existent). On ne sait s'il est possible de trouver un nombre quelconque satisfaisant à ces conditions, mais il n'y en a aucun inférieur à 100.

La démonstration est compliquée et difficile, et, il ne peut y avoir aucun doute à ce sujet, basée sur des considérations inconnues à Fermât. Nous pouvons ajouter que, pour prouver l'exactitude de la proposition quand h est plus grand que 3, il suffit évidemment de se borner aux cas où n est un nombre premier, et le premier pas dans la démonstration de Kummer est de montrer que l'un des nombres x, y, z doit être divisible par n.

Les extraits suivants, d'une lettre actuellement à la Bibliothèque universitaire de Leyde, donneront une idée des méthodes de Fermât ; la lettre n'est pas datée, mais il paraîtrait que, à l'époque où Fermai l'écrivit, il avait prouvé la proposition (h) ci -dessus, seulement pour le cas de n = 3.

« Je ne m'en servis au commencement que pour démontrer les « propositions négatives, comme par exemple, qu'il n'y a aucun « nombre moindre de l'unité qu'un multiple de 3 qui soit com- « posé d'un quarré du triple d'un autre quarré. Qu'il n'y a aucun « triangle rectangle de nombres dont Taire soit un nombre quarré.

3o4 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

« La preuve se fait par àiraYWYrJv *f,v eU àôuvaxov en cette manière. « S'il y auoit aucun triangle rectangle en nombres entiers, qui « eust son aire esgale à un quarré, il y auroit un autre triangle « moindre que celuy la qui auroit la mesme propriété. S'il y en « auoit un second moindre que le premier qui eust la mesme pro- « priété il y en auroit par un pareil raisonnement un troisième ci moindre que ce second qui auroit la mesme propriété et enfin « un quatrième, un cinquième etc, à l'infini en descendant. Or estce il qu'estant donné un nombre il n'y en a point infinis en des- « céndant moindres que celuy la, j'entends parler toujours des « nombres entiers. D'où on conclud qu'il est donc impossible a qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarré. Vide « folià post sequens. . .

« Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux « questions aHirmatiues parce que le tour et le biais pour y venir « est beaucoup plus malaisé que celuy dont je me sers aux négatives. « De sorte que lorsqu'il me falut demonstrer que tout nombre u premier qui surpasse de l'unité un multiple de 4» est composé « de deux quarrez je me treuuay en belle peine. Mais enfin une mé- * ditation diverses 'fois réitérée me donna les lumières qui me « manquoient. Et les questions affirmatiues passèrent par ma mé- « thode à l'ayde de quelques nouveaux principes qu'il y fallust « joindre par nécessité. Ce progrès de mon raisonnement en ces « questions affirmatives estoit tel. Si un nombre premier pris à « discrétion qui surpasse de l'unité un multiple de 4 n'est point « composé de deux quarrez il y aura un nombre premier de « mesme nature moindre que le donné ; et ensuite un troisième « encore moindre, etc., en descendant à l'infini jusques a ce que « uous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux « de cette nature, lequel il s'en suivroit n'estre pas composé « de deux quarrez, ce qu'il est pourtant d'où on doit inférer par la « déduction à l'impossible que tous ceux de cette nature sont par « conséquent composez de 2 quarrez. Il y a infinies questions de « cette espèce.

« Mais il y en a quelques autres qui demandent de nouveaux « principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est « quelquefois si mal aisée, qu'on n'y peut venir qu'avec une peine « extrême. Telle est la question suivante que Bachet surDiophante

« avoue n'avoir jamais peu demonstrer, sur le suject de laquelle « Mr Descartes fait dans une de ses lettres la mesme déclaration, « jusques la qu'il confesse qu'il la juge si difficile qu'il ne voit « point de voye pour la résoudre. Tout nombre est quarré ou « composé de deux, trois, ou de quatre quarrez. Je l'ay enfin « rangée sous ma méthode et je demonstre que si un nombre a donné n'estoit point de cette nature il y en auroit un moindre « qui ne le seroit pas non plus, puis un troisième moindre que le « second etc., à l'infini, d'où l'on infère que tous les nombres sont « de cette nature...

« J'ay ensuite considéré certaines questions qui bien que néga- « tives ne restent pas de receuoir très grande difficulté la méthode « pour y pratiquer la descente estant tout à fait diverses des précé- « dentés comme il sera aisé d'esprouuer. Telles sont les suiuantes. « Il n'y a aucun cube diuisible en deux cubes. Il n'y a qu'un seul « quarré en entiers qui augmenté du binaire fasse un cube, le dit « quarré est 2 5. Il n'y a que deux quarrez en entiers lesquels aug- <( mentes de 4 fassent cube, les dits quarrez sont 4 et 121.

« Après auoir couru toutes ces questions la plupart de diuerses c (sic) natures et de différente façon de demonstrer, j'ay passé à a l'inuention des règles générales pour résoudre les équations sim- « pies et doubles de Diophante. On propose par exemple 2 quarr. « -h 7907 esgaux à un quarré (hoc est 2xx -H 7967 00 quadr.) « J'ay une règle générale pour résoudre cette équation si elle est « possible, ou découvrir son impossibilité. Et ainsi en tous les cas « et en tous nombres tant des quarrez que des unitéz. On propose « cette équation double ix -+- 3 et 3 se -h 5 esgaux chacun à un « quarré. Bachet se glorifie en ses commentaires sur Diophante « d'auoir trouvé une règle en deux cas particuliers. Je la donne « générale en toute sorte de cas. Et détermine par règle si elle est « possible ou non...

« Voila sommairement le conte de mes recherhes sur le suject des nombres.

« Je ne l'ay escrit que parce que j'appréhende que le loisir « d'estendre et de mettre au long toutes ces démonstrations et ces « méthodes me manquera.

« En tout cas cette indication seruira auxsçauants pour trouver « d'eux mesmes ce que je n'eslens point, principalement si M. de

R. B. — Tome I. 20

3o6 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

a Garcaui et Frcnicle leur font part de quelques démonstrations <( par la descente que je leur aye envoyées sur le suject de quelques « propositions négatives. Et peut estre la postérité me scaura gré « de luy avoir fait connoistre que les anciens n'ont pas tout sceu, et « cette relation pourra passer dans l'esprit de ceux qui viendront « après moy pour traditio lampadis ad filios comme parle le grand « Chancelier d'Angleterre, suiuant le sentiment et la deuise duquel a j'adjousteray, multi pertransibunt et augebilur scientia. »

2° Nous continuerons en faisant mention de l'emploi fait par Fermât en géométrie de l'analyse et des infiniment petits.. Il semblerait résulter de sa correspondance qu'il avait imaginé pour lui* même les principes de la géométrie analytique avant d'avoir eu connaissance de la géométrie de Descartes et avait compris que de i l'équation d'une courbe (ou comme il l'appelait « la propriété spé- #** • cifique ») on pouvait déduire toutes ses propriétés. Cependant les notes qui nous restent de lui sur la géométrie traitent principalement de l'application des infiniment petits à la détermination des tangentes aux courbes, à la quadrature des courbes et aux questions de maxima et de minima ; ces notes sont probablement une révision de ses manuscrits originaux (qu'il détruisit) et qui furent écrits vers i663, mais il n'est pas douteux qu'il avait déjà l'idée générale de sa méthode pour trouver les maxima et les minima vers 1628 ou 1629.

Il obtenait la sous-tangente de l'ellipse, de la cycloïde, de la cissoïde, de la conchoïde et de la quadratrice en faisant égales les ordonnées de la courbe et d'une ligne droite pour deux points ayant pour abscisses x et x — e ; mais rien n'indique qu'il considérait le procédé comme général, et bien qu'il utilisât le principe dans le courant de son ouvrage, il est probable qu'il ne le séparait jamais des symboles, si nous pouvons parler ainsi, du problème particulier dont il s'occupait. Le premier exposé définitif de la méthode est dû à Barrow (!) et fut publié en 1669.

Fermât obtint aussi les aires des paraboles et des hyperboles d'un degré quelconque et détermina les centres de gravité de quelques corps en forme de lames et du paraboloïde de révolution. Comme exemple de la méthode qu'il employait pour résoudre ces questions nous donnerons sa solution du problème de la détcrmi-

(1) Voir plus loin pages 3a 1-2.

nation de Taire comprise entre la parabole y3 = pas1, Taxe des x, et la ligne x = a. Si, dit-il, an mène les diverses ordonnées des points pour lesquels x est successivement égale ka, a (i — e), a (j — e)2,..., Taire cherchée sera partagée en un certain nombre de petits rectangles ayant respectivement pour aires

ae (pa*)*t ae (i — e) \ pa* (i — e)a Jà,...

Leur somme est

et au moyen d'une proposition subsidiaire (attendu qu'il ne connaissait pas le théorème du binôme) il trouva pour la limite de cette

expression quand e s'annule, jrp*abm Les théorèmes mentionnés en

dernier lieu n'ont été publics qu'après sa mort : et ils ne furent probablement composés qu'après la lecture des ouvrages de Gavalieri et de Wallis.

Kepler avait fait remarquer que les valeurs d'une fonction dans le voisinage et de part et d'autre d'un maximum (ou d'un minimum) devaient êtres égales. Fermât appliqua ce principe à quelques exemples.

Ainsi, pour trouver la valeur maximum de ce (a — ce) sa mé thode revient essentiellement à prendre une autre valeur de a?, à savoir x — e, e étant très petit et à poser x (a — x) = (x — e) (a — x-+-e). Simplifiant, et posant finalement e = o, on obtient * j|

x = -. Cette valeur de x rend l'expression donnée maximum. '.%

3° Fermât doit partager avec Pascal l'honneur d'avoir créé la 3

théorie des probabilités. Nous avons déjà fait mention du problème ■$

proposé à Pascal et qu'il communiqua à Fermât, et nous avons - %

reproduit à cette occasion la solution de Pascal. La solution de *$

Fermât dépend de la théorie des combinaisons et sera suffisam- %

ment expliquée par Texemple suivant, qui est en substance tiré '

d'une lettre datée du 24 août i654 et faisant partie de sa corres- / pondance avec Pascal.

Fermât examine le cas de deux joueurs, A et B, lorsqu'il manque à A deux points pour gagner et à B, trois points. Le jeu sera cer-

3û8 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

tainement décidé dans le cours de quatre essais. Prenons les lettres a et b et écrivons toutes les combinaisons qui peuvent être formées avec quatre lettres. Ces combinaisons sont au nombre de 16, à savoir :

aaaa, aaab, aaba, aabb ; abaa, abab, abba, abbb;

baaa, baab, baba, babb; bbaat bbab, 666a, 6666.

Maintenant chaque combinaison dans laquelle a se présente deux fois ou plus de deux fois représente un cas favorable pour A, et toute combinaison dans laquelle 6 se présente trois fois ou plus de trois fois représente un cas favorable pour B. Dès lors, en les comptant, on trouvera qu'il y a 1 1 cas favorables pour A et 5 cas favorables pour B; et du moment que ces cas sont tous également vraisemblables, la chance de gagner du joueur A est à celle du joueur B comme 1 1 est à 5.

Le seul autre problème sur ce sujet qui, autant que nous sachions, attira l'attention de Fermât lui fut également proposé par Pascal et en voici l'objet. Une personne se propose d'obtenir six avec un dé à jouer en le lançant huit fois; en supposant qu'elle ait jeté trois fois le dé sans succès, on demande quelle portion de l'enjeu elle est autorisée à retirer, si elle abandonne la partie au quatrième coup. Fermât raisonnait comme il suit : La chance de

réussite est représentée par g , de telle sorte qu'il lui serait permis

de prendre g de l'enjeu à la condition d'abandonner son coup. Mais si nous désirons estimer la valeur du quatrième coup avant qu'aucun coup de dé ne soit fait, nous dirons : le premier coup vaut g

de l'enjeu ; le second vaut g de ce qui reste, c'est-à-dire .7g del'en-

jeu ; et le troisième vaut g du nouveau reste, soit — p ; le quatrième

coup vaut g du dernier reste, c'est-à-dire — g de l'enjeu.

Fermât ne paraît pas avoir poursuivi le sujet plus loin, mais sa correspondance avec Pascal montre que ses idées en ce qui concerne les principes fondamentaux du calcul des probabilités étaient justes : celles de Pascal ne le furent pas toujours.

La réputation de Fermât est à peu près unique dans l'histoire

de la science. Les problèmes sur les nombres qu'il avait proposés résistèrent pendant longtemps h toutes les tentatives faites pour les résoudre, et beaucoup d'entre eux ne cédèrent que devant le génie d'Euler. Un seul reste encore à résoudre- Ses autres travaux furent éclipsés par l'extraordinaire maîtrise qu'il montra dans la théorie des nombres, mais en réalité, ils sont tous d'un ordre supérieur et Ton ne peut que regretter qu'il ait jugé à propos d'écrire si peu.

Huygens (1). — Christian Huygens naquit à La Haye, le il\ avril 1629, et mourut dans la même ville, le 8 juin 1690. Il écrivait généralement son nom sous cette forme « Hugens », mais nous avons adopté la coutume de l'écrire Huygens, on l'écrit aussi quelquefois Huyghens. Sa vie ne présente aucun événement marquant.

En 1 65 1, il publia un essai dans lequel il fait ressortir l'erreur d'une méthode de quadrature du cercle proposée par Grégoire de Saint-Vincent qui connaissait bien la géométrie des Grecs, mais n'avait pas saisi les points essentiels des méthodes plus modernes. Cet essai fut suivi de traités sur la quadrature des coniques et sur une rectification approchée du cercle.

En i654, il dirigea son attention sur les perfectionnements à apporter au télescope. En collaboration avec son frère, il imagina une nouvelle manière préférable à l'ancienne, pour dresser et polir des lentilles. Comme conséquence de ces perfectionnements il lui fut possible, durant les deux années qui suivirent, i655 et 1606, de résoudre plusieurs problèmes astronomiques, comme par exemple la détermination de l'anneau de Saturne. Ses observations exigeaient des méthodes exactes pour mesurer le temps, et il fut de la sorte conduit en i656 à inventer l'horloge à pendule, comme elle est décrite dans son traité Horologiam i658.

Dans Tannée 1657, Huygens écrivit un petit ouvrage sur le calcul des probabilités, basé sur la correspondance échangée entre Pascal

(1) Une nouvelle édition des œuvres et de la correspondance d'Huyghcns est actuellement en cours de publication à La Haye, 1888 etc.

Une ancienne édition de ses œuvres a été publiée en six volumes, quatre à Leyde en 1724 et deux h Amsterdam en 1728 (sa vie par s'Gravesatoe est donnée en préface dans le premier volume) : sa correspondance scientifique fut publiée à la Haye en i833.

3io histoire ras mathématiques

et Fermât. Vers cette époque U passa environ deux ans en Angleterre. Sa réputation à ce moment était si grande que Louis XIV, en i665, lui offrit une pension pour venir vivre à Paris, qui devint son lieu de résidence.

En 1668, il envoya à la Société Royale de Londres, en réponse à un problème qu'elle avait proposé, un mémoire dans lequel (simultanément avec Wallis et Wren) il démontrait expérimentalement que le « momentum » suivant une certaine direction avant le choc de deux corps est égal au « momentum » suivant cette direction, après le choc. C'était là un des points sur lesquels Descartes s'était trompé dans sa mécanique.

L'ouvrage le plus important d'Huygens fut son Horologiurn Oscillalorium, publié à Paris en 1673. Le premier chapitre est consacré aux horloges à pendule. Le second est une exposition complète de la théorie de la chute des corps pesants dans le vide, sous l'action de leur propre poids, soit verticalement, soit le long de courbes données. Entre autres propositions, il montre que la cycloïde est tautochrone. Dans le troisième chapitre il définit les développées, démontre quelques unes de leurs propriétés les plus élémentaires, et donne des exemples de ses méthodes en trouvant les développées de la cycloïde et de la parabole. Ce sont là les exemples les plus anciens de la détermination des développées. Dans le quatrième chapitre, il résout le problème du pendule composé, et montre que les centres d'oscillation et de suspension sont interchangeables. Dans le cinquième et dernier chapitre, il revient de nouveau sur la théorie des horloges, signale que si on trouvait le moyen de faire osciller la lentille du pendule suivant une cycloïde, les oscillations seraient isochrones ; et il termine en montrant que la force centrifuge agissant sur un corps qui se déplace sur la circonférence d'un cercle de rayon r avec une vitesse uniforme v9 varie proportionnellement à v2 et inversement à r.

Cet ouvrage renferme le premier essai fait pour appliquer la dynamique aux corps de dimensions finies et non à de simples points.

En 1675, Huygens proposa dérégler le mouvement des montres en se servant du ressort spiral, dans la théorie duquel il avait peutêtre été précédé par Hooke, qui en présentait en i658 une exposition quelque peu ambiguë et incomplète. Les montres ou hor-

loges portatives avaient été inventées de bonne heure dans le seizième siècle et vers la fin de ce siècle elles n'étaient pas très rares ; mais elles étaient grossières et ne présentaient aucune garantie étant mises en mouvement au moyen d'un grand ressort et réglées par une poulie conique et une tige à échappement ; de plus jusqu'en 1687 elles ne portaient qu'une seule aiguille. La première montre dont le mouvement fut réglé par un ressort spiral fut faite à Paris sur les indications de Huygens qui l'offrit à Louis XIV.

L'intolérance croissante des catholiques détermina son retour en Hollande en 1681, et, après la révocation de l'édit de Nantes, il refusa de conserver des relations avec la France. Il s'occupa alors de la construction des lentilles présentant une distance focale énorme : trois d'entre elles mesurant comme distances focales 123 pieds, 180 pieds et 210 pieds furent données à la Société Royale de Londres qui les possède encore. Ce fut vers cette époque qu'il découvrit l'oculaire achromatique (pour télescope) qui porte son nom. En 1689 il se rendit de Hollande en Angleterre pour faire connaissance avec Newton, dont les Principia avaient été publiés en 1687. Huygens reconnaissait complètement le mérite incontestable de l'ouvrage, mais il semble avoir pensé que toute théorie qui n'expliquait pas la gravitation par des causes mécaniques était incomplète.

A son retour en 1690, Huygens publia son traité sur la Lumière dans lequel il exposait et expliquait la théorie des ondulations. La plus grande partie avait déjà été écrite vers 1678. L'idée générale de la théorie avait été suggérée par Robert Hooke en i664, mais il n'en n'avait pas fait assez ressortir les conséquences. Cettepublication ne tombe pas dans la période que nous embrassons dans ce chapitre, mais nous pouvons dire brièvement ici que, suivant la théorie des ondes, l'espace est occupé par l'éther, milieu extrêmement élastique, et que la lumière est la conséquence d'une série d'ondulations ou de vibrations dans ce milieu, mis en mouvement par les pulsations des corps lumineux. En partant de cette hypothèse Huygens obtenait les lois de la réflexion et de la réfraction, expliquait le phénomène de la double réfraction et donnait une construction pour le rayon extraordinaire dans les cristaux à deux axes ; de plus il imaginait les expériences qui mettent en évidence les principaux phénomènes de la polarisation.

3l2 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

L'immense réputation de Newton et son génie sans rival firent que Ton refusa d'accepter une théorie qu'il rejetait, et conduisirent à l'adoption générale de la théorie de l'émission proposée par Newton ; mais il faut faire remarquer que l'explication de quelques phénomènes donnée par Huygens, tels que la coloration des plaques minces étaient en désaccord avec les résultats des expériences. Ce ne fut que lorsque Young et Wollaston, au commencement du dixneuvième siècle, eurent repris la théorie des ondulations pour en modifier quelques détails, et que Fresnel eut de nouveau développé leurs vues, que cette théorie lut acceptée.

Outre ces ouvrages Huygens prit part à la plupart des controverses et des défis qui jouaient alors un si grand rôle dans le monde savant, et il écrivit plusieurs traités d'une importance secondaire. Dans l'un deux il étudia la forme et les propriétés de la chaînette. Dans un autre il formula en termes généraux la règle pour trouver les maxima et mini ma dont Fermât avait fait usage, et montra que la sous-tangente d'une courbe algébrique f(x, y)=zo

était égale à v'y , oùfy est la fonction dérivée def(x, y) considérée

comme une fonction de y. Dans quelques ouvrages posthumes, publiés à Leyde 1703, il montra en outre comment le pouvoir grossissant du télescope pouvait se déduire des distances focales des lentilles composées, et expliqua quelques phénomènes relatifs aux halos.

Nous devons ajouter que presque toutes ses démonstrations, de même que celles de Newton, sont rigoureusement géométriques et il ne paraît pas avoir employé le calcul différentiel ou des fluxions, bien qu'il ait admis la validité des méthodes. Ainsi, ses ouvrages étaient composés en un langage archaïque et ils ne reçurent peutêtre pas toute l'attention que leur mérite intrinsèque comportait.

Nous venons de suivre le développement des mathématiques sous l'influence de Descartes, Gavalieri, Pascal. Wallis, Fermât et Huygens pendant une période qui peut être considérée approximativement comme allant de i635 à 1675. La vie de Newton est en partie comprise dans celle période : nous étudions dans le chapitre suivant ses œuvres et son influence.

Nous pouvons signaler rapidement les noms des autres malhé-

T'-^-Mtfllt^Ç'"

maticiens de cette époque (*) en les faisant suivre d'une courte notice. Les principaux furent Bachet, Barrow, Brouncker, Collivs, De la Hire, de Laloubère, Frénicle, James Gregory, Hooke, Hudde, Nicolas Mercator, Mersenne, Pell} Roberval, Rœmer, Rolle, Saint- Vincent, Sluze, Torricclli, Tschirnhausen, van Schooten, Viviani et Wren.

Dans les notes qui suivent, nous avons classé les mathématiciens qui viennent d'être mentionnés de façon à présenter, autant que possible, leurs travaux principaux suivant Tordre chronologique.

Bachet. — Claude Gaspard Bachet de Méziriac naquit à Bourg en i58i et mourut en i638. Il écrivit les Problèmes plaisants dont la première édition parut en 1612 ; une seconde édition augmentée fut publiée en 1624 ; cet ouvrage contient une intéressante collection de questions et de récréations arithmétiques, dont la plupart sont citées dans nos Mathematical Récréations and Problems.

Il écrivit aussi Les éléments arithmétiques qui existent en manuscrit ; et une traduction de Y Arithmétique de Diophante. Bachet fut le plus ancien écrivain qui discuta la solution des équations indéterminées au moyen des fractions continues.

Mersenne. — Marin Mer senne né en i588 et mort à Paris en i648, était un frère Franciscain qui entreprit de faire connaissance et de correspondre avec les mathématiciens français de son époque et avec la plupart de leurs contemporains étrangers. En i634 il publia une traduction de la mécanique de Galilée ; en i644

il publia ses Cogitata Physico Mathematica, ouvrage par lequel ^

il est connu et qui contient l'exposition de quelques expériences -g

de physique ; il écrivit aussi un tableau synoptique des mathéma- ^ :'?*

tiques, qui fut imprimé en i664- :i

La préface des Cogitata contient l'énoncé de cette proposition ^

(probablement due à Fermât), que pour que l'expression a? — 1 *';.;

représente un nombre premier, les seules valeurs possibles de p, '^

non supérieures à 267, sont 1, 2, 3, 5, 7, i3, 17, 19, 3i, 67, 127 j

et 257 : le nombre 67 a probablement été mis par erreur pour 61. 1

En tenant compte de cette correction, la proposition semble être

(l) On trouvera des notes sur plusieurs de ces mathématiciens dans le Mathematical Dictionnary and Tracts de G. Hutton, 5 volumes, Londres 181 2-1 81 5.

3l4 HISTOIBE DES MATHEMATIQUES

vraie, et elle a été vér ifîée pour toutes les valeur de p à l'exception de 19; savoir 71, 101, io3, 107, 109, 137, 139, 149, i&7, i63, 167, 173, 181, 193, 199, 227, 229, 241 et 257.

Mersenne affirmait que p = 257 donnait pour 2* — 1 un nombre premier et que pour les autres valeurs, 2* — 1 est un nombre composé. Les vérifications pour les cas oùp = 67, 89, 127 reposent apparemment sur de longs calculs numériques faits par de simples particuliers et non publiés ; jusqu'à ce que ces démonstrations aient été confirmées nous pouvons dire que vingt deux cas attendent une vérification ou exigent des investigations ultérieures. Les facteurs de 2P — 1 quand p = 67 et p = 89 ne sont pas connus, les calculs montrant simplement que les nombres résultants ne peuvent être premiers. Il est très vraisemblable que ces résultats sont des cas particuliers de quelque théorème général qui reste à découvrir.

La théorie des nombres parfaits dépend directement de celle des nombres de Mersenne. 11 est probable que tous les nombres parfaits sont compris dans la formule 2p~~l (2* — 1), dans laquelle 2V — 1 est un nombre premier. Euclide a démontré que tous les nombres de cette forme sont parfaits : Euler a montré que cette formule comprend tous les nombres parfaits pairs ; et il y a des raisons de penser — bien qu'une démonstration rigoureuse du fait soit encore à trouver — qu'un nombre impair ne peut pas être parfait. Si on admet l'exactitude de cette dernière proposition, on peut conclure que tout nombre parfait est de la forme indiquée cidessus.

Ainsi, pour p = 2, 3, 5, 7, i3, 19, 3i, 61, les valeurs correspondantes de 2P — 1, d'après la règle de Mersenne, sont des nombres premiers : 3, 7, 3i, 127,8191, 131071, 524287,2147483647, 23o5843oo92i 3693951 ; et les nombres parfait correspondants sont : 6, 28, 496, 8128, 3355o336, 8589869056,

137338691328, a3o5843oo8i3995ai28, et 260845599 1 56g83 1 7446546926 1 595384a 1 76 .

Roberval (!). — Gilles Personier (de) Roberval, né àRoberval en

(') Une édition complète de ses œuvre» était comprise dans les anciens Mémoires de l'Académie des sciences publiés en 1693.

1602 et mort à Paris en 1675, se fit appeler de Roberval du lieu de sa naissance sans avoir aucun droit à ce titre seigneurial.

II examina la question des tangentes aux courbes, résolut quelques unes des questions les plus simples relatives à la cycloïde, généralisa les théorèmes d'Archimède sur la spirale, écrivit sur la mécanique et sur la méthode des indivisibles, qu'il rendit plus précise et logique. Il professait à l'université de Paris et était en correspondance avec presque tous les mathématiciens de son temps.

Van Schooten. — François Van Schooten, à qui nous devons une édition des œuvres de Yiète, succéda à son père (qui avait enseigné les mathématiques à Huygens, Hudde et Sluze) comme professeur à Leyde en i646 ; il lit paraître en 1659 une traduction latine de la géométrie de Descartes; et en 1657 une collection d'excercices mathématiques, dans lesquels il recommandait l'usage des coordonnées dans l'espace à trois dimensions. Il mourut en 1661.

Saint- Vincent («). — Grégoire de Saint- Vincent, de Tordre des Jésuites, né à Bruges en i584 et mort à Gand en 1667, découvrit le développement de Iog (1 -+- x) suivant les puisssances croissantes de x. Bien qu'il se soit occupé de la quadrature du cercle, il est à citer à cause des nombreux théorèmes intéressants qu'il découvrit dans ses tentatives pour résoudre un problème impossible, et Montucla observe ingénieusement que « personne ne quarra jamais le cercle avec tant d'habileté ou (excepté ce qui concerne son objet principal) avec autant de succès ». Il écrivit sur cette question deux livres, l'un publié en 16/47 et l'autre en 1668, qui contiennent deux ou trois cents pages d'impression serrée : l'inexactitude de sa quadrature fut signalée par Huygens. Il employait les indivisibles dans le premier de ces ouvrages ; un livre plus ancien intitulé Theorcmata Mathematica publié en 1624 contient une claire exposition de la méthode d'exhaustion, qui est appliquée à plusieurs quadratures, notamment à celle de l'hyberbole.

(*) Voir L. A. J. Quetelet, Histoire des sciences chez les Belges. Bruxelles,

3l6 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

Torricelli (*). — Evangelista Torricelli né à Faenza e i5 octobre 1608 et mort à Florence en 16^7, écrivit sur la quadrature de la cycloïde et des coniques, la théorie du baromètre, la valeur de la gravité déterminée par l'étude du mouvement de deux poids réunis par un fil passant sur la gorge d'une poulie fixe, la théorie des projectiles et le mouvement des fluides.

Hudde. — Jean Hudde bourgmestre d'Amsterdam, naquit dans cette ville en i633 et y mourut en 1704. Il écrivit deux traités en 1659 ; dans l'un il s'occupe de la réduction des équations qui ont des racines égales : dans l'autre il arrive à un résultat équivalent h cette proposition que si / (x, y) = o est l'équation algébrique d'une

courbe, la sous- tangente est — y-rr* maus ne connaissant pas la

ax notation du calcul différentiel son énoncé est confus.

Frénicle (*). — Bernard Fré nie le de Bessy, né à Paris vers i6o5 et mort en 1670, écrivit de nombreux mémoires sur les combinaisons, la théorie des nombres et les carrés magiques. Il peut être intéressant d'ajouter qu'il défia Huygens de résoudre en nombres entiers le système d'équation suivant

M. Pépin en a donné une solution en 1880.

De Laloubère. — Antoine de Laloubbre père jésuite, né dans le Languedoc en 1600 et mort à Toulouse en 1664, donna en 1660 une solution inexacte des problèmes proposés par Pascal sur la cycloïde; mais son titre le plus sérieux à la renommée est que, le premier des mathématiciens, il étudia les propriétés de l'hélice.

(l) Ses écrits mathématiques furent publiés à Florence sous le titre Opéra Geometrica. Voir aussi un mémoire par G. Loria. Bibliotkeca mathematica, vol. I pp. 75-89., Leipzig, 1900.

(') Les œuvres diverses de Fréxicle, éditées par De la Hire, ont été publiées dans les Mémoires de l'Académie, vol. V, 1691.

Nicolas Mércator. — Nicolas Mercator (appelé quelquefois Kaaffmann) naquit dans le duché de Holstein vers 1620; mais passa la plus grande partie de sa vie en Angleterre. Il vint en iG83 en France, où il dessina et construisit les fontaines de Versailles, maison refusa de lui payer la somme convenue pour l'exécution des travaux, à moins qu'il ne se convertît au catholicisme; il mourut de vexations et de misère à Paris en 1687. H écrivit un traité sur les logarithmes intitulé Logarithmo technica publié en i568. et découvrit la série

log (1 -+- x) = x xs + a a;3 — y x* -+- •-.

il démontrait cette égalité en écrivant l'équation de l'hyperbole sous la forme

y = j-it- = 1 — x + x* — #3 -+■ ••••

à laquelle la méthode de quadrature de Wallis pouvait être appliquée.

La même série avait été découverte indépendamment par Saint- Vincent.

Barrow('). — Isaac Barrow naquit à Londres en i63o et mourut à Cambridge en 1677. Il commença ses études au Collège de Charterhouse (où il se signala par une telle dissipation, qu'on entendit un jour son père s'écrier que, s'il plaisait à la Providence de le frapper dans la personne d'un de ses enfants, elle ne pouvait mieux faire que de choisir Isaac), il étudia ensuite au collège de Felstead, enfin il compléta son éducation au collège de la Trinité à Cambridge ; après avoir pris ses grades en i648, il obtint une agrégation en 16^9, et résida alors pendant quelques années dans le collège, mais il en fut chassé par la persécution des Indépendants. Il passa dans l'est de l'Europe les quatres années suivantes et retourna en Angleterre en 1669 après diverses aventures. L'année suivante il obtint une chaire de grec à Cambridge. En 1662, il devint professeur de géométrie au collège Gresham et en i663 il fut choisi pour occuper pour la première fois la chaire Lucasian

(') Ses œuvres mathématiques, éditées par W. Whewell, furent publiées à Cambridge en 1860.

3l8 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

à Cambridge. Il abandonna en 1669 cette dernière à son élève Newton, dont il reconnaissait la hante supériorité. Il consacra le restant de sa vie i l'étude des questions religieuses. Il fut nommé directeur du collège de la Trinité en 1672, et il conserva oe poste jusqu'à sa mort.

On le représente comme un homme a de faible stature, maigre et d'un teint pâle » négligé dans sa toilette et fumeur invétéré. Il était cité pour sa force et son courage, et Ton raconte que, voyageant dans la mer du Nord, il sauva par son intrépidité le vaisseau qui le portait attaqué par des pirates. Son esprit prompt et mordant en fit un favori de Charles II et détermina les courtisans à le respecter lors même qu'ils ne l'aimaient pas. Son talent comme écrivain et sa grande éloquence, sa vie irréprochable font de lui un personnage marquant de son époque.

Le premier de ses ouvrages est une édition complète des Éléments d'Euclide qu'il fit paraître en i655 ; en 1660 il en publia une traduction anglaise, et en 1657 une édition des Data. Ses conférences, faites en i664, iB65 et 1666, furent publiées en i683 sous le titre Lectiones Mathematicœ : elles traitent principalement des bases méthaphysiques sur lesquelles reposent les vérités mathématiques. Ses conférences pour 1667 furent publiées la même année, et exposent l'analyse qui conduisit Archimède à ses principales découvertes. En 1669 il fit paraître ses Lectiones Optlcœ et Geometricœ ; il avertit dans la préface que ces leçons ont été revues et corrigées par Newton, qui y ajouta des recherches personnelles, mais il semble probable, d'après les remarques de Newton dans la controverse engagée à propos du calcul des fluxions que ces additions ne portent que sur l'optique : cet ouvrage, le plus important qu'il ait publié, fut réédité en 167/4 avec quelques modifications de peu d'importance. En 167J il publia une édition avec de nombreux commentaires des quatre premiers livres des Coniques d'Apollonius et des ouvrages existants d'Archimède et de Théodose.

Dans ses conférences sur l'optique, un grand nombre de problèmes relatifs à la réflexion et à la réfraction de la lumière sont traités avec ingéniosité. Il donne la définition des foyers dans les miroirs, et montre que l'image d'un objet est le lieu des foyers géométriques de chacun de ses points. Barrow étudia aussi quel-