CHAPITRE XV. HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES DESCAHTES 3ig

ques unes des propriétés les plus simples des lentilles minces ; et simplifia considérablement l'explication cartésienne de l'arc-enciel.

Les leçons géométriques contiennent quelques méthodes nouvelles pour déterminer les aires et les tangentes des courbes. La plus remarquable est celle donnée pour la détermination des tangentes aux courbes, et cette question est assez importante pour que nous en fassions l'objet d'une note détaillée : elle montre comment Barrow, Hudde et Sluze appliquaient les idées de Fermât sur le calcul différentiel. Fermât avait observé que la tangente en un point P d'une courbe était déterminée si un autre point de cette tangente, en dehors de P, était connu; par conséquent, si la longueur de la sous-tangente MT pouvait être trouvée (et par suite, le point T), alors la ligne TP serait la tangente demandée. Barrow faisait remarquer que, si l'abscisse et l'ordonnée d'un point Q voisin de P étaient tracées, il obtenait un petit triangle PQR (qu'il appelait le triangle différentiel, parce que ses cotés PR et PQ étaient les différences des abscisses et des ordonnées de P et de Q), de telle sorte que

Ti\l QR MP — HP'

Pour trouver îrp il supposait que x et y étaient les coordonnées de P, et as — e, y — a celles de Q (Barrow faisait usage des

Fig. 33.

lettres p et m pour x et y, mais nous avons cru préférable de nous conformer à la notation moderne). En substituant les coordonnées de Q dans l'équation de la courbé, et en négligeant les carrés et les

puissances supérieures de e et a comparativement à leurs premières puissances, il obtenait -.

Le rapport - fut par la suite (conformément à une idée émise

par Sluze) appelé le cofficient angulaire de la tangente au point considéré.

Barrow appliqua cette méthode aux courbes

x*(x2 4- y*) = r3/* ; ac3 H- y* = r3 ; x3 -h y3 = rxy (courbe appelée la galande) : y = (r — x) tang — , laLquadratrice,

et y = r tang - -

Il nous suffira ici de prendre comme exemple le cas le plus simple de la parabobe y2 = px. En employant la notation donnée ci-dessus, nous avons pour le point P, y2 = px ; et pour le point Q (y — à)2 = p(x— e).

On a par soustraction lay — a2 = pe.

Mais si a est une quantité infiniment petite, a2 doit être infiniment plus petit et par suite peut être négligé par rapport aux quantités iay eipe.

Alors

aoy = pe,

c'est-à-dire

Par conséquent

TM e ay

d'où

TM = î£ = a*.

C'est exactement le procédé employé dans le calcul différentiel avec cette différence que dans ce dernier cas nous avons une règle

qui nous donne directement le rapport - ou .- sans qu'il soit nécessaire d'effectuer pour chaque cas particulier un calcul semblable au précédent.

Brouncker. — William, Vicomte, Brouncker, Tun des fondateurs de la Société Royale de Londres, né vers 1620 et mort le 5 avril, 1684, fut l'un des plus brillants mathématiciens de cette époque. Il était en relations avec Wallis, Fermât et d'autres savants renommés. Nous avons mentionné plus haut sa curieuse reproduction d'une solution donnée par Brahmagupta d'une certaine équation indéterminée. Brouncker prouva que l'aire comprise entre l'hyperbole équilatère xy = 1 , l'axe des x et les ordonnées x = 1 , x = 2, est égale à

TT, + à + à + - ouà I-aI + 3-J-+-

Il s'occupa également d'autres expressions semblables pour différentes surfaces limitées par l'hyperbole et des lignes droites. Il écrivit sur la rectification de la parabole et de la cycloïdc. (») Il est à noter qu'il fit usage des séries infinies pour exprimer des quantités dont il n'aurait pu déterminer autrement les valeurs. En réponse à une question de Wallis concernant un essai de quadrature du cercle, il montra que le rapport de l'aire du cercle à Taire

du carré circonscrit, c'est-à-dire -,, est égal à

Les fractions continues (2) avaient été introduites par Cataldi dans son traité sur la recherche des racines carrées des nombres publié à Bologne en 161 3, mais Brouncker semble avoir été le plus ancien auteur qui ait étudié leurs propriétés.

James Gregory. — James Gregory, né à Drumoak près Aberdeen en i638 et mort à Edimbourg en octobre 1675, fut successivement professeur à Saint André et à Edimbourg. En 1660 il publia ses Optica Promota dans lequel se trouve décrit le télescope à ré-

(1) Au sujet do ces recherches, voir ses notes dans les Philosophical Transactions, Londres 1668, 167a, 1673 et 1678.

(a) Sur l'histoire des fractions continues voir les mémoires de S. GiivniER et A. Favaro insérés dans le Balletino bibliografia de Boxcompagni Rome, 187$, vol. VH pp. 2i3, 45i, 533.

I\. » — Tome I. 21

flecteur qui porte son nom. En 1667 il composa sa Vera Circuit et Hyperbolx Quadratura, ouvrage dans lequel il montrait comment les aires du cercle et de l'hyperbole pouvaient s'obtenir sous la forme de séries convergentes infinies, et là (pour la première fois croyons-nous) se trouve établie une distinction entre les séries convergentes et divergentes. Cet ouvrage contient également une proposition géométrique remarquable, prouvant que le rapport de l'aire d'un secteur de cercle quelconque à l'aire du polygone régulier inscrit, ou du polygone régulier circonscrit, ne peut être exprimé sous forme d'une expression algébrique comprenant un nombre fini de termes. De là il concluait que la quadrature du cercle est impossible : Montucla accepte ce raisonnement, mais il n'est pas concluant.

Ce livre contient encore les développements en séries de sin x9 cos x, arc sin x et arc cos x. Il fut réimprimé en ï668 avec un appendice, Geometriœ Pars, clans lequel Gregory expliquait comment on pouvait déterminer les volumes des solides de révolution.

En 1671, ou peut-être plus tôt, il établit la relation

ô = tang 8 — g tg30 4- 1 tg56 — ....

lorsque 0 est compris entre — .- ~ et y it. C'est sur ce théorème

que furent basés, par la suite, plusieurs des calculs faits pour arriver à une valeur approchée de 71.

Wren. — Sir Christophe Wren naquit à Knoyle, Wiltshire, le 20 octobre i632 et mourut à Londres, le 25 février 1723. II est plus connu comme architecte que comme mathématicien, mais il occupa la chaire Savilian, fut professeur d'astronomie à Oxford de 1661 à 1673, et pendant quelque temps président de la Société Royale. Avec Wallis et Huygens il étudia les lois du choc des corps ; il découvrit également la double génération par une droite de l'hyperboloïde à une nappe, bien que probablement il ne se soit intéressé qu'à Thyperboloïde de révolution (*). Il écrivit en outre sur la résistance des fluides, et le mouvement du pendule. Il était ami de

(!) Voir les Phiïosophical Transactions, Londres 1669.

Newton et (de même que Huygens, Hooke, Halley et d'autres) il avait essayé de montrer que la force qui provoquait le mouvement des planètes était en raison inverse du carré de la distance au soleil.

Wallis, Brouncker, Wren et Boyle (ce dernier était plutôt chimiste et physicien que mathématicien) furent les principaux savants qui fondèrent la Société Royale de Londres. La Société eut pour origine le prétendu « collège indivisible » créé à Londres en i645 ; la plupart de ses membres se rendirent durant la guerre civile à Oxford, où Hooke, qui servait alors d'aide h Boyle dans son laboratoire, prit part à leurs réunions. La Société fut constituée à Londres en 1660» et fut organisée en corps le i5 juillet 1662. L'Académie dei Lincoi fut fondée en i6o3, l'Académie française en 1666, et l'Académie de Berlin en 1700.

Hooke. — Robert Hooke, né à Freshwater le 18 juillet i635t et mort à Londres le 3 mars 1703, fit ses études à Westminster et Christ Ghurch, Oxford. En i665, il fut nommé professeur de géométrie au collège de Gresham, poste qu'il occupa jusqu'à sa mort. 11 a découvert cette loi que, dans certaines limites, la tension exercée par une corde tendue est proportionnelle à l'allongement. Il inventa le pendule conique et étudia ses propriétés ; le premier, il affirma d'une façon formelle que les mouvements des corps célestes étaient de simples problèmes de dynamique. Il était aussi jaloux qu'orgueilleux et irritable et accusa à la fois Newton et Huygens de s'être approprié, sans scrupule, ses découvertes. De môme que Huygens, Wren et Halley, il tenta de trouver la loi régissant la force qui produit le mouvement des planètes autour du soleil et il pensait que .cette force varie en raison inverse du carré des distances. Comme Huygens il découvrit que les petites oscillations d'un ressort spiral enroulé étaient pratiquement isochrones et fut ainsi conduit à en recommander (probablement en i658) l'usage dans les montres ; il en avait une de ce genre faite à Londres, en 1675; elle fut achevée exactement trois mois après la construction d'une montre semblable faite à Paris d'après les indications de Huygens.

Gollins. — Jean Collins, né près d'Oxford le 5 Mars i6a5 et

mort à Londres, le 10 novembre i683, était un homme d'une grande intelligence naturelle mais de peu d'instruction. Passionne pour les mathématiques, il passait tout le temps dont il disposait à correspondre avec les principaux mathématiciens du temps pour lesquels il était toujours prêt à faire tout ce qui était en son pouvoir, et il a été appelé — assez justement — le Mersenne anglais. On lui doit de nombreuses informations sur les détails des découvertes faites durant cette période (').

PelL — Un autre mathématicien qui consacra une part considérable de son temps à faire connaître les découvertes des autres, et à correspondre avec les principaux mathématiciens fut Jean PelL Pell naquit dans le Sussex le ier mars 1610, et mourut à Londres le 10 décembre i685. Il fît ses études au Collège de la Trinité à Cambridge et occupa successivement les chaires de mathématiques à Amsterdam et Breda; il entra ensuite au service diplomatique de l'Angleterre; mais il s'établit finalement en 1661 à Londres où il passa les vingt dernières années de sa vie. Ses principaux ouvrages sont une édition, considérablement augmentée, de l'Algèbre de Branker et Rhonius, Londres, 1668 ; et une table des carrés des nombres, Londres, 1672.

Sluze. — René-François Waller de Slaze (Slusius), bhanoine de Liège, né le 7 juillet 1622 et mort le 19 mars i685, trouva pour la sous-tangente d'une courbe f(x9 y) = o une expression

qui est équivalente à — J-Jf* ^ écrivit de nombreux traités (*),

dx et en particulier, discuta assez longuement les spirales'et les points d'inflexion.

Viviani. — Vincent Viviani, élève de Galilée et de Torricelli, né à Florence le 5 avril 1622, et mort dans cette ville le 22 septembre 1703, fit paraître en 1659 une restitution du livre perdu

(*) Voir le Comme rcium EpUtolicum, et S. P. Rigaud, Corrcspondence of Scientijîc Men of tke Sevenleenth Cenlury, Oxford, i84i.

(*) Quelques unes de ses notes ont été publiées par Le Pajge dans le volume XVII du Balletino di bibllografîa de Bojcompagxi. Rome, i884.

Rœmer. — Olof Rœmer, né à Aarhuus le 25 septembre i644, et mort à Copenhague le 19 septembre, 17 10, mesura le premier la vitesse de la lumière, en 1675, au moyen des éclipses des satellites de Jupiter. Il répandit l'usage de la lunette méridienne et du cercle mural, les hauteurs azimutales ayant été jusque là généralement employées, et c'est d'après ses recommandations que les observations astronomiques des étoiles furent faites généralement par

d'Apollonius sur les sections coniques ; et en 1701 une restitution de l'ouvrage d'Àrislée. Il expliqua en 1677 comment on pouvait effectuer la trisection de l'angle à l'aide de l'hyperbole équilatère ou de la conchoïde. En 1692 il proposa le problème consistant à ouvrir dans une voûte hémisphérique quatre fenêtres égales, de telle sorte que le restant de la surface fut exactement quarrable : problème célèbre dont des solutions analytiques furent données par Wallis, Leibnitz, David Gregory, et Jacques Bernoulli.

Tschirnhausen. — Ehrenfried Walther von Tschirnhausen naquit à Kislingswalde le 10 avril i63i et mourut à Dresde le 11 octobre 1708. En 1682, il étudia la théorie des caustiques par réflexion ou catacaustiques, comme on les appelait ordinairement, et il montra qu'elles étaient rectifiables. C'est le second exemple que l'on connaisse de la détermination de l'enveloppe d'une ligne mobile. Il construisit des miroirs ardents d'une grande puissance. La transformation par laquelle il enlevait dans une équation algébrique donnée certains termes intermédiaires est bien connue ; elle a été publiée dans les Acta Erudilorum pour i683.

De la Hire. — Philippe De la H ire (ou Lahire), né à Paris le 18 mars 16/10, et mort dans cette ville le 21 avril 17 19, écrivit sur les méthodes graphiques, 1673; sur les sections coniques,

i685; il composa un traité sur les épicycloïdes, 169^; un autre ^

sur les roulettes, 1702 ; et enfin un autre sur les conchoïdes, 1708. Son travail sur les sections coniques et les épicycloïdes est basé sur l'enseignement de Desargues dont il fut l'élève favori. Il traduisit également l'essai de Moschopulus sur les carrés magiques, et recueillit la plupart des théorèmes sur ce sujet qui étaient antérieurement connus : le tout fut publié en 1705.

la suite dans le méridien. Ce fut également lui qui le premier introduisit dans les observatoires l'usage des micromètres et des microscopes pour la lecture des angles. Il déduisit aussi des propriétés de l'épicycloïde la forme la plus convenable à donner aux dents des engrenages cylindriques pour assurer un mouvement uniforme.

Rolle. — Michel Rolle, né à Ambert le 21 avril i65a, et mort à Paris le 8 novembre 17 19, écrivit en 1689 une algèbre qui contient le théorème qui porte son nom sur les racines d'une équation. Il publia, en 1696, un traité sur la résolution des équations déterminées ou indéterminées, et écrivit plusieurs autres ouvrages d'importance moindre. Il considérait le calcul différentiel, qui, ainsi que nous allons le voir un peu plus loin, avait été introduit vers la fin du dix-septième siècle, comme un ensemble d'artifices ingénieux.