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les limites trouvées pour le logarithme de N, et les combiner avec celles du logarithme donne, soit par somme, soit par différence, selon qu'il sera nécessaire ; de manière à connaître les limites extrêmes du résultat final, conformément aux règles établies plus haut par Napier pour ce mode de combinaison.

Mais il peut arriver que le moven proportionnel auxiliaire N2 ne se trouve pas assez voisin de A pour que son logarithme soit donné imwiédiatement avec une précision suffisante par la moyenne des deux limites qui l'embrassent. Alors, comme la table générale des logarithmes calculés commence au nombre A, on cherchera dans cette table le nombre qui diffère le moins de N2. Soit ce nombre N3 ; son logarithme sera connu par la table même ; il ne restera donc qu'à déterminer la différence des logarithmes de Na et de Ns, ce qui se fera par un nouveau moyen auxiliaire N4> comme nous venons tout à l'heure ■de l'expliquer. Si N4 se trouve assez près de A pour que son logarithme puisse être assigné avec une exactitude suffisante par la moyenne des limites qui l'embrassent, on en déduira celui de N&, puis enfin celui de N ou de Nj ; mais, si Nv se trouvait encore compris entre des limites trop larges, on le comparerait encore au nombre tabulaire qui en approche le plus, et Ton formerait un nouveau moyen auxiliaire N5 pour déterminer la différence des logarithmes ; puis, au besoin, on recourrait à un autre, à un autre encore, jusqu'à ce qu'enfin les limites du dernier logarithme diffèrent entre elles aussi peu qu'on le voudra.

Ces préliminaires étant établis, je passe à la construction des tables. Une disposition très ingénieusement choisie par Napier, c'est d'avoir pris sa progression géométrique descendante, ce qui lui permet d'en former les termes successifs avec autant de précision qu'il le désire par de simples soustractions successives sans multiplications ni divisions. Ainsi, prenant pour terme supérieur le nombre 10000000, si la raison de la progression doit être 93SJÀM. comme il le fait dans une r D iooooooo'

première table préparatoire indispensable à expliquer d'abord, il est évident qu'il suffira de retrancher du premier terme iooooooo, sa dixmillionième partie, ou simplement i pour avoir le second terme de la progression qui sera 9999999 ; puis de celui-ci encore ôtant sa dixmillionième partie, ou 0,9999999, on aura le troisième terme et ainsi de suite, aussi loin que l'on voudra. Napier pousse d'abord cette première table jusqu'à 101 termes en comptant le premier. On comprendra tout à l'heure la raison de ce nombre. Pour le moment, je me borne à présenter la succession de ces calculs, comme le fait Napier, . en y signalant l'usage des décimales avec la même généralité et

simplicité que nous leurs donnons aujour<Thui, sauf qu'il emploie un point au lieu d'une virgule pour les séparer.

Rangs successifs

des termes,

à partir du premier

Termes successifs

delà

progression géométrique.

I OOOOOOO . OOOOOOO