I .OOOOOOO
9999999 ooooooo •9999999
9999997-00°ooo3
etc.
etc.
IOO
La vraie valeur de ce centième terme, calculée directement avec vingt décimales, par nos méthodes de développement actuelles, est
9999900,00049 49983 83oo3 9a 122.
On l'obtient aisément, d'après l'expression générale de ce ioia terme qui est io7 (1 — a)100, a représentant la fraction un dix-millionième,
ou — ^ . Cette expression développée devient
v ioo.oq 9 ioo.qq.q8 , ioo.qq.q8.Q7 ,
10' (l — iooa) H z* a2 V?JL a» H J^^.-^l ai ....
et en mettant pour a sa valeur
•> in' ï 1 % ir»1* ï o ^ A 1 nai '
Le calcul effectué jusqu'aux a4 donne la valeur que nous venons de rapporter. On voit que celle de Napier n'en diffère que dans la neuvième décimale.
Cette table sert à Napier pour deux choses : d'abord pour trouver le logarithme du premier terme 9999999* et par déduction, tous les logarithmes des termes suivants qui dérivent les uns des autres par le
même rapport ; secondement, pour calculer, d'après le dernier terme de la table, le logarithme du nombre 9999900 qui est extrêmement peu différent de ce terme-là.
Pour la première opération, il considère que le nombre 9999999 étant égal à A — 1 , y est 1 ; de sorte que les limites de son logarithme
sont 1 et ou 1,00000 01 000 0001... ; lesquelles ne différent
l'une de l'autre que par la septième décimale, on peut donc, dans cet ordre d'approximation, prendre pour valeur du logarithme, la moyenne de ces limites, c'est-à-dire 1,00000 00 5. Napier s'arrête à ce résultat. Pour en apprécier la précision, il n'y a qu'à reprendre la relation générale trouvée plus haut entre ses logarithmes et les nôtres, laquelle est
ici Ton a
d'où
log nép. N = — A log hyp. (A »
— los hyp- (x) = — lo& hyp- (1n^7~J) = — log hyp- (l ""ïo7)'
et en développant ce logarithme en série, puis effectuant la multiplication par A ou ïo7, il vient
log nép. (9999999) = * + ^î + 37^ + 4^1 '
ou, en effectuant les calculs,
log nép. (9999999) = 1,00000 oo5oo oooo3 333, d'où l'on voit que le résultat de Napier n'est en erreur que de „ d'unité
sur la quatorzième décimale.
Le logarithme du premier terme de sa progression géométrique étant connu, il en déduit aussitôt ceux de tous les termes suivants par la la condition d cquidifférence, c'est-à-dire, en multipliant ce premier logarithme, par le rang successif de chaque terme ; le centième et dernier terme de sa progression se trouve donc ainsi avoir pour logarithme cent fois la valeur précédente, c'est-à-dire 100, 0000 5o, avec ses limites comprises entre 100,000000 et 100,000010; d'après le résultat exact obtenu
plus haut, on voit que cette évaluation n'est en erreur que de « d'unité
sur la douzième décimale.
344 HISTOIB£ DES MATHEMATIQUES
Ceci est le logarithme du dernier terme de fia première table. Pour passer de là au logarithme de 9999900, Napier emploie des moyens proportionnels auxiliaires qui se rapprochent davantage du premier terme de la progression. Nous avons expliqué plus haut ce procédé d'après lui. Ceci va nous fournir un exemple de la manière dont il l'applique.
11 cherche donc d'abord un moyen auxiliaire N„ tel qu'on ait
*.*i ^ N AN1 A A(N-NI)§ A" N' °" , — ~ÎT-A N
ici Ton a
A = io\ N = 0999900,0004950 ; N, = 9999900.
Conséquemment le terme correctif
A(N — Ni) io7. 0,000490 105. 0,000490 0,000495
Ainsi, d'après les formules de la page 34o, les deux limites du logarithme de N,, selon Napier, seront
M=5i) oooào5oo4o5et A(N ""^M =P^ooo4o3oo4q5 . N ' * J fS— N,) 1 — 0,0000000009495
Ces deux quantités étant égales, dans les douze premières décimales, on peut prendre à volonté Tune ou l'autre pour la limite de N,, et les ajoutant à celles déjà obtenues pour le logarithme du dernier terme de la progression, c'est-à-dire à 100,000000 et 100,00001c, on aura celles du logarithme de 9999900, lesquelles seront ainsi
100,00049500495 et i,ooo5o5oo495 ;
ce qui, en se bornant à huit décimales, donne pour la valeur moyenne de ce logarithme,
ioo,ooo5o 000495
C'est la valeur que lui donne Napier. Le calcul exact, par les séries, donne un résultat qui diffère à peine. En effet, on a alors
N = 99999°° = ioi.(io' — 1) = 107 (1 — ~) ; ce qui étant mis dans l'expression générale du logarithme népérien
donne
log nép. (99999°°) = — 1°7 H h)'P- (i — ~») = 10° +• J^
ou en réduisant
log nép. (9999900) = iootooo5o ooo33 33358,
résultat différent de celui de Napier seulement dans les neuvièmes décimales.
Ce nombre 9999900 lui sert pour premier terme d'une nouvelle progression plus rapide dont la raison est -99992?° ou __99999 et dont 0 r r 1 0000000 1 00000
les termes se déduisent encore par simple soustraction, en retranchant de chaque terme sa centième partie, comme le montre le tableau suivant qui n'a plus besoin d'explication t
Rangs successifs Termes successifs
des ternies de la
à partir du premier progroa&ion géométrique.
3 9999 700. oo3ooo
9<j.(;9"ooo
4 999<;Goo.coGooo
etc. etc.
Napier ne conduit cette progression que jusqu'au cinquantième terme, parce que son but est seulement d'en déduire le logarithme de 9995000, dont il va avoir besoin tout à l'heure. Dans les soustractions qui l'ont conduit à ce cinquante-unième terme, il faut qu'il ait
commis quelque petite faute de calcul, car la valeur qu'il donne est seulement 9995001, 222937, et elle est en erreur dès la troisième décimale. Ce résultat devenant uue base fondamentale de sa table, comme on va le voir, altère nécessairement les dernières décimales de la plupart de ses logarithmes, et y cause les erreurs que l'on y a remarquées ; mais la faute est dans le détail mécanique du calcul non dans la méthode.
^Tous avons déterminé tout à l'heure le logarithme du nombre 9999900 qui est le premier de cette seconde table, et nous l'avons trouvé égal à ioo,ooo5oo; ceux de tous les autres termes suivent donc celui-là par équidifterence, puisque ces termes procèdent les uns des autres, suivant le môme rapport. Le logarithme du cinquante-unième et dernier sera donc égal à 5o fois la différence commune, ou à
5ooo,025oo ;
c'est ainsi que fait Napier. La valeur exacte déduite de nos résultats
précédents serait
5ooo,025oo 01666 679;
elle diffère seulement dans la septième décimale.
De là, en appliquant ses théorèmes de limites, Napier conclut le logarithme de 9995000, et il le trouve ainsi égal à 5ooi, 2485357; mais ce résultat est influencé par la faute qu'il a commise sur son cinquanteunième terme. En refaisant le calcul par sa méthode, après avoir corrigé Terreur, on trouva 5ooi,25o4i6£5; la valeur exacte directement
Rangs successif» Termes successifs
des termes de la
à partir du premier. progression géométrique.
5ooo. 000000
etc. etc.
déduite des séries, serait 5ooi,a5o4i 68a3o, et elle ne diffère encore
que dans la septième décimale de celle que Napîer aurait dû obtenir.
Enfin, avec ce dernier nombre, 9995000, il construit une troisième
table qu'il forme encore par soustraction avec Je rapport 1 ou
1 r rr 9990000
IOOOO T
*■ qui est précisément 1 , et il obtient ainsi le tableau de
la page 346.
Napier ne conduit cette troisième progression que jusqu'au vingtième terme, parce qu'il veut seulement en déduire le logarithme de 9900000* Or, cela lui suffit pour l'obtenir ; car. d'abord, comme il a le logarithme du premier terme de sa nouvelle progression, il peut en conclure tous ceux des autres termes par la loi d'éq indifférence ; et ainsi le logarithme du vingtième terme s'obtiendra en multipliant par 20 cette différence commune, ce qui lui donne 100024,970774, qu'il se borne à remplacer par 10002 5, et de là, il conclut le logarithme voisin du 9990000 qu'il trouve égal à ioo5o3. 3210291. Mais ces résultats sont encore viciés par la petite erreur du dernier terme de sa seconde table ; et, en les en dépouillant, on trouve par sa méthode le logarithme de 9900000 égal à
ioo5o3,3585a 28,
tandis que le calcul direct par les séries, donne
ioo5o3,35852 535o;
de sorte que l'erreur du résultat obtenu par sa méthode ne commence plus qu'à la sixième décimale.
Ayant obtenu, par ce qui précède, le logarithme de 9995000 et celui de 9900000, Napier s'en sert pour construire, toujours par soustraction et par équidifférence, une nouvelle table beaucoup plus étendue, qu'il appelle Table radicale, parce que c'est généralement aux termes qui la composent qu'il rapporte les nombres quelconques, dont il veut déterminer le logarithme. Cette table contient 69 colonnes verticales, comprenant chacune 21 termes, ce qui fait en tout i449 termes, ou nombres, accompagnés de leurs logarithmes. Nous rapportons ici, comme type, les deux premières colonnes et la dernière, en rectifiant seulement les conséquences de la faute de calcul que nous avons signalée. (Voir le tableau de la page 348).
La formation de te u tes ces colonnes est très simple. D'abord, quant aux nombres naturels, les premiers de chaque colonne se déduisent
successivement les uns des autres, par le rapport commun y*- , ou
i — — , c'est-à-dire en retranchant de chaque terme précédent la
centième partie de sa valeur. Par exemple, de 10000000 retranchant le
centième qui est ioooo, il reste 9900000 qui devient le premier
nombre de la seconde colonne et ainsi des autres successivement.
Dans le sens vertical, les nombres naturels de chaque colonne se dé-
, . . , , . . 10000000 duisent les uns des autres par la proportion commune s^r ou
1 ; leur formation successive est donc facile en les dérivant des
premiers de chaque colonne.
i" colonne
Nombres naturels
10000000.0000 9995000.0000 999000a. 5ooo 99^5007.4987 9980014.9950
etc.
Logarithme
i5oo3.
aooo5. o
etc.
a" colonne
Nombres naturels
etc.
Logarithme
ioo5o3.4 io55o4-6 no5o5.9 n 55o7.i
etc.
69* colonne
Nombres naturels
5o48858.8879 5o463344584 5o438u.2ii2 504*289 3R56 5038768.7509
etc.
Logarithme
€844*3o.cj
etc.
Quant aux logarithmes qui correspondent à ces nombres, ils sont également faciles à calculer. Car, d'abord pour les premiers nombres de chaque colonne qui ont un rapport constant, leurs logarithmes marchent par équidifférence, et la raison de leur progression est le logarithme de 9900000 moins celui de 1 0000000, c'est-à-dire celui même de 9900000, l'autre étant zéro.
Ainsi, par les déterminations précédentes, cette différence commune est ioooo3, 3585228.
Dans le sens vertical, les logarithmes de chaque colonne sont encore équidiiïerents. Mais la raison est égale à la différence des logarithmes de 99q5ooo et de 10000000, c'est-à-dire à 5ooi,25o4i645, d'après les évaluations rapportées plus haut.
Cette table radicale étant ainsi formée, seulement à l'aide de sous-
tractions et d'additions, Napier y ramène tous les nombres dont il veut trouver les logarithmes.
Cherchons, par exemple, le logarithme de 5oooooo nombre qui représente le sinus de 3o°, lorsque le rayon est iooooooo ou io7. Ce logarithme se trouve évidemment compris entre les deux derniers de la dernière colonne; et L'on peut calculer combien il en diffère, par la méthode des moyens auxiliaires expliquée plus haut. Partant donc ainsi du nombre tabulaire 5061109,9568, qui est le plus voisin de 5ooooo,
le premier moyen proportionnel auxiliaire, est 9997780,6790294. Si /
Ton veut le considérer comme suffisant, il donne pour la différence
cherchée, des logarithmes 2219,6678162. Mais on pourrait craindre ' '^
que ce premier moyen ne fût trop différent de io7, pour qu'on pût lui * k
appliquer directement les conditions des limites avec une suffisante v4
exactitude. En ce cas, il faudrait le comparer à son analogue tabulaire '"f^
qui se trouverait être le vingt-troisième terme de la seconde table pré- , '^
paratoire, lequel a pour valeur 9997800,280988, avec un logarithme ~'$
égal à 2200,01 1000. Alors, en rapportant à ce terme le premier moyen * yjj
auxiliaire, on formerait un second moyen qui, cette fois, par ses li- Vrv
miles, donnerait pour différence des derniers logarithmes I9,6563ii5 ; tf;
laquelle étant ajoutée à 2200,011000, donne 2219,667311, résultat éf!
qui diffère seulement dans la sixième décimale de celui qui donnait ' '^
la première proportionnalité. Toutefois ce second résultat étant déduit de limites plus étroites, est préférable; l'ajoutant donc au logarithme tabulaire de 5ooi 109,9568 qui est 6929262, i4i63i, on aura le logarithme de 000000 qui se trouvera être 6931471, 808942, lequel, ainsi qu'on Ta vu plus haut, n'est en erreur que de trois unités sur la quatrième décimale. Napier, dans son ouvrage, lui attribue une valeur k différente et plus fautive, laquelle est 6981469.22. Mais cela provient sans doute de la petite faute de calcul qu'il avait faite dans sa seconde table préparatoire ; et, dans tous les cas, la valeur que nous venons d'obtenir est bien réellement celle que sa méthode doit donner.
J'ai calculé de même par sa méthode le logarithme de 8000000 dont il fait également un usage spécial, comme nous le verrons tout à l'heure. Pour l'obtenir, n'ayant pas toute sa table radicale explicitement formée, je cherche d'abord la puissance de ■*-*■ qui en diffère le moins, et je trouve par une évaluation facile çme c'est la 23\ Le calcul exact de / JA\ qUî se fait aisément par la formule du binôme, me donne le premier terme de cette 23e colonne que je trouve égale à
35o HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
Son logarithme est 22 fois la différence commune horizontale
ce qui produit 2 231078889 1672. Maintenant, pour se rapprocher du nombre proposé 8000000, il faut descendre graduellement dans cette 23e colonne, suivant les conditions de proportion et de différences assignées plus haut. Alors, après quatre opérations de ce genre, on trouve pour le 5* terme le nombre 8000 285, 3o4o5o85, ayant pour logarithme 2231078,8891672. C'est le plus voisin de 8000000 qui soit dans la colonne. La différence des logarithmes de ces deux nombres conclue d'un seul moyen auxiliaire, se trouve être 356,6a35o45 : et en l'ajoutant au logarithme tabulaire, on a le logarithme de 8000000 égal à 2231^35,5126717. C'est aussi généralement celui du rapport abstrait
8 oOOOOOO
; car ce rapport est le même que , et dans le système de
10 ' rr ^ j 0000000 J
Napier, le logarithme de 1 0000000 est nul.
Or, nous avons trouvé tout à l'heure le logarithme de 5oooooo, lequel est aussi celui du rapport abstrait - par une raison pareille ; donc,
en le triplant, nous aurons le logarithme de q , lequel sera
Ajoutons ce dernier logarithme à celui de — , nous aurons le logarithme du produit — , lequel sera ainsi 23oa585o,g394977 ; ce sera le logarithme du nombre 1000000.
Si nous voulons celui de r , il est aussi celui de 2000000 ; il n'y a
qu'à retrancher de ce résultat le logarithme de , et il viendra le logarithme de -r égal à 16094379,1305557.
On peut aisément apprécier le degré de précision de ces résultats en les comparant à nos tables actuelles, d'après les relations assignées plus haut entre les logarithmes népériens et nos logarithmes hyperboliques. Mais il y a une de ces vérifications qui se présente d'elle-même ; car puisqu'on a généralement
^■(1)=-^^ " log.hyp.(^) = ^E^;
si l'on fait N = 1000000 = 106, comme A = 107, on aura
losr nép. 10* loghyp. 10 = -2-^7 = a,3o2585o939495770.
Or, d'après nos tables actuelles, on a
log hyp. 10= af3oa58 50939 940.
L'erreur de Napier n'est donc que d'une unité sur la g* décimale de ce logarithme.
Les logarithmes des rapports - ; — , trouvés tout à l'heure, servent
à Napier pour obtenir les logarithmes des nombres inférieurs à 5oooooo; car il est évident qu'en multipliant ces nombres par a, 5, ou 10; ou par une puissance quelconque de ces rapports, il peut les ramener dans sa table radicale et en déduire leurs logarithmes dans cet état. Après quoi, ajoutant au résultat les logarithmes des rapports employés pour les multiplier, il obtient les logarithmes qui conviennent à ces mômes nombres, dans leur état primitif.
L'application principale que Napier avait en vue en construisant sa table, c'était de donner les logarithmes des lignes trigonomé triques, dont les valeurs numériques étaient alors consignées dans des tables continuellement employées par les astronomes. Voilà pourquoi Napier appelle toujours les nombres naturels des sinus. Dans sa table, le nombre 10000000 représente le sinus de l'angle droit, et sa moitié 5oooooo, celui de 3o°. Sa table radicale ne descendant pas plus bas que ce dernier arc, il trouve les logarithmes des sinus qui conviennent aux arcs moindres en les ramenant dans sa table radicale par les artifices de multiplications indiqués ci-dessus, et il emploie aussi au même usage les relations trigonométriques qui peuvent abréger les calculs pour les diverses parties d'un même quadrans. Mais comme ces détails n'ont plus de rapport avec son invention originale, nous cesserons de nous en occuper.
Seulement pour achever de mettre en rapport ses idées avec les nôtres nous appliquerons à un système de logarithmes quelconque, le mode de génération qu'il a imaginé pour les siens. Concevons donc de nouveau deux droites BABj, ab, sur ces droites, deux mobiles M, m,
lesquels partent simultanément du repos en A et a avec des vitesses initiales données Aa et Aa, se meuvent tous deux dans le même sens sur leur droite, le premier M avec une vitesse géométriquement va-
35a histoire des mathématiques
riable, toujours proportionnelle à sa distance à un point fixe B, tel que AB = A, et le second m, avec vitesse constante toujours égale à sa vitesse initiale Ax. Supposons qu'après un temps fini quelconque, M soit arrivé en Mlf m en mL aux distances y et x de leurs points de départ respectifs. Partageons le temps t en un très grand nombre de parties très petites que nous prendrons pour unité, et concevons que les vitesses Aa et Aa soient exprimées pour cette unité4à. Alors, en substituant au mouvement continu géométrique, un mouvement intermittent, modiûé après chaque unité de temps écoulée précisément comme nous l'avons fait pour le cas particulier de Napier ; nous trouverons qu'après un nombre quelconque d'instants n, les positions simultanées des deux mobiles sont liées par les relations suivantes :
x = nAa, y = — A -+- A(i -+- a)n ; ici A -+- y est le nombre dont x est le logarithme ; de là on tire
ou en développant le second membre,
.VfaVx n.n — i/a\* x2 nn — i.n — 2 /«\3 x* 1
-r = ALW S + ~T5~ (i) ïi*X* + T33 U.) *X*'"\-
Ici, le nombre n des intermittences est quelconque ; en le faisant infini, x restant fini, nous passerons de la discontinuité à la continuité. Alors il restera
. [fa\ x , 1 /a\2 <r* 1 faV x3 1
La série comprise entre les parenthèses est égale à
— 1 -f-eUM,
e étant le nombre qui sert de base aux logarithmes hyperboliques ; on aura donc par cette contraction,
y = — A-+-AAaM, d'où A-h;y = AeWA,
A H- y est généralement le nombre dont x est le logarithme dans le système donné. Représentons pour abréger ce nombre par N, et nous aurons
N == AeUK
Dans le système adopté par Napier, les deux vitesses initiales ka et Aa sont égales, mais de signes opposés, puisqu'il fait décroître les nombres, quand les logarithmes augmentent. On a donc, par ces suppositions.
N=Ae A,
comme nous l'avions trouvé directement, page 336. Dans le système appelé hyperbolique, on suppose que chaque nombre N est donné par l'équation
x étant son logarithme dans ce système ; on a donc alors a = a, et en outre, A = i , c'est-à-dire que les vitesses initiales des deux progressions sont égales, comme dans le système de Napier, mais elles sont de même sens, au lieu qu'il les met en sens contraire ; et en outre, A == 1, tandis que Napier le fait égal à io7.
Dans notre système décimal de logarithmes, en les représentant par x, on a généralement.
N==(io)* = exlo&hyP- (,0>;
donc, pour assimiler ces logarithmes à ceux qui seraient engendrés par le mouvement, il faut prendre A = 1 , comme dans les logarithmes hyperboliques, et en outre faire
? = loghyp. 10,
c'est-à-dire que le rapport des deux vitesses initiales des deux progressions est précisément égal au logarithme hyperbolique de la base. Il est pareillement facile de voir que, pour ce cas, où les logarithmes croissent dans le même sens que les nombres, la marche arithmétique de Napier serait encore applicable, pourvu que la progression choisie
IOOOOOOl
fût ascendante. Par exemple, si sa raison était , en sorte que
1 OOOCXJOO
chaque terme se déduirait du précédent par simple addition, en lui ajoutant sa dix-millionième partie qui se prend à vue. Si Napier eut voulu, ou bien eût vécu assez, pour effectuer cette application de sa méthode avec des progressions convenablement choisies, il aurait pu obtenir nos tables actuelles ou des tables analogues, aussi exactement et plus aisément que par les bissections dont Briggs s'est servi pour les former.
R. B. — Tome I. a3
