TRAVAUX DE HUYGHENS

i . — Parmi les successeurs de Galilée on doit considérer Huyghens comme son égal à tous égards. Peut-être avait-il l'esprit moins philosophique, mais il compensait cette infériorité par son génie de géomètre. Non seulement Huyghens poussa plus loin les recherches commencées par Galilée, mais il résolut les premiers problèmes de la dynamique de plusieurs masses, alors que Galilée s'était toujours limité à la dynamique d'un seul corps.

jjbntre déjà dans son traité J| problèmes d^une impor-

11191^11 tés. Ce sont : la théorie ilSlMpstruction <le l'horloge à 749rSkymmSf

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loge à balancier de Huvghexis.

santés et pénibles. Pour ceptions sous une forme lies et caractéristiques.

3. — Nous commencerons par ses recherches sur la force centrifuge. Dos que Ton accepte cette conception de Galilée que la force détermine une accélération, on doit nécessairement attribuer à une force toute modification dans la vitesse et par conséquent aussi toute modification dans la direction d'un mouvement — car cette direction est déterminée par trois composantes de la vitesse perpendiculaires entre elles. Par conséquent le phénomène d'un corps, par exemple une pierre attachée à une corde, animé d'un mouvement circulaire uniforme, n'est concevable que dans l'hypothèse d'une force continue qui le fait dévier de son chemin recliligne.

Cette force est la tension de la corde qui, à chaque instant, attire le corps vers le centre du cercle, hors de la ligne droUe et qui représente donc une force centripète. D'un autre côté, elle agit aussi sur l'axe ou le centre fixe du cercle et, envisagée ainsi, elle constitue une force centrifuge.

Fig. /19. Fig. 5o.

Considérons un corps auquel on a donné une vitesse quelconque et que Ton force à se mouvoir d'un mouvement uniforme sur une circonférence, par une accélération constamment dirigée vers le centre, et proposons-nous de rechercher les circonstances dont dépend cette accélération. Soient (fig. 49) deux circonférences égales sur lesquelles se meuvent uniformément deux corps, l'un avec une vitesse simple sur la circonférence I, l'autre avec une vitesse double sur la circonférence II. Considérons dans ces deux cercles le même angle très petit at et son arc élémentaire ; soit s le chemin élémentaire correspondant dont le corps s'est éloigné du chemin rectiligne (suivant la tangente) sous l'influence de l'accélération centripète ; ce chemin est le même dans les

deux cas. Soient o, et s2 les accélérations respectives ; x et — sont les

éléments de temps correspondants à l'angle a ; la loi de Galilée donne :

as , as

TRAVAUX DE HUYGHEHS

d'où :

?sr=4ft.

Par une généralisation fort simple on voit que dans des cercles égaux les accélérations centripètes sont entre elles comme les carrés des vitesses.

Etudions maintenant le mouvement sur les circonférences I et II de la figure 5o, dont les rayons sont dans le rapport de i à a ; prenons des vitesses qui soient dans le même rapport, de telle sorte que des éléments semblables d'arc soient décrits dans des temps égaux. Soient <pt, <ps, s et as les accélérations et les chemins élémentaires, x le temps qui a la même valeur dans les deux cas ; on a :

d'où

Tt = * ?i-

Si maintenant l'on réduit de moitié la vitesse sur la circonférence II, de telle sorte que les deux mouvements aient la môme vitesse; <p2

»era réduit au quart c'est-à-dire à - <pt. En généralisant on voit que

pour des vitesses égales les accélérations sont en raison inverse des rayons des circonférences.

4. — Les méthodes suivies par les chercheurs anciens les conduisirent presque toujours à trouver leurs théorèmes sous la forme pénible de proportions. Nous choisirons donc une autre voie. Sur un mobile animé d'une vitesse v, faisons agir pendant un élément de temps i une force qui lui donne l'accélération tp perpendiculaire à la direction de son mouvement. Cette force fait naitre une vitesse nouvelle ot, qui, composée avec la vitesse primitive, donne la nouvelle direction du mouvement; soit a l'angle de celle-ci avec l'ancienne; supposons enfin que la trajectoire soit un cercle de rayon r, on trouve :

car on peut remplacer la tangente par l'angle, qui est supposé très petit. On a donc :

qui est l'expression complète de l'accélération centripète dans un mouvement circulaire uniforme.

U. B. — Tome I. aô

Cette conception du mouvement circulaire uniforme produit par une accélération centripète constante a une apparence paradoxale.

Le paradoxe consiste dans l'accepta ti on du fait qu'une accélération centripète continue existe sans qu'il s'ensuive de rapprochement réel du centre ou d'accroissement de vitesse. Mais cette impression disparait si l'on réfléchit que, sans cette accélération centripète, le mobile s'éloignerait indéfiniment du centre, que la direction de l'accélération varie à chaque instant et qu'une variation de vitesse, inexistante dans le cas

' Fig. 5i.

présent, entraîne (comme on le verra dans la discussion du principe des forces vives) un rapprochement des corps qui se donnent mutuellement les accélérations. L'exemple plus compliqué du mouvement elliptique s'explique d'une manière analogue.

5. — On peut mettre sous une autre forme l'expression de l'accélération centripète ou centrifuge o = — . Appelons T la durée d'une révolution du mobile. On a :

t>T = arr,

Nous nous servirons plus tard de cette expression. Si plusieurs corps sont animés de mouvements circulaires uniformes tels que les durées des révolutions soient égales, les accélérations centripètes qui les retiennent sur leurs circonférences respectives sont proportionnelles aux rayons ; cela résulte évidemment de la formule que nous venons d'établir.

A propos de l'accélération centrifuge, disons aussi un mot des démonstrations qui reposent sur le principe de Thodogra plie de Ha mil ton. Considérons un mobile parcourant uniformément le cercle de rayon r (fig. 5 a b) : la tension du fil transforme la vitesse vau point A en [une vitesse égale, mais d'une autre direction, au point B. Portons à partir d'une même origine 0 les vitesses successives du mobile en grandeur et directions (fig. 5a c) ; le lieu de leurs extrémités est une circonfé-

TRAVAUX DE HUYGHEKS 387

Tcnce de rayon v. En même temps que OM se transforme en ON, il s'introduit une composante MN perpendiculaire à la première. Pendant la durée T d une révolution du mobile, la vitesse croît uniformément de la quantité 2x1; suivant la direction du rayon r.

La valeur de l'accélération centrale est donc © = -^ ou ï = ~

puisque vT = air.

Si l'on ajoute à OM = v la petite composante w (fig. 5a d), la vi-

Fig. ôj b.

Fig. 02 d.

tesse résultante sera ^v* -f-ti/^H approximativement ; mais, à

cause de la rotation continue du ravon, le terme — disparaît devant v

et l'on voit que seule la direction de la vitesse change, sa grandeur restant invariable.

0. — Les phénomènes tels que la rupture de fils trop peu résistants a l'aide desquels on imprime à des corps un mouvement de rotation trop rapide, ou l'aplatissement de sphères molles animées de mouvements deTotation sont bien connus et s'expliquent par les considérations précédentes. C'est ainsi qu'Huyghens put donner, à l'aide de cette notion nouvelle, l'explication immédiate de toute une catégorie de phénomènes. Ainsi, par exemple, une horloge à balancier ayant été transportée de Paris à Cayenne par Richer (i 671- 1673), il se trouva qu'elle retardait. Huyghens observant que la force centrifuge duc à la rotation de la terre est maximum à l'équateur, en déduisit la diminution apparente de l'accélération g due à la pesanteur et donna ainsi l'explication immédiate du retard,

Parmi les expériences qu'Huyghens fit dans cet ordre d'idées, nous en citerons encore une, à cause de son intérêt historique. Lorsque Newton développa sa théorie de la gravitation universelle, Huyghens fut du

grand nombre de ceux qui ne purent pas admettre l'idée de l'action à distance. II croyait pouvoir au contraire expliquer la gravitation par le mouvement très rapide de particules d'un milieu intermédiaire. Il enferma dans un corps plein d'eau quelques corps légers, tels que de petites sphère de bois, et fit alors tourner le vase autour d'un axe ; il observa qu'aussitôt les sphères de bois se rapprochaient de celui-ci. Si l'on fait par exemple tourner autour d'un axe horizontal les tubes cylindriques de verre RR> fixés sur le pivot Z, et contenant les sphères de bois KK, celles-ci s'éloignent de Taxe dès que l'appareil est mis en mouvement. Lorsqu'on remplit d'eau les tubes, les sphères plus légères se placent aux extrémités supérieures EE et l'on voit qu'une rotation imprimée à l'appareil les rapproche de l'axe. L'explication de ce phénomème est la même que celle du principe d'Archimède : les sphères reçoivent une poussée centripète égale et directement opposée à la force centrifuge qui agirait sur le liquide dont elles tiennent la place.

Descartes pensait déjà à cette explication de la poussée centripète des corps flottants dans un] milieu tourbillonnaire. Mais Huyghens remarqua avec raison que l'on doit alors accepter que les corps les plus légers reçoivent la plus forte poussée centripète et que, par conséquent, tous les corps pesants devraient être plus légers que le milieu tourbillonnaire.

J 11 remarqua en outre que des phé-

i nomènes analogues doivent se pro-

A duire avec des corps quelconques qui

Pi-# 53# ne participent pas au mouvement

du tourbillon, et qui se trouvent ainsi, sans force centrifuge, dans un milieu animé de forces centrifuges. Par exemple, une sphère de matière quelconque et mobile seulement autour d'un rayon fixe (fil de fer), sera, dans le milieu tourbillonnaire, poussée contre l'axe de rotation.

Huyghens immergea dans un vase fermé rempli d'eau des morceaux de cire à cacheter qui, à cause de leur densité un peu plus grande, se déposent sur le fond du vase. Celui-ci étant ensuite animé* d'un mouvement de rotation, les morceaux de cire à cacheter vont se placer au bord extérieur. Si l'on fait cesser brusquement la rotation l'eau continue à tourner tandis que les morceaux de cire, qui reposent sur le fond et dont le mouvement est par suite plus vite contrarié, sont maintenant poussés sur l'axe. Huyghens voit dans ce phénomène une image de la pesanteur. L'acceptation d'un éther tourbillonnant dans un sens ne lui parait correspondre à aucune nécessité ; il est d'avis que cet ether

TRAVAUX DE HUYGHENS 38û

aurait tout entraîné avec lui. Il fait donc l'hypothèse de particules d'éther se mouvant rapidement dans tous les sens, et est d'avis que, dans un espace fermé, ce phénomène entraînera un mouvement circulaire prépondérant qui s'établira de lui-même. Cet éther lui semble suffisant pour l'explication de la gravité. L'exposition détaillée de cette théorie cinétique de la pesanteur, se trouve dans le traité d'Huyghens. « Sur les causes de la pesanteur » (') ; cf. aussi Lasswitz « Geschichte der atomistik v 1890 vol. II, p. 344.

7. — Avant de parler des recherches d'HuygheYis sur le centre d'oscillation, nous présenterons au sujet du mouvement pendulaire et oscillatoire en général, quelques considérations très élémentaires et par conséquent très claires, malgré leur manque de rigueur.

Galilée déjà connaissait plusieurs propriétés du mouvement du pendule. De nombreuses allusions disséminées dans ses dialogues prouvent qu'il possédait déjà les idées que nous allons exposer, ou qu'il était sur le point de les acquérir. Le corps pesant suspendu au fil du pendule se rneut sur une circonférence dont le rayon est la longueur / de ce fil (fig. 54). Donnons-lui un déplacement très petit : il oscillera en décrivant un arc très petit, sensiblement conpondu avec sa corde GB, qui est parcourue dans le même temps que le diamètre vertical BD = al. Soit t la durée de la chute ; on a :

' 2I = 2i\ d'où t = 2\/l. a y (j

Mais comme le mouvement au-delà de B, sur l'arc BC, prend le même temps que le mouvement sur CB, on obtient pour la durée MT d'une oscillation de G en G'.

Malgré que cette explication soit grossière on voit qu'elle fait apparaître la forme réelle de la loi du pendule : on sait, en effet, que la formule exacte de la durée des oscillations très petites est

(*) Discours sur les causes de la pesanteur, à la fin du Traité de la lumière, Leyde, 1690.

3go

Le mouvement du pendule peut être considéré comme une chute sur une succession des plans inclinés. Soit at l'angle du fil avec la verticale ; le pendule reçoit l'accélération g sin a vers la position d'équilibre. Pour de petites valeurs de a, cette accélération peut s'écrire 9. a ; elle est donc toujours proportionnelle à l'élongation et dirigée en sens contraire. Pour de petites élongations on peut aussi négliger la courbure du chemin.

8. — Ces préliminaires permettent de représenter par le schéma élémentaire suivant la notion fondamentale du mouvement oscillatoire. Un corps est mobile sur une droite OA (fig. 55) et est constamment

animé d'une accélération dirigée vers le point 0 et proportionnelle à sa distance à ce point.

Nous représenterons en chaque point cette accélération par une ordonnée normale à la droite du mouvement et portée au dessus ou au-dessous, suivant que l'accélération est dirigée vers la gauche ou vers la droite. Le corps, abandonné au point A, se mouvra vers 0 d'un mouve-

Fig. 55.

ment uniformément accéléré, puis de 0 vers le point À, tel que OÀ* = OA, puis il reviendra de At vers Ot etc. On reconnaît d'abord aisément l'indépendance de la durée d'oscillation ^ durée du mouvement AOA,) et de son amplitude (longueur OA). Considérons à cet effet en I et 11, deux oscillations semblables d'amplitudes 1 et 2. L'accélération étant variable d'un point à l'autre, partageons les longueurs OA et O'A' = 2OA en un très grand nombre de parties élémentaires^ chaque élément ÀB' de O'A' étant double de l'élément correspondant AB de OA.

Les accélérations initiales o et o' se trouvent dans le rapport <p' = 2 o. Les éléments AB et A'B' = 2 AB seront donc parcourus par les accélérations respectives o et 2 9 dans le même temps t et les vitesses dès deux corps I et II, à la fin du premier élément de chemin, seront

v = ©•: et vl = 2 qt.

d'où

Les accélérations et les vitesses initiales se retrouvent dans le rapport I : 2 aux points B et B'. Les chemins infinitésimaux correspondants suivants seront parcourus dans le même temps et cette égalité des temps de parcours subsiste pour tous les couples consécutifs de chemins élé-

TRAVAUX DE HUYGHENS 3g I

mcntaires. Une généralisation immédiate montre que la durée de l'oscillation est indépendante de l'amplitude.

Considérons maintenant (fig. 56, I et II) deux mouvements oscillatoires de même amplitude mais tels que, dans l'oscillation II, le même écartement du point 0 produise une accélération quatre fois plus grande que dans le mouvement I. Partageons de même les deux amplitudes OA et O'A' =. OA en un très grand nombre de parties égales ; les parties de 1 sont donc égales à celles de II. Des accélérations initiales en A et A' sont © et 4 <? ; les chemins élémentaires sont AB = A'B' = s et, en appelant t et zf les durées respectives de parcours, on voit que :

= Vv

<'=Vf:=

L'élément A'B' est donc parcouru en un temps égal à la moitié de celui du parcours de l'élément AB. Les vitesses finales v et v1 en B et B' sont :

v = <pt, 1/ sss 4© - = a».

Les vitesses initiales en B et B' étant dans le rapport de i à a et les accélérations dans le rapport de i à 4, on voit que l'élément de chemin suivant en I sera parcouru dans un temps double de celui du parcours de l'élément correspondant en IL En généralisant on voit que, pour des amplitudes égales, les durées des oscillations sont inversement proportionnelles aux racines carrées des accélérations.

0. — Ces considérations peuvent être abrégées et rendues beaucoup plus claires par un mode de représentation employé pour la première fois par Newton. Newton appelle systèmes matériel» semblables des systèmes matériels dont les figures géométriques sont semblables et dont les masses homologues sont entre elles dans le même rapport de similitude. Il dit en outre que ces systèmes sont animés de mouvements semblables lorsque les points homologués décrivent des chemins semblables dans des temps proportionnels. Dans la terminologie géométrique actuelle, ces systèmes mécaniques, qui ont 5 dimensions, ne sont dits semblables que lorsque les dimensions linéaires, les temps et les masses sont dans le même rapport. lia seraient donc plus correctement appelés afjins l'un à l'autre.

Nous conserverons cette dénomination bien appropriée de systèmes semblables, et, dans les considérations qui suivent, nous ferons abstraction des masses. Soient donc, dans deux mouvements sembla-

bles, s et as les chemins homologues, i et $t les temps homologues ; on aura :

s as

pour les vitesses homologues : v = - P ^v = * ;

pour les accélérations homologues : <p = -^ , ey = ^ -^ <

On reconnaît maintenant sans peine que les oscillations d'amplitudes i et a, décrites par un corps dans les conditions posées plus haut sont des mouvements semblables. Dès lors en remarquant que le rapport des accélérations homologues est s = a, on trouve

d'où, pour le rapport des temps homologues, et par suite aussi pour celui des durées d'oscillations :

Il en résulte donc que les durées d'oscillations sont indépendantes des amplitudes.

Si deux oscillations ont leurs amplitudes dans le rapport i : a et leurs accélérations dans le rapport i : «n» on trouve ;

. = .,. = £ et P = ^'

ce qui démontre à nouveau la seconde loi du mouvement oscillatoire.

Deux mouvements circulaires uniformes sont toujours semblables ;

appelons - le rapport des rayons et - celui des vitesses ; le rapport des a y

accélérations sera :

d'où, puisque y = g ;

formule qui donne les lois de l'accélération centripète.

Il est regrettable que ces questions sur l'affinité mécanique et phoronomique soient si peu étudiées, car elles promettent le plus bel et le plus lumineux élargissement de nos conceptions.

TRAVAUX DE HUYGHENS 3g3

10. — Entre le mouvement circulaire uniforme et les mouvements oscillatoires que nous avons étudiés existe une relation importante. Rapportons le mouvement circulaire à deux axes coordonnés rectangulaires, l'origine étant au centre de la circonférence, et décomposons suivant les directions X et Y l'accélération centripète o qui est la condition de ce mouvement. Remarquons que la projection du mouvement sur les X ne dépend que de la composante X de l'accélération. Nous pouvons considérer les deux mouvements et les deux accélérations comme indépendants l'un de l'autre.

Les deux mouvements composants sont des mouvements oscillatoires autour du centre. L'écartement x correspond à une

accélération f. - ou -. x dirigée vers le

point o. L'accélération est donc proportionnelle à l'écartement et le mouvement est par conséquent identique au mouvement oscillatoire dont nous venons de parler. La durée ï d'une oscillation complète, comprenant le mouvement d'aller et celui de retour, est égale à la durée de la révolution du mobile. Mais nous savons*que :

-fr

nous avons donc

Or -*• est l'accélération pour x = 1 ; en appelant/ la valeur qu'elle possède pour un écartement égal à l'unité de longueur, il vient

et, en désignant comme d'habitude par T la durée d'une oscillation simple, formée d'un aller ou d'un retour, nous aurons :

T-Vf

11. — Ce résultat peut être immédiatement appliqué aux oscillations pendulaires d'amplitude très petite, pour lesquelles on pourrait répéter les raisonnements qui précèdent, parce que la courbure est négligeable. En appelant a l'angle du fil avec la verticale, la masse du

• -> f^AiSMi MATHÉMATIQUES

.-«w.^ ^ d'équilibre de la longueur /a et

Il s'ensuit que :

couver par l'expérience la relation

On em-

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Fig. 59.

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