CHAPITRE II. t'ÉCOLE PYTHAGORICIENNE

était un symbole sacré et les initiés faisaient ce serment val fii xôv âpsTsp? 4^X? itapaoovia xexpaxTÙv iz&yav àevvâou ïïujew;... (*).

Les Pythagoriciens commencèrent par diviser les sujets mathématiques dont ils s'occupaient en quatre sections : les nombres absolus ou l'arithmétique ; les nombres appliqués ou la musique ; les grandeurs à l'état de repos ou la géométrie, les grandeurs on mouvement ou l'astronomie.

Pendant longtemps ce « quadrivium » fut considéré comme constituant un cours d'étude nécessaire et suffisant pour une instruction libérale. Même dans le cas de la géométrie et de l'arithmétique (qui sont cependant basée.) sur des conclusions déduites d'une façon inconsciente et par tous les hommes) l'exposition faite par les Pythagoriciens était mélangée de philosophie, et il est hors de doute que leur enseignement des sciences astronomique, mécanique et musicale (qui incontestablement peuvent reposer uniquement sur les résultats d'observations consciencieuses et d'expériences) était entremêlé encore plus étroitement d'une métaphysique obscure. Nous ne nous occuperons pas plus longtemps des idées philosophiques de Pythagore, auxquelles nous n'aurions même pas fait allusion, si la tradition pythagoricienne de l'existence d'un lien entre la philosophie et les mathématiques, n'expliquait la malheureuse tendance des Grecs à fonder l'étude de la nature sur des conjectures philosophiques el non sur des observations expérimentales. Quant aux recherches pythagoriciennes sur les parties du « Quadrivium » concernant les applications nous savons peu de chose et nous nous limiterons ici à l'examen de leur enseignement géométrique et arithmétique.

En premier lieu, en ce qui concerne la géométrie, nous ne pouvons bien entendu reproduire l'ensemble de l'enseignement pythagoricien, mais il résulte des notes de Proclus sur Euclide et de quelques remarques éparses dans d'autres ouvrages qu'il possédait les propositions suivantes dont beaucoup ont rapport à la géométrie des aires.

i° Il débutait par un certain nombre de définitions qui, probablement, étaient plutôt un exposé reliant les idées mathématiques avec $a philosophie, qu'une explication des termes employés. On

(') Ouï, je le jure! par celui qui a donné à notre âme le tetractys, la source ou racine de l'éternelle nature.

HI6TOIRE DBS MATHEMATIQUES

a conservé celle du point qu'il présente comme une unité ayant une position.

2° Il démontrait que la somme des angles d'un triangle vaut deux angles droits (Eue. I, 3a), et dans sa démonstration» qui nous est parvenue, il est fait mention des résultats de la proposition i3. du livre I, d'Euclide et de la première partie de la proposition 29 du même livre. La démonstration est en substance la môme que celle qu'on lit dans Euclide et il est très vraisemblable que les démonstrations présentées par Euclide des deux dernières propositions que nous venons de mentionner sont également ducs à Pythagore.

3° Pythagore a certainement démontré les propriétés des triangles rectangles faisant l'objet des propositions 47 et 48 du livre I d'Euclide. On sait que les démonstrations de ces propositions données dans les éléments d'Euclide sont ducs réellement à ce grand géomètre et on a fait bien des tentatives pour essayer de reconstituer

la démonstration du premier de ces théorèmes telle qu'elle a été présentée originairement par Pythagore. Elle peut fort probablement avoir été l'une des deux suivantes (l).

a) Tout carré ABCD peut être décomposé comme dans la proposition 4 du livre II d'Euclide, en deux carrés BK et DK et en deux rectangles égaux AK et CK.

Ceci revient & dire que le carré ABCD est équivalent aux carrés construits sur FK et sur EK et à quatre fois le triangle AEF. Mais si Ton prend sur les côtés BC, CD et DA les points G, II, E tels que Ton ait :