BC AC AG~DG

De ces deux proportions on déduit :

ABa + ACa = BC. BD + BG. DC = BG (BD 4- DC) = BU8.

Cette démonstration exige la connaissance des propositions II, 2 ; VI, 4 et VI, 17 d'Euclide, que Pythagore possédait.

4° On attribue également à Pythagore* la découverte des théorèmes 44 et 45 du livre I des Eléments d'Euclide, et il aurait donné, dit-on, une solution du problème i4 du livre II des mômes éléments. On raconte qu'en trouvant la construction nécessaire pour arriver à la solution de cette dernière question, il fit aux Dieux le sacrifice d'un bœuf, mais comme l'Ecole avait tout on commun, la libéralité n'est pas aussi grande qu'on pourrait le croire à priori. Les Pythagoriciens d'une époque plus moderne avaient connaissance de l'extension donnée dans Euclide à la prosition 25 du livre VI, et Allman pense que Pythagore lui-même ne l'ignorait pas, mais ceci doit être regardé comme douteux. Il faut remarquer que la proposition i4 du livre n d'Euclide fournit une solution géométrique de l'équation

x* = ab.

5° Pythagore montra que sur un plan la surface autour d'un

point pouvait être couverte par des triangles équilatéraux, des carrés ou des hexagones réguliers. Observations qui ont dû être faites partout où il était d'usage d'employer des carreaux de cette forme.

6° Les Pythagoriciens auraient également trouvé, dit-on, la quadrature du cercle qui était pour eux la plus parfaite de toutes les figures planes.

7° Ils connaissaient l'existence de cinq corps solides réguliers inscriptibles dans la sphère qu'ils considéraient comme le plus beau de tous les solides.

8° Il semblerait d'après leur phraséologie dans la science des nombres et d'après quelques autres remarques faites occasionnellement qu'ils étaient familiers avec les méthodes employées dans les 2e et 5° livres des Eléments d'Euclide et qu'ils avaient la notion des grandeurs irrationnelles. On a, en particulier, des raisons de croire que Pythagore démontra l'incommensurabilité du côté du carré avec sa diagonale et que ce fut cette découverte qui conduisit les Grecs à exclure de hur géométrie les conceptions du nombre et de la mesure. Nous y revindrons un peu plus loin.

Passons en second lieu à la théorie des nombres (*).

Nous avons déjà fait remarquer à ce sujet que les Pythagoriciens s'étaient principalement occupés : i° des nombres polygonaux ; 2° des facteurs des nombres ; 3° des nombres en proportion, et 4° des séries numériques.

Pythagore commence par diviser les nombres en pairs et impairs ; ces derniers étant appelés gnomons. Un nombre impair tel que 2/1 -t- i était regardé comme la différence de deux carrés (n -f- i)* et a2 ; et il montre que la somme des gnomons de i à 2/i -+- i est égale à un nombre carré, à(n+ i)2, dont il appelle la racine carrée un côté. Le produit de deux nombres était un plan, et si le produit n'avait pas une racine carrée exacte on l'appelait un oblong. Le produit de trois nombres était connu sous le nom de solide ou de cube dans le cas d'égalité des trois nombres.

Toutes ces dénominations ont des rapports évidents avec la

(i) Voir l'appendice à La Science Hellène de P. Tanker y. Paris 1897. Sur VA rithmétique pythagoricienne.