CHAPITRE II

l'école pythagoricienne

géométrie, et une remarque d'Aristote confirme cette opinion que lorsqu'on dispose un gnomon autour d'un carré, la figure reste un carré bien que ses dimensions soient augmentées. Ainsi, dans la figure ci-contre, dans laquelle n = 5, le gnomon AKG (contenant 1 1 petits carrés) placé autour du carré AC (qui en contient 5*) forme un nouveau carré HL (contenant 62 petits carrés). Il est possible que plusieurs des théorèmes numériques dus aux écrivains grecs aient été découverts et prouvés par une méthode semblable : l'abaque peut être utilisé pour beaucoup de ces démonstrations.

Les nombres (2 n% -h 2 n -+- 1), (2 /i2 -+- 2 n) et (2 n -H 1) jouissaient dY.ne importance spéciale comme représentant l'hypolhcnnse et les deux côté» de l'angle u K

droit d'un triangle rectangle : Gantor pense que Pythagore connaissait cette propriété avant la découverte de la proposition 47 du livre I d'Euclide. Les expressions

Fig. 4.

(m2 -+- n2), 2 mn et (m2 — n2)

sont plus générales et on remarquera qu'on peut en déduire les résultats obtenus par Pythagore en faisant m = n -+- 1 . A une époque plus récente Archytas et Platon donnèrent dans le même but des règles qui reviennent à faire n = 1 .

Diophante connaissait les expressions générales.

Après avoir posé ces préliminaires, les Pythagoriciens s'occupèrent des quatre problèmes spéciaux auxquels nous avons déjà fait allusion. Pythagore lui-même était familiarisé avec les nombres triangulaires ; les nombres polygonaux d'un ordre plus élevé furent étudiés postérieurement par les membres de l'Ecole.

Un nombre triangulaire représente le nombre total des jetons disposés par rangées sur un plan, la dernière ligne en contenant n et les rangées successives en remontant jusqu'à la première, un de moins que la précédente ; un pareil nombre est dès lors égal à la somme des termes de la série

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