CHAPITRE XVI. LA. VIE ET LES TRA.V.UJX o'iSAAC NEWTON

•de boucles isolées, etc., est étudiée. Le résultat final est qu'une cubique peut prendre en tout 78 formes possibles. Newton en •énumère seulement 72 ; parmi les six restantes, quatre furent mentionnées par Stirling en 17 17, une autre par Nicole en 173 1, et la •dernière par Nicolas Bernoulli, à peu près à la même époque. Dans le corps de l'ouvrage, Newton énonce ce remarquable théorème -que : de même que l'ombre d'un cercle projetée par un point lumineux sur un plan donne naissance à toutes les coniques, de même les ombres des courbes représentées par l'équation

y2 = ax1 -f- bx* -\- ex -\- d

•donnent naissance à toutes les cubiques. Cette proposition resta comme une énigme insoluble jusqu'en 1781 ; à cette date Nicole i' I et Glairant en donnèrent des démonstrations. Une meilleure fut présentée par Murdoch en 17/10, elle dépend de la classification de ces courbes en cinq espèces, suivant que leurs points d'intersection avec Taxe des x sont réels et distincts, réels deux d'entre eux étant confondus (deux cas), réels, et tous confondus ou deux imaginaires •et un réel.

Dans cet opuscule Newton parle aussi des points doubles à distance finie et infinie, il donne la description des courbes remplissant certaines conditions spécifiées, et la solution graphique de .problèmes par l'emploi des courbes.

Le second appendice à YOptics est intitulé : De Quadralura Curuarum. Beaucoup des résultats qu'on y trouve avaient été communiqués à Barrow en 1668 ou i665 et probablement étaient connus des élèves et amis de Newton bien avant cette date. Il comprend deux parties.

La première dans son ensemble est un exposé de la méthode •qu'employa Newton pour effectuer la quadrature et la rectification des courbes par le moyen des séries infinies : il faut noter qu'on trouve là le plus ancien emploi en imprimerie d'indices littéraux et aussi la première exposition imprimée du théorème du binôme ; mais ces nouveautés ne sont introduites que d'une façon incidente. Le principal objet est de donner des règles pour le développement •d'une fonction de a; en une série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de x, de façon à permettre aux mathématicien» •d'effectuer la quadrature de toute courbe dans laquelle l'ordonnée

y peut-être exprimée comme une fonction algébrique explicite de l'abscisse x. Wallis avait montré comment on pouvait arriver & cette quadrature lorsque y était donné par une somme d'un certain nombre de multiples de puissances de x ; les règles formulées par Newton rendent cette méthode applicable à toute courbe dont l'ordonnée peut être exprimée par la somme d'un nombre infini de pareils termes. Il effectue de cette manière la quadrature des courbes :

naturellement les résultats sont exprimés en séries infinies. Il passe ensuite aux courbes dont l'ordonnée est une fonction implicite de l'abscisse, et il donne une méthode pour exprimer sous forme d'une série infinie procédant suivant les puissances croissantes dex ; mais l'application de la règle à une courbe quelconque exige, en général, des calculs numériques d'une telle complication qu'elle perd ici beaucoup de sa valeur. Il termine cette partie de son ouvrage en montrant que la rectification d'une courbe peut être effectuée d'une manière à peu près semblable. Son procédé est

équivalent à celui qui consiste à trouver l'intégrale par rapport

à x de (i -+- y'*) â sous la forme d'une série infinie. Nous devons

ajouter que Newton fait ressortir combien il importe de déterminer si une série est convergente — observation bien avancée pour son temps — mais iln'avaitpour cela aucun critérium, et en fait, ce ne fut que lorsque Gauss et Cauchy eurent entrepris l'examen de cette question, que la nécessité d'une telle restriction fut communément reconnue.

La partie de l'appendice que nous venons de décrire est pratiquement la même que dans le manuscrit de Newton : De Analysi per Equationes numéro Terminorum infinitas, qui fut imprimé en 171 1. Cet ouvrage aurait été, dit-on, composé en principe pour servir de complément à l'algèbre de Kinckhuysen, qu'il eut un moment le dessein de traduire, ainsi que nous l'avons déjà dit. Il fut communiqué en substance à Barrow, et par ce dernier à Collins, dans des lettres du 3i juillet et du 12 août 1669; un résumé d'une partie de ce travail futinséré dans la lettre du 24 octobre 1676 adressée à Leibnitz.