CHAPITRE XVI. LA VIE ET LES TRAVAUX D ISAAC NEWTON 2Q

Cet ouvrage devrait être lu parallèlement avec le suivant : Mctkodus Differentialis, qu'il publia aussi en 1 71 1 .Quelques théorèmes additionnels sont présentés dans ce dernier, et Newton y discute sa méthode d'interpolation qui avait été brièvement décrite dans la lettre du i!\ octobre 1676. En voici le principe : y = s> (x) étant une fonction de x, si l'on connaît les valeurs 6if 62, 63,.,. de y qui correspondent à des valeurs arbitraires ah a2, aâ>... de x, i° on peut faire passer par les points (a,, 6,) (aa, 63),... une parabole

y =p -t-qx -h rx* -+- ... ;

2° l 'ordonnée de cette courbe sera une valeur approchée de l'ordonnée de la courbe primitive. Si n est le nombre des points (a, b), le degré de la parabole sera, bien entendu, n — 1. Newton fait observer que cette méthode permet l'évaluation approchée de l'aire d'une courbe quelconque.

La seconde partie de cet appendice à YOptics contient un exposé de la méthode des fluxions. 11 est bon, pour le comprendre, de lire en même temps un résumé qu'en fit Newton et que publia Jean Colson en 1736.

Le calcul des fluxions elle calcul infinitésimal, tel que nous le connaissons, sont identiques à part les notations.

Newton admettait que toutes les grandeurs géométriques peuvent être considérées comme engendrées par le mouvement continu : ainsi une ligne peut être envisagée comme engendrée par le mouvement d'un point, une surface par celui d'une ligne, un solide par celui d'une surface, un angle plan par la rotation d'une ligne, et ainsi de suite. Il définissait la quantité ainsi engendrée « la fluente» ou « la quantité fluente ». La vitesse de la grandeur en mouvement était définie comme « la fluxion de la fluente». 11 semble que Ton trouve là, pour la première fois, ridée de fonction continue, bien qu'on en puisse reconnaître des traces dans quelques-uns des mémoires de Napier (ou Néper).

Newton aborde le sujet comme il suit. Il y a deux sortes de problèmes ; l'objet du premier est de trouver la fluxion d'une quantité donnée, ou plus généralement « la relation des fluentes étant donnée » il s'agit de trouver « la relation qui lie leurs fluxions. »

Ceci est équivalent à la difTérentiation. L'objet du second, ou méthode inverse des fluxions, est de déterminer la fluente en par-

3o HISTOIRE DBS MATHÉMATIQUES

tant de la fluxion on de quelque relation la comprenant, ou plus généralement « étant donnée une équation montrant la relation des fluxions de certaines quantités, trouver les relations liant entre elles ces quantités ou les fluentes » (*) Le problème revient à l'intégration, que Newton appelait quadrature, ou à la solution d'une équation différentielle, qui pour lui était la méthode inverse des tangentes. Les méthodes propres à résoudre ces questions sont exposées avec beaucoup de détails.

Newton chercha ensuite à appliquer ses résultats à des questions im* (<**• : concernant les maxima et mini ma des auafiTités, au tracé des tan- ' ' gentes et à la courbure des courbes (à savoir la détermination des

centres de courbure, du rayon de courbure, et du rapport suivant lequel croit le rayon de courbure). Il envisagea de plus la quadrature et la rectification des courbes (*). En cherchant le maximum et le minimum des fonctions à une variable, nous regardons le changement de signe de la différence de deux valeurs consécutives de la fonction comme le vrai critérium de la valeur de la variable qui rend la fonction maxima ou minima : mais l'argument de Newton est que lorsqu'une quantité croissante a atteint son maximum, elle ne peut avoir aucun autre accroissement, ou lorsqu'une quantité décroissante a atteint son minimum, elle ne peut avoir aucun décroissement ultérieur ; en conséquence la fluxion doit être nulle.

On a fait cette remarque que, ni Newton, ni Leïbnitz, n'ont -présenté leurs calculs en corps de doctrine, c'est-à-dire sous forme d'un ensemble de règles logiquement ordonnées, et que les problèmes discutés par eux sont traités en partant des premiers principes. C'est sans doute Tordre usuel dans l'histoire de semblablesdécouvertes, bien que le fait soit fréquemment oublié par les historiens. Dans le cas qui nous occupe, cette observation en ce qui concerne l'exposé fait par Newton du calcul différentiel ou de la partie relative aux fluxions est inexacte, ce qui précède le montre suffisamment.

Représentant une quantité fluente ou une fluente par x, Newton désignait sa fluxion par x, la fluxion de x ou seconde fluxion de ar par x et ainsi de suite, semblablement la fluente de x était repré-

(*) Manuscrit do Newton, édition Colson, pp. 2ir a a. 0 Manuscrit de Newton, pp. 22, 23.