CHAPITRE XVII. LEIBNITZ ET LES BEMfOULLI

Oit n'avait au début aucune raison de douter de la bonne foi de Leibnitz, mais lors de la publication, en 1704» sans nom d'auteur, d'une analyse du traité de Newton sur les quadratures, dans laquelle on laissait supposer que ce savant avait emprunté à Leibnitz l'idée du calcul des fluxions, tout mathématicien soucieux de la vérité (') put se demander si Leibnitz avait réellement inventé le nouveau calcul. Il est admis par tout le monde que les faits avancés dans l'analyse en question, attribuée avec vraisemblance h Leibnitz, ne sont appuyés d'aucune justification. Mais la discussion qui suivit eut pour conséquence de provoquer un examen approfondi et critique de la question, et on en vint alors à se demander si Leibnitz n'avait pas emprunté h Newton l'idée du calcul. Les faits militant contre Leibnitz, furent exposés tels que les voyaient les amis de Newton dans le Commercium Epistolicum publié en 1712; des références détaillées sur tous les points visés y étaient adjointes.

Les amis de Leibnitz ne firent paraître, en sa faveur, aucun exposé semblable (avec faits, dates et références) ; mais Jean Bernoulli chercha, d'une façon indirecte, à affaiblir la force des témoignages des amis de Newton, en attaquant la réputation de celui-ci dans une lettre datée du 7 juin 1713. Les accusations portées étaient fausses et Bernoulli mis en demeure d'avoir à en fournir une justification, renia solennellement la paternité de la lettre. En acceptant cette dénégation, Newton ajoute dans une lettre privée qu'il lui adresse les observations suivantes intéressantes à noter car elles expliquent pourquoi il fut enfin amené à prendre part à la controverse : « Je n'ai jamais cherché à acquérir quelque renom auprès des étrangers, mais je suis très désireux de conserver ma réputation d'honnête homme, que l'auteur de cette épitre, se posant en juge suprême, a essayé de m'enlever. Maintenant que je suis vieux, je trouve peu de plaisir dans les études mathématiques; je n'ai jamais d'ailleurs tenté de propager mes idéesà travers le monde ; j'ai plutôt pris soin de ne pas me laisser entraîner, à cause d'elles, dans des discussions. »

La défense de Leibnitz ou l'explication de son silence est donnée dans la lettre suivante, datée du 9 avril 17 16, qu'il avait adressée

(1) Diiuiluer en 1699 avait accusé Leibnitz de plagiat au préjudice de Nbwtob, mais DuiifLLiRR ne jouissait pas d'une grande notoriété.

'ME- * |îl|^|f «ATHÉMAT.QUES

point en point à l'ouvrage publia

JÙS/Jt ouvrage aussi grand pour le moins

*|?iâns un grand détail de quantité à-

quarante ans dont je ne me soure-

er mes vieilles lettres, dont plusieurs

lus souvent je n'ai point gardé les

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4it^®JÉliHl^pf4|i^lc lecteur juger lui-même et sepro- 't^yRt^uffi^MiSaitra le plus conforme à la raison. S^x^p^ni^i||ti^ «||rï^»pour Leibnitz de se faire entendre rt fii^el^^rpS^ô^^^M'ciiiKlliispecls relevés contre lui. La pos*

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nous pensons que vraisemi ou peut-être complètemen L __ .^ui^>^.V«:«u^>^*j t 1G77; jusqu'à quel point Leibnitz ^^»l»^*i^5*H««^««||€*2jcl^»lecture, c'est ce qu'il est difficile de ^^••§hl^ï^^lS^^r,lfons-le, qu'il avait reçu non pas ^^^Ji^ftttSL{à§|LÉg»i-^*g* mais bien un certain nombre d uUh

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eibmtz, pense que celle falsification doit III. p. i76.

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CnVPITRÇ XVII. LEIBXITZ ET -LES BERNOULLI /|-

pirations," et comme il ne publia pas avant i684 ses résultats de 1677, et que la notation employée et les développements subséquents sont sans conteste de son invention, il est possible qu'il ait été conduit après une période de trente ans à regarder comme de peu d'importance les renseignements qu'il avait pu «recueillir au début, et finalement à n'en tenir aucun compte.

Si nous devons nous borner à un seul système de notations, il n'est pas douteux que celui imaginé par Leibnilz se prête mieux que celui des fluxions aux applications du calcul infinitésimal, et pour certaines questions (telles que le calcul des variations) il est certainement presque indispensable. Il est nécessaire cependant d'ajouter qu'au commencement du xvii0 siècle les méthodes du calcul indéfini lési mal n'avaient pas encore été exposées systématiquement, et que les deux notations étaient également bonnes. Le développement de ce calcul fut l'œuvre capitale des mathématiciens de la première moitié du xviu0 siècle. La notation différentielle tut adoptée par les mathématiciens du continent. Son application par Eu 1er, Lagrange et Laplace aux principes de la mécanique posés dans les Principia constitua l'œuvre importante de la seconde moitié de ce même siècle et établit finalement la supériorité du calcul différentiel sur celui des fluxions. La traduction des Principia dans le langage de l'analyse moderne et l'exposition détaillée de la théorie newtonienneà l'aide de cette même analyse, furent l'œuvre de Laplace.

On regarda en Angleterre les réclamations de Leibnitz comme une tentative faite pour enlever à Newton la gloire deson invention ; de part et d'autre, les jalousies nationales intervinrent pour embrouiller la question. On s'explique alors naturellement pourquoi les méthodes géométriques et la méthode des fluxions, telles que les employait Newton, furent seules, et cela malheureusement, étudiées et usitées en Angleterre. De ce fait l'Ecole anglaise demeura plus d'un siècle sans contact avec les mathématiciens du continent. La conséquence en fût que, malgré la brillante cohorte d'élèves formés par Newton, les perfectionnements successifs apportés sur le continent aux méthodes d'analyse furent presque ignorés en Grande Bretagne. La valeur de ces nouvelles méthodes analytiques ne fut complètement admise en Angleterre que ver$ 1820, et ce n'est qu'à partir de cette époque que l'on voit les compatriotes de

£8 HISTOIEB DES MATHÉMATIQUES

Newton prendre de nouveau une large part aux progrès de» mathématiques.

Abandonnant maintenant cette longue controverse, passons à l'élude des mémoires mathématiques produits par Leibnitz et dont les plus importants furent publiés dans les Acta Erudiiorum. Us roulent principalement sur les applications du calcul infinitésimal cl sur diverses questions de mécanique.

Les seuls mémoires ayant une importance de premier ordre sont relatifs au calcul différentiel. Le plus ancien fut public en octobre 1 684 dans le recueil précité. Leibnitz y expose une méthode générale pour trouver les maxima et les minima, et pour tracer les tangentes aux courbes. Un problème inverse, à savoir : trouver la courbe dont la sous-tangente est constante y est également discuté. La notation est celle que nous connaissons, les dérivées de xmf des produits et des quotients sont calculés. En 1686 il écrit un mémoire sur les principes du nouveau calcui. Dans ces deux mémoires le principe de continuité est explicitement admis, l'exposition de la méthode est basée sur l'emploi des infiniment petits et non sur celui de la valeur limite des rapports. En réponse à quelques objections présentées en 169/1 Par Bernard Nieuwentyt

qui avançait que r représentait une quantité n'ay an t comme -

aucun sens, Leibnitz expliqua comme Barrow l'avait déjà fait, que,

dy géométriquement, la valeur de / pouvait être regardée comme le

rapport de deux quantités finies. Nous estimons que l'exposé du but et des méthodes du calcul infinitésimal, tel qu'on le trouve dans ces opuscules, qui sont les trois plus importants mémoires que Leibnitz ait publiés sur ce sujet, est quelque peu obscur, et que la tentative de l'auteur d'appuyer ses explications sur des bases métaphysiques, n'est pas de nature à remédier à ce défaut ; mais le fait, que dans les mathématiques modernes, tous les résultats sont exprimés an moyen de l'algorithme inventé par Leibnitz doit être considéré comme un magnifique témoignage en faveur de son œuvre.

En 1G92, Leibnitz écrivit un mémoire dans lequel il posait les fondements de la théorie des enveloppes. Cette théorie fut de nouveau développée en 1694 dans un nouvel article où il introduis