CHAPITRE II. L'ÉCOLE PYTUAGOIUCIEWE 3l

Archytas (!). — Archytas (vers — 4oo) un des citoyens les plus en renom de Tarente fut choisi sept fois pour être gouverneur di cette cité. Il jouissait parmi ses contemporains d'une très grande influence et eut l'occasion de l'utiliser pour sauver la vie de Platon menacée par Denys. Il était renommé pour sa sollicitude pour le bien être et l'instruction de ses esclaves et des enfants dans la Cité. Il périt dans un naufrage près de Tarente et son corps fut jeté par les flots sur le rivage. Aux yeux des plus rigides Pythagoriciens cette mort parut un châtiment mérité parce qu'il s'était écarté de la ligne de conduite qui leur avait été tracée par leur fondateur. Il comptait parpu ses élèves et amis plusieurs des chefs de l'Ecole athénienne, et l'on pense que beaucoup de leurs travaux furent dus à son inspiration.

Les premiers Pythagoriciens n'avaient fait aucune tentative pour appliquer leur connaissance à la mécanique, mais Archytas, prétend-on, s'occupa de cette science en se servant de considérations géométriques : on lui attribue l'invention de la poulie dont il exposa la théorie, la construction d'un oiseau volant et de quelques autres jouets mécaniques ingénieux. Il fit connaître divers appareils permettant de tracer mécaniquement les courbes et de résoudre les problèmes ; Platon critiquait leur usage estimant que la valeur de la géométrie, en tant qu'exercice intellectuel, en était amoindrie, et les derniers géomètres grecs se bornèrent à employer seulement deux instruments : la règle et le compas. Archytas était également -versé en astronomie : il enseignait que la terre était une sphère effectuant une rotation autour de son axe en vingt-quatre heures et autour de laquelle se déplaçaient les corps célestes.

Archytas un des premiers, donna une solution du problème de la duplication du cube qui consistait à trouver le côté d'un cube d'un volume double de celui d'un cube donné. C'était l'un des plus fameux problèmes de l'antiquité (').

(') Voir àllmax, chap. iv. Un catalogue des travaux d'AacHYTAS est donné par Fadricius dans la Bibliotheca Grœca, Vol. I, p. 833 ; la plupart dos fragments sur la philosophie ont été publiés par Thomas Gale dans ses Opuscula MYthologia, Cambridge, 1670 et par Thomas Taylor comme appendice à sa traduction de la Vie de Pythagore de Jambliqle, Londres, 1818.

Voir aussi les références données par Cactor, Vol. I, p. ao3.

(2) Voir plus loin, pp. 39, 43, 44.

La construction d'Archytas revient à la suivante : sur le diamètre OA de la base d'un cylindre circulaire droit on décrit une demicirconférence dont le plan est perpendiculaire à celui de la base et on fait tourner ce plan autour de la génératrice passant par le point O. Dans ce mouvement la surface décrite par la demicirconférence coupe la surface cylindrique suivant une certaine courbe. Cette courbe est à son tour coupée par un cône droit ayant pour axe OA et dont le demi-angle au sommet est connu (6o° par exemple) en un point P tel que la projection de OP sur la base du cylindre est au rayon du cylindre dans le rapport du côté du cube cherché au côté du cube donné. La démonstration d'Archytas est naturellement géométrique (') ; contentons-nous de faire remarquer ici que son exposition montre qu'il connaissait les propriétés faisant l'objet des propositions 18 et 35 du livre III et 19 du livre XI des Eléments d'Euclide.

On peut constater analyliqucnicnt l'exactitude de cette construction : prenons OA comme axe des x, et la génératrice passant par O comme axe des z ; avec la notation usuelle en coordonnées polaires et en représentant par a le rayon du cylindre, nous avons pour Téquation de la surface décrite par la demi-circonférence, r = 2 a sin 5, pour celle du cylindre r sin 9 — 2 a cos y, et pour

celle du cône sin 6 cos ç — - . Ces trois surfaces se coupent en un

point tel que sin3 0 — - -; par suite, si 0 est la projection de OP sur la base du cylindre, on a :

p3 = (r sin O)3 — 2 a1.

C'est-à-dire que le volume du cube dont le côté est 0 est égal à deux -fois le volume du cube de côté a.

Nous avons mentionné ce problème et donné la construction d'Archytas pour montrer jusqu'à quel point l'Ecole pythagoricienne avait poussé ses connaissances à cette époque.

Théodore. — A peu près à la même époque qu'Archytas vivait un autre Pythagoricien, Théodore de Cyrbne, qui aurait, prétend-

(*) Elle est donnée par Àllmaw, pp. in-ii3.