CHAPITRE XVIII. — DÉVELOPPEMENT DE l'àîULYSE, ETC
Les nombres e et it doivent entrer dans l'analyse mathématique de quelque côté que Ton aborde le sujet. Le dernier, entre autres choses» représente le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, mais ce n'est qu'accidentellement que cette propriété a été prise pour sa définition. Dans son Budget of paradoxes, De Morgan cite une anecdote qui montre combien la définition usuelle du nombre n rappelle peu son origine réelle. Il expliquait à un actuaire quelle chance une fraction déterminée d'un groupe de personnes avait d'être encore en vie à la fin d'un temps donné, et il indiquait la formule actuelle dans laquelle figure i: qui, expliquait-il, représente le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Son auditeur qui, jusque là, l'avait écouté avec intérêt, l'interrompit alors en ces termes : a Ce doit être une erreur, mon cher ami ; que peut bien faire un cercle avec le nombre de personnes encore en vie à une époque déterminée ? »
La seconde partie de YAnalysis Infinitorum roule sur la géométrie analytique. Euler commence par diviser les courbes en algébriques et transcendantes, puis il démontre une série de propositions concernant toutes les courbes algébriques. Il les applique alors à l'équation générale du second degré à deux variables, montre que celle-ci représente les diverses sections coniques, et établit la plupart de leurs propriétés à l'aide de l'équation générale. Il s'occupe également des courbes algébriques, cubiques, quartiques et autres. Il examine ensuite quelles sont les surfaces représentées par l'équation générale du second degré à trois variables et comment on peut les distinguer entre elles : quelques-unes de ces surfaces n'avaient pas encore été étudiées. Dans le cours de cette analyse, il donne les formules pour la transformation des coordonnées dans l'espace. Là encore nous trouvons la première tentative faite pour introduire la courbure des surfaces dans le domaine des mathématiques, et la première discussion complète des courbes à double courbure.
VAnalysis Infinitorum fut suivie en 1755 des Imtilutiones Calculi Differentialis auquel il devait servir d'introduction. C'est le premier livre classique sur le calcul différentiel qu'on puisse considérer comme complet, et Ton peut dire qu'il a servi de modèle à beaucoup de traités modernes concernant le même sujet. Il est regrettable que l'exposition des principes soit souvent prolixe et obscure, et parfois même peu rigoureuse.
Celte série d'ouvrages fut complétée par la publication en trois volumes, de 1768 a 1770, des Institatinnes Calculi Integralis ; on y trouve insérés les résultats de plusieurs anciens mémoires d'Euler •ur le calcul intégral et sur les équations différentielles.
Cet ouvrage, de même que le traité sur le calcul différentiel, résume tout ce que Ton savait alors ; Euler y complète beaucoup de théorèmes connus de son temps et en améliore les démonstrations. C'est ici que les fonctions Bèta et Gamma (*) sont pour la première fois introduites en analyse, mais Euler s'en sert seulement pour la réduction et la transformation des intégrales. L'exposé que fait Fauteur des intégrales elliptiques est superficiel : il lui fut suggéré par une relation entre les arcs d'une hyperbole et d'une ellipse qu'indiqua Jean Landen dans les Philosophical transactions pour 1775. Les ouvrages d'Euler précités eurent de nombreuses éditions.
Les problèmes classiques des courbes isopérimètres, de la brachistochrone dans un milieu résistant et la théorie des géodésiques (qui tous avaient été proposés par son maître Jean Bernoulli) avaient attiré de bonne heure l'attention d'Euler ; c'est en les résolvant qu'il fut amené au Calcul des variations. 11 en exposa l'idée générale dans son Carvarum maximi minimeve proprietale gaudentiixm inventio nova ac facilis, publiée en 17/44, mais le développement complet du nouveau calcul fut l'œuvre de Lagrangc, 1759. La méthode employée par Lagrange est décrite dans le calcul intégral d'Euler ; on la rencontre dans la plupart des ouvrages modernes.
En 1770 Euler publia son Einleilung zar Algebra en deux volumes. Une traduction française, avec des additions nombreuses et importantes de Lagrange, parut en 179/1 ; on y annexa un traité d'arithmétique d'Euler.
Le premier volume traite de l'algèbre ordinaire. Il contient l'un des plus anciens essais tenté pour établir les opérations fondamentales sur des bases rationnelles : le môme sujet avait attiré l'attention de d'Alembert. Cet ouvrage renferme également la démonstration du théorème du binôme pour un exposant quelconque, théorème qui porte encore le nom d'Euler ; la démons-
(') L'histoire de la fonction Gamma est donnée dans une monographie de Bruvbl parue dans tes Mémoires de la sociSté des Sciences, Bordeaux, 1886.
