CHAPITRE XVIU. DÉVELOPPEMENT DE L* ANALYSE, ETC
tration, fondée sur le principe de la permanence des formes équivalentes est convenable, mais Euler ne chercha pas à étudier la convergence de la série. Il est surprenant qu'il ait omis ce point essentiel:, car il avait lui-môme reconnu la nécessité d'examiner la convergence des séries infinies. La démonstration de Vandermon, donnée en 1764» présente le même défaut.
Le second volume est consacrée l'analyse indéterminée ou algèbre de Diophante. Il contient les solutions de quelques questions proposées par Fermât et qui n'avaient pas encore été résolues.
* Sa traduction française est suivie d'une note célèbre où Lagrangc expose les très remarquables résultats qu'il obtint au sujet des fractions continues arithmétiques *.
Comme exemple de la simplicité et de la rigueur des méthodes d'Euler nous résumons sa démonstration (*) de ce théorème : que tous les nombres parfaits pairs sont compris dans la formule d'Euclide 2n~l/j, p étant un nombre premier de la forme aw — 1 (2).
Soit N un nombre parfait pair. N étant pair peut être écrit sous la forme a"-1 a, a représentant un nombre impair. N est parfait, c'est-à-dire égal à la somme de tous ses diviseurs entiers ; par conséquent, (en considérant le nombre N lui-même comme un de ses diviseurs) il est égal à la moitié de la somme de tous ses diviseurs entiers, somme que nous pouvons représenter par 2N.
De l'égalité aN = 2N on déduit :
a X 3n l a = Sa"-* a = S a'»-1 x Sa et
2»a = (1 -+- a -+- ... -h a»-1) Za = (an — 1) Sa ;
par conséquent
a an — 1 p
la a" p -f- 1 *
Dès lors a == Ip et la = l(p -+- 1) et, puisque la fraction *
est irréductile, X doit être un entier positif. Les facteurs de "kp sont 1 , X, p et X/>, abstraction faite de l'hypothèse X = 1 ; et de plus,
(*) Commentationes Arithmclicae Collecte, Saint Pétersbourg, 18A9, Vol. IL p. 5 14, art. 107 : Stlvbster a fait paraître une analyse de cette démonstration dans le journal Nature, déc. i5, 1887, Vol. XXX VII, p. i5a.
(*) Eucl. IX, 36 .
si/) n'est pas un nombre premier, il y aura encore d'autres facteurs. Ainsi, à moins queX = i et que/) soit premier, nous avons
llp = i -f- X -f- p -h lp -h ... = (X -h i) (p -+- i) -+- ... Mais cette dernière relation est en contradiction avec le résultat
Ety = £a se l(p -h i).
Donc nécessairement X = i et p est un nombre premier. Par suite
a = p et N = a»*-1 a = an-1(an — i).
Nous pouvons ajouter ce corollaire que, puisque/) est un nombre premier, il en résulte que n est premier, et la détermination des valeurs de n (moindres que 267) qui rendent/) premier, ressort de la règle de Mersenne. j
Les quatre ouvrages que nous venons d'indiquer renferment la majeure partie des travaux d'Euler sur les mathématiques pures. Il écrivit également de nombreux mémoires sur presque toutes les branches des mathématiques appliquées et de la physique mathématique. Nous signalerons quelques-unes des nouveautés qu'ils renferment.
Dans les applications de la mécanique à un système rigide, il détermine les équations générales du mouvement d'un corps autour d'un point fixe ; ces équations sont ordinairement écrites sous la forme :
il donne aussi les équations générales du mouvement d'un corps libre.
Enfin, il défend et étudie le principe de la « moindre action » que Maupertuis avait proposée en 1751 dans son Essai de Cosmologie (p. 70).
En hydrodynamique, Euler établit les équations générales du mouvement, qui sont communément exprimées sous la forme
i dp -, au du du ~^u
p dx ^it éx ■ dy "Hz
Peu de temps avant sa mort, il s'occupait de la préparation d'un traité d'hydrodymanique, où il se proposait de reprendre complètement l'exposé du sujet.
