CHAPITRE XVni. — DÉVELOPPEMENT DE i/ ANALYSE, ETC

ralité des solutions données antérieurement parTâylorjd'Alembert et Euler, et arrive à la conclusion que la forme de la courbe à un instant quelconque t est donnée par l'équation y = a sin mx sin nt.

L'article est terminé par une discussion, faite de main de maître, des échos, des battements et des sons composés. D'autres articles du même volume traitent des séries récurrentes, des probabilités et du calcul des variations.

Le second volume renferme un long article dans lequel se trouvent rappelés les résultats de plusieurs mémoires du premier volume sur la théorie et la notation du calcul des variations ; comme applications, il en déduit le principe de la moindre action et les solutions de divers problèmes de dynamique.

Le troisième volume comprend encore la solution de plusieurs problèmes de dynamique au moyen du calcul des variations ; quelques notes sur le calcul intégral ; une solution de ce problème de Fermât déjà signalé : trouver un nombre x tel que l'expression (x*n h- i) dans laquelle n représente un nombre entier quelconque non carré, soit un carré parfait ; et enfin les équations différentielles générales du mouvement de trois corps se déplaçant sous l'influence de leurs attractions mutuelles.

En 1761, La grange occupait sans rival le premier rang parmi les mathématiciens de l'époque ; mais le labeur incessant auquel il s'était astreint durant les neuf années précédentes avait sérieusement affecté sa santé, et les médecins déclaraient ne pouvoir répondre de sa raison ou de sa vie s'il ne voulait consentir à prendre du repos et de l'exercice. Bien qu'il eut recouvré temporairement la santé, son système nerveux ne se remit jamais complètement et, depuis cette époque, il eut constamment des attaques de profonde neurasthénie.

Dans le premier ouvrage qu'il produisit ensuite, en 176&, il s'occupe de la lib ration de la lune, et explique pourquoi c'est toujours le même hémisphère de cet astre qui est tourné du côté de la terre, problème qu'il traite à l'aide du principe du travail virtuel. Sa solution est particulièrement intéressante; elle contient en germe l'idée des équations du mouvement généralisées, équations qu'il établit le premier d'une façon rigoureuse en 1780.

11 quitta alors son pays pour se rendre à Londres, mais il tomba malade à Paris. Là il fut accueilli avec tous les honneurs possibles,

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et il abandonna à regret la brillante société de cette capitale, pour reprendre sa vie de province à Turin. Son séjour dans le Piémont fut cependant de courte durée. En 1760 Euler quitta Berlin, et Frédéric-le-Grand écrivit immédiatement à Lagrange en exprimant le désir « que le plus grand roi de l'Europe » eut à sa cour « le plus grand mathématicien de l'Europe ». Lagrange accepta l'offre qui lui était faite, et il passa les vingt années qui suivirent en Prusse, où il composa, non seulement la longue série de mémoires insérés dans les comptes-rendus des Académies de Berlin et de Turin, mais encore son œuvre monumentale, la Mécanique analytique. Son séjour à Berlin débuta par une fâcheuse méprise. Ayant trouvé la plupart de ses collègues mariés, et les épousesde ces messieurs lui ayant assuré que c était la seule manière d'être heureux, il se maria à son tour ; sa femme mourut peu après, mais son union ne fut pas heureuse.

Lagrange avait la faveur du roi, qui souvent dans ses conversalions, l'entretenait des avantages résultant d'une vie parfaitement réglée. Il prit note de l'observation, et, à partir de ce moment étudia son corps et son intelligence comme s'il s'agissait de machines» et détermina par expérience la somme totale de travail qu'il pouvait produire sans être épuisé. Chaque nuit il se fixait pour le jour suivant une tache définie et, en terminant une partie quelconque d'un sujet, il en écrivait une courte analyse, pour voir quels points dans les démonstrations ou dans le sujet traité étaient susceptibles de perfectionnement. Il préparait toujours dans son esprit le sujet d'un mémoire avant d'en commencer la rédaction, et il avait l'habitude de l'écrire d'un seul jet sans aucune rature ni correction.

Son activité mentale durant ces vingt années fut surprenante. Non seulement il produisit son admirable Mécanique analytique, mais il fournit aux Académies de Berlin, de Turin et de Paris entre cent et deux cents mémoires. Quelques-uns sont de véritables traités et tous, sans exception, sont d'une grande valeur. En dehors d'une courte période de temps pendant laquelle il fut malade, sa production moyenne était d'un mémoire par mois. Parmi les plus importants nous noterons les suivants.

' Tout d'abord, ses articles insérés dans les quatrième et cinquième volumes, 1766-1773, des Miscellanea Taurinensia ; le plusim-

CÏ1APITRE XVIÎI. — DÉVELOPPEMENT DE l'aNALTSE, ETC. û3

portant est celui, daté de 177 1, où il examine le nombre des observations astronomiques qu'il est nécessaire de faire pour obtenir le résultat le plus probable. Et plus tard, ses articles dans les deux premiers volumes, 1784-1785, des comptes rendus de Y Académie do Turin : dans le premier il inséra une note sur la pression exercée par les fluides en mouvement, et dans le second une autre note sur l'intégration par séries infinies, avec le genre de problème^ auxquels cette méthode est applicable.

La plupart des mémoires qu'il envoya à Paris traitent de questions astronomiques; ici, nous devons particulièrement citer: ses recherches sur les inégalités des satellites de Jupiter» en 1 766 ; son essai sur le problème des trois corps, en 1772; son travail sur l'équation séculaire de la lune, en 1776, et son traité sur les perturbations des comètes, en 1778. Tous ces écrits roulent sur des sujets proposés par l'Académie des sciences et chaque fois ses mémoires furent couronnés.

La plupart des travaux qu'il mit au jour au cours de cette période, allèrent cependant à l'Académie de Berlin. Plusieurs d'entre eux ont trait à des questions d'algèbre. Nous pouvons indiquer en particulier les suivants : Sa discussion de la solution en nombres entiers des équations du second degré indéterminées, 1769, et plus généralement des équations indéterminées, 1770; son traité sur la théorie de l'élimination, 1770 ; ses mémoires sur un procédé général de résolution d'une équation algébrique d'un degré quelconque, 1770 et 1 771 ; il donne toutes les solutions de ses prédécesseurs et les déduit d'un même principe ; mais sa méthode est en défaut pour les équations d'un degré supérieur au quatrième, parce qu'elle suppose alors la résolution d'une équation dont le degré surpasse celui de l'équation proposée ; puis, la résolution complète de l'équation binôme d'un degré quelconque ; enfin, en 1773, son exposition de la théorie des déterminants du second et du troisième ordre, et des invariants.

Plusieurs de ses premiers mémoires traitent de questions relatives à la théorie des nombres, sujet négligé mais présentant cependant un singulier attrait. Nous citerons entre autres : la démonstration de ce théorème que tout nombre entier non carré peut toujours être décomposé en deux, trois, ou quatre carrés entiers, 1770 ; sa démonstration du théorème de W il son dont voici l'énoncé : si n

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est un nombre premier quelconque, le nombre 1.2.3 ... (n — i) -+- i est toujours un multiple de n, 1771 ; ses mémoires de 1773, 1770 et 1777 qui donnent les démonstrations de plusieurs résultats énoncés par Fermât et non encore démontrés ; et enfin sa méthode pour déterminer les diviseurs des nombres de la forme x% -h ay*.

On a également de lui de nombreux articles sur divers points de géométrie analytique. Dans deux d'entre eux» écrits dans les dernières années de sa vie, en 1792 et 1793, il réduisait les équations des quadriques à leurs formes canoniques.

De 1773 à 1785 Lagrange rédigea une longue série de mémoires qui créèrent la science des équations différentielles partielles. j\ul, à notre connaissance, ne Ta devancé en ce qui concerne les équations de cette forme. La majeure partie des résultats obtenus furent insérés dans la seconde édition du calcul intégral qu'Euler publia en 1794.

Nous ne parlerons pas ici des notes de Lagrange sur la mécanique : les résultats auxquels il est arrivé se trouvent dans la Mécanique analytique dont il est* question un peu plus loin.

Ses mémoires sur V Astronomie sont nombreux. Voici les plus importants : sur l'Attraction des ellipsoïdes, 1773 : ce mémoire est basé sur un travail de Maclaurin ; sur l'équation séculaire de la lune, 1773, notice remarquable parce qu'on y trouve, introduite pour la première fois, l'idée de potentiel. Le potentiel d'un corps en un point quelconque est la somme de la masse de chaque élément du corps divisée par sa distance au point considéré. Lagrange montra que si le potentiel d'un corps en un point extérieur était connu, l'attraction suivant une direction quelconque pouvait être immédiatement obtenue. La théorie du potentiel fut étudiée dans une note envoyée à Berlin en 1777 ; sur le mouvement des nœuds de l'orbite d'une planète, 1774; sur la stabilité des orbites planétaires, 1776 ; deux mémoires dans lesquels il étudia complètement une méthode permettant de déterminer l'orbite d'une comète au moyen de trois observations, 1778 et 1783; en réalité cette méthode n'a pas été reconnue pratique, mais la manière de Lagrange de calculer les perturbations à l'aide des quadratures mécaniques a servi de base à la plupart des recherches ultérieures sur ce sujet ; sa détermination des variations séculaires et périodiques des éléments des. planètes, 1781 1 7 84 v Les limitas