CHAPITRE XVIII. DÉVELOPPEMENT DE L* ANALYSE, ETC

ment élémentaires ; ils ne renferment rien présentant une importance spéciale. Ils furent recueillis au moyen de là sténographie et publiés, pour que les députés puissent être ainsi en mesure de se rendre compte de la façon dont les professeurs s'acquittaient de leurs fonctions.

Lors de la création de l'Ecole polytechnique, en 1797, Lagrange y fut nommé professeur ; les mathématiciens qui eurent la bonne fortune de suivre alors son enseignement disent qu'il était absolument parfait quant à la forme et quant au fond. Partant des principes les plus simples, il conduisait ses auditeurs aux limites du sujet sans même qu'ils s'en aperçussent : par-dessus tout, il insistait auprès de ses élèves sur l'avantage d'employer toujours des méthodes générales et d'user de notations symétriques.

Ses leçons sur le calcul différentiel forment la base de sa Théorie des fonctions analytiques, publiée en 1797. Cet ouvrage est le développement d'une idée contenue dans une note qu'il avait envoyée ^ en 1772 aux Mémoires de Berlin, et son objet est de substituer au calcul différentiel un groupe de théorèmes basés sur le développement en séries des fonctions algébriques. Une méthode à peu près semblable avait élé antérieurement employée par Jean Landcn dans son Residual Analysis, publié à Londres en 1758. Lagrange pensait pouvoir ainsi éviter les difficultés que les philosophes croyaient voir dans l'ex position alors admise du calcul différentiel, et qui avaient trait à l'emploi des quantités infiniment grandes et infiniment petites. Le livre est divisé en trois parties : dans la première, il traite de la théorie générale des fonctions, et donne une démonstration algébrique du théorème de Taylor ; on a longtemps discuté la rigueur de cette démonstration ; dans la seconde, se trouvent exposées des applications à la géométrie et, dans la troisième, des applications à la mécanique. Un autre traité composé dans le même ordre d'idées, ses Leçons sur le calcul des fonctions, parut en 1804. Ces ouvrages peuvent être considérés comme les points de départ des recherches de Cauchy, Jacobi et Weierstrass. Plus tard, Lagrange renonçant à fonder le calcul différentiel sur l'étude des formes algébriques-^) revint aux infini-

* (') Récemment, M. M ébat, dans son Traité d'Ana'yte, a tenté de remettre en honneur la méthode algébrique. Les résultats modernes ont prouvé qu'une R. B. «— Tome 11. 7

g$ HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

ment petits : et dans la préface de la seconde édition de la Mécanique, qui parut en 1811, il en justifia l'emploi et conclut en disant que « lorsqu'on a bien conçu l'esprit de ce système, et qu'on s'est convaincu de l'exactitude de ses résultats par la mé- ' thode géométrique des premières et dernières raisons, ou par la méthode analytique des fonctions dérivées., on peut employer les infiniment petits comme un instrument sûr et commode pour abréger et simplifier les démonstrations ».

Sa Résolution des équations numériques, publiée en 1798, fut également le résultat de ses leçons à l'Ecole polytechnique. Dans cet ouvrage, il donne la méthode permettant d'obtenir des valeurs approchées des racines réelles d'une équation au moyen des fractions continues, et il énonce plusieurs autres théorèmes. Une note, qui 6e trouve à la fin, montre comment le théorème de Fermât, exprimé par la congruence av~l — 1=0 (mod p) où p est un nombre premier et a un nombre premier avec/), peut servir à donner la solution complète de toute équation binôme algébrique. Il y explique aussi comment l'équation, ayant pour racines les carrés des différences des racines de l'équation primitive, peut être utilisée pour fournir des indications précieuses sur la position et la nature de ces racines. La théorie des mouvements des planètes avait fait l'objet de quelques-uns de ses plus remarquables Mémoires de Berlin. En 1806, le sujet fut repris par Poisson qui, dans une note lue devant l'Académie des Sciences, montra que les formules de Lagrange conduisaient à certaines limites pour la stabilité des orbites. Lagrange, qui était présent, discuta alors la question de nouveau et d'une façon complète, et, dans un mémoire communiqué à l'Académie, en 1808, il expliqua comment on pouvait déterminer par la variation de constantes arbitraires les inégalités périodiques et séculaires de tout système de corps agissant mutuellement les uns sur les autres. En 1810, Lagrange entreprit une revision complète de la mécanique analytique, mais il mourut avant d'avoir pu achever son travail, dont il n'avait fait que les deux tiers environ.

Au physique, Lagrange était de taille moyenne, d'une constitution faible, avait des yeux bleus pâles et un teint très coloré. Comme

telle tentative était vaine. Elle est d'ailleurs sans objet depuis que les mathématiciens contemporains ont réussi à dégager l'analyse infinitésimale de l'intuition géométrique. *