CHAPITRE XVIII. DÉVELOPPEMENT DE l'aNALYSE, ETC. IO

ne présentent pas le même caractère d'originalité. Ses principaux ouvrages sont : sa Géométrie, modèle du genre * mais défigurée par d'obscurs commentateurs *, sa Tliéorie des nombres, son Calcul Intégral et ses Fonctions elliptiques. Ils renferment la substance de divers mémoires qu'il présenta sur ces sujets. Il écrivit, en outre, un traité où il donna la règle des moindres carrés, et deux groupes de mémoires, l'un sur la théorie des attractions et l'autre sur les opérations géodésiques. ;

Les mémoires sur Ipé attraction^ sont analysés et discutés dans l'ouvrage de Todhunter, Ilistory of the théories oj Attraction. Le plus ancien, qui fut présenté en 1783, traite de l'attraction des sphéroïdes. On y trouve introduits les coefficients de Legendre qui sont des cas particuliers des coefficients de Laplace ; il contient également la solution d'un problème où il fait usage du potentiel. Le second mémoire parut en 1784, et traite de la forme d'équilibre d'une masse liquide à peu près sphérique, animée d'un mouvement de rotation. Le troisième, écrit en 1786, traite de l'attraction des ellipsoïdes de mêmes foyers. Dans le quatrième, il étudie la forme que prendrait une planète fluide et la loi de variation de sa densité.

Ses notes sur la géodésie sont au nombre de trois et furent présentées à l'Académie en 1787 et 1788. Le résultat le plus important auquel il arrive est celui qui permet de traiter un triangle sphérique comme un triangle plan, sous condition d'apporter aux angles certaines corrections. En corrélation avec ce sujet, il s'occupe beaucoup des lignes géodésiques.

La méthode des moindres carrés se trouve énoncée dans ses Nouvelles Méthodes publiées en 1806, ouvrage auquel des suppléments ont été ajoutés en 1810 et 1820. Gauss était arrivé indépendamment au même résultat, l'avait utilisé en 1795, et l'avait publié en 1809. Laplace est le plus ancien auteur qui en ait donné une démonstration, en 1812.

Des autres ouvrages de Legendre, le plus connu est celui intitulé : Eléments de géométrie, qui fut publié en 1794» et qui, à une certaine époque, était très répandu sur le Continent où il avait remplacé Euclide. La dernière édition contient les éléments de la trigonométrie et des démonstrations de l'incommensurabilité de tc et de 7rs. Un appendice sur la question difficile de la théorie des pa-

IIO HISTOIRE DES VATirf VA TIQUES

ralletes, para en i8o3, a été incorporé dans h plupart de* éditions qui suivirent.

Sa Théorie des nombres fut publiée en 179$ et des appendices j forent ajoutés en 181 6 et 1820 : la troisième édition parât en deux volumes en i83o : elle contient l'ensemble de ses recherches sur ce sujet ; elle est restée toujours classiqne ('). On peut dire que Legendre a conduit la théorie des nombres aussi loin qu'il était possible de le faire au moyen de l'algèbre ordinaire ; la création d'une arithmétique supérieure, formant nne branche distincte des mathématiques, devait être l'œuvre de ses successeurs.

La loi de réciprocité quadratique, qui établit use relation entre deux nombres premiers impairs quelconques, se trouve démontrée pour la première fois dans cet ouvrage, mais ce résultat avait déjà été énoncé dans un mémoire de 1785. Gauss appelait cette proposition « le joyau de l'arithmétique » et on n'en trouve pas moins de six démonstrations différentes dans ses œuvres. Voici le théorème en question.

Si p est un nombre premier et n un nombre premier avec p,

nous savons que l'expression nâ^""1' divisée par/) donne pour reste

j x on — 1. Legendre représentait ce reste par (-j. Quand le reste

e8t -+- 1, il est possible de trouver un nombre carré parlait qui, divisé par p, donne pour reste n, c'est-à-dire que n est un résidu quadratique de p. Quand le reste est — 1, un tel nombre carré parfait n'iii'nUr pas, et n est un non-résidu de p. La loi de réciprocité quadratique est exprimée par ce théorème que, si a et 6 sûbL deux nombres premiers impairs quelconques, on a :

Ainsi, si b est un résidu de a, a est également résidu de b, à moins que les nombres prexiers a et b soient tous les deux de la forme 4 m -H 3. En d'autres termes, si a et 6 sont des premiers impairs, nous savons que

J(*-0 = ± rfmoà. 6), et b\{m~l) = ± i(mod. a);

et que, par la loi de Legendre, les deux signes seront ensemble

(1) Réimprimée en 1900. Pari». Hermann, 2 vol. in 4<\