CHAPITRE III. LES ÉCOLES D* ATHÈNES ET DE CNIDE 3~J
OR et MQ étant à un moment donné les positions eorrcspondantes du rayon et de la droite perpendiculaire à OB, soit P leur point d'intersection qui est un point de la courbe. On a
angle AOP OM.
angle AOB ~~ OB '
De même OR' étant une autre position du rayon
angle AOP' OM' B c
angle AOB — OB'"
De ces deux relations on déduit
angle AOP OM angle A<5F — DSP
et enfin
angle AOP' 0\T ânglê'P'OP- MM'
Dès^lors, l'angle AOP étant
Nji
Vp/
Fig. 5.
donné, si Ton demande de le diviser dans un rapport donné, il suffira de diviser OM au point M' dans le rapport donné et de tracer la droite M#P' perpendiculaire sur OM. La droite OP' joignant le sommet 0 au point P' divisera l'angle AOP dans le rapport donné.
En prenant OA comme ligne origine et posant
OP
nous avons :
r, angle AOP = 6 et OA = a, 8 r sin 6
et l'équation de la courbe est
irr = aaO cosec 6.
Hippias imagina un instrument pour tracer mécaniquement la courbe, mais les constructions géométriques dans lesquelles intervenaient d'autres instruments de mathématiques que la règle et le
compas ayant fait l'objet des critiques de Platon furent écartées par la plupart des géomètres qui suivirent.
Antiphon. — Le second sophiste que nous avons déjà mentionné fut Antiphon (vers — 420). Il fut un des très rares écrivains de l'antiquité qui essayèrent de trouver l'aire du cercle en le considérant comme la limite vers laquelle tend un polygone régulier inscrit dont le nombre des côtés augmente indéfiniment. 11 commençait par inscrire le triangle équilatéral (ou le carré, suivant d'autres auteurs), puis sur chaque côté pris comme base et dans le plus petit des deux segments déterminés, il inscrivait un triangle isocèle, et ainsi de suite indéfiniment. Celte façon d'aborder le problème de la quadrature est identique au fond à celle dont il a été question plus haut à propos de Bryson d'Héraclée.
Il est hors de doute, qu'indépendamment d'Athènes, il existait en Grèce d'autres cités qui produisirent des œuvres semblables et également méritoires bien qu'il n'en existe plus trace aujourd'hui. Nous avons mentionné les recherches de ces trois savants, d'abord pour donner une idée du genre de travaux dont on s'occupait à cette époque un peu partout en Grèce, mais principalement parce qu'ils furent les prédécesseurs immédiats des créateurs de l'école athénienne.
L'histoire de cette école commence avec l'enseignement d'Hippocrate vers — £20. Fondée sur des bases durables par les travaux de Platon et' d'Eudoxc, elle poursuivit parallèlement avec l'école voisine de Gnide le développement des premières découvertes de ces trois géomètres, jusqu'à ce que la création (environ — 3oo) de l'Université d'Alexandrie eut attiré vers ce nouveau centre la plupart des hommes éminents de la Grèce.
Eudoxe qui figurait parmi les mathématiciens les plus distingués d'Athènes est considéré comme le fondateur de l'école de Cnide. Les liens qui l'unirent à l'école d'Athènes sont tellement étroits, qu'il est impossible de séparer l'histoire de ces deux écoles. Hippocrate, Platon et Theœtète appartenaient, suppose-t-on, à l'école d'Athènes, tandis qu'Eudoxe, Ménœchme et Aristée auraient été de l'école de Cnide. Il y eut toujours des relations constantes entre ces deux centres dont les plus anciens membres avaient été instruits soit par Archytas, soit par son élève Théodore de Cyrène ; on peut
