CHAPITRE IH. LES ÉCOLES d' ATHÈNES ET DE CNIDE 3g

donc, sans inconvénients, les étudier simultanément. Avant d'examiner en détail les œuvres des géomètres de ces écoles, faisons remarquer qu'ils se sont spécialement occupés de trois problèmes (*), à savoir :

i° La duplication du cube, c'est-à-dire la détermination du cote d'un cube de volume double de celui d'un cube donné ;

2° La trisection de l'angle, et 3° la quadrature du cercle, c'està-dire la détermination d'un carré de surface égale à celle d'un cercle donné.

Les deux premières questions (considérées analytiquemenl) exigent la résolution d'une équation du 3e degré, et, puisque toute construction ne faisant usage que de cercles (dont les équations sont de x2 -+- y2 -+- ax -h by -4- c = o) ou de lignes droites (don! les équations sont de la forme ax -+- Py -h f = o) ne peut être ramenée à la résolution d'une équation cubique, les problèmes sont insolubles si nous nous restreignons à l'emploi des cercles et des droites, c'est-à-dire si nous ne voulons faire intervenir que la géométrie euclidienne. Mais ces deux questions peuvent être résolues de bien des manières si l'on fait usage des sections coniques.

Le troisième problème revient à trouver un rectangle dont les côtés seraient respectivement égaux au rayon et au demi-périmètre du cercle considéré. Depuis longtemps on savait que ces deux lignes sont incommensurables, mais c'est depuis peu que Lindemann est arrivé à démontrer que leur rapport ne peut être la racine d'une équation algébrique rationnelle : il en résulte que ce problème n'est pas susceptible d'une solution par la géométrie euclidienne. Les Athéniens et les Cnidiens devaient donc échouer dans leurs tentatives pour arriver à résoudre ces trois problèmes ; mais leurs recherches conduisirent à la découverte de plusieurs théorèmes et procédés nouveaux.

Indépendamment des essais de solutions de ces problèmes, les derniers disciples de l'école platonicienne s'occupèrent de réunir et de coordonner d'une façon systématique tous les théorèmes de géométrie qui étaient alors connus. Les collections ainsi composées comprenaient la série des propositions qui figurent dans les

(') A.u sujet de ces problèmes, de leurs solutions et des renseignements pouvant servir à leur histoire, consultez mes Mathematical Récréations and Problems, Londres, 3e édit., 1896, chap. vm, traduit en français par Ritz Patrick.

livres I à IX, et XI et XII des Eléments d'Euclide avec quelquesuns des théorèmes les plus élémentaires sur les sections coniques.

Hippocrate. — Hippocrate de Chios (qu'il importe de ne pas confondre avec son contemporain, Hippocrate de Cos, célèbre médecin) fut un des plus grands géomètres grecs. Il naquit à Chios environ 470 avant J.-C. et commença par exercer le commerce. Les uns prétendent qu'il fut dépouillé par les collecteurs de la douane athénienne, qui résidaient dans la Ghersonèse, les autres qu'un de ses vaisseaux fut capturé par des pirates athéniens dans le voisinage de Byzance : Quoi qu'il en soit, il vint à Athènes vers — 43o pour essayer de recouvrer ses biens en faisant appel à la justice. Un étranger n'était pas fait pour réussir dans une pareille entreprise et les Athéniens semblent s'être tout simplement amusés de la simplicité dont il avait fait preuve, d'abord en se laissant dépouiller, et ensuite en manifestant l'espoir de recouvrer sa fortune. Tout en revendiquant ses droits il fréquentait les cours des divers philosophes et finalement (selon toute probabilité pour gagner sa vie) il ouvrit une école de géométrie. Il paraît avoir été très au courant de la philosophie pythagoricienne, bien qu'on n'ait pas de preuve suffisante de son affiliation à cette Ecole.

Il composa le premier traité élémentaire de géométrie, traité dont Euclide s'est probablement inspiré pour ses Eléments, de sorte qu'on peut dire de lui qu'il esquissa le plan qui sert encore de base à l'enseignement de la géométrie dans les écoles d'Angleterre. On suppose que l'usage des lettres pour désigner les figures fut imaginé par lui ou introduit de son temps, car il se sert d'expressions telles que « le point sur lequel se trouve la lettre A » et « la ligne sur laquelle AB est marqué ». Cantor pense cependant que les Pythagoriciens avaient déjà antérieurement l'habitude de désigner les cinq sommets de l'étoile pentagramme par les lettres du mot uyiOa (l), et bien que ce ne soit là qu'un simple cas particulier, il est possible qu'ils aient employé ce procédé d'une façon générale. Les géomètres de l'Inde n'employaient jamais de lettres pour se guider dans la description de leurs figures.

Hippocrate désignait aussi le carré construit sur une ligne par le

(!) Voir ci-dessus, p, ai.