CHAPITRE XIX. LES MATHÉMATICIENS AU XIXe SIÈCLE

furent étudiées par Gauss. En particulier, dans les Disquisitiones Arithmeticœ, * il donne la grande loi de la réciprocité quadratique, qu'il démontre jusqu'à six fois, tant cette loi lui parait, et avec raison, importante; ce sujet fut repris par Jacobi, Eisenstein, Liouville, Lebesgue Genocchi, Kummer, Kronecker et Th. Pépin*; puis il mit au jour la théorie moderne des congruences du premier et du second ordre : c'est à celle-ci qu'il ramenait l'analyse indéterminée. Il étudiait également dans le même ouvrage la solution des équations binômes de la forme oç* = i ; son exposé comprend le théorème célèbre dans lequel il établit la possibilité de construire par la géométrie élémentaire des polygones réguliers dont le nombre des côtés est am(an -+- i), m et n représentant des nombres entiers et a" -4- 1 un nombre premier : il avait fait cette découverte en 1796. *La question fut reprise avec bonheur par Wantzelen 1887 *. C'est là que Gauss a développé la théorie des formes quadratiques ternaires comprenant deux indéterminées. Gauss fit encore porter ses recherches sur la théorie des déterminants et ses résultats servirent de bases aux travaux de Jacobi qui concernent ce sujet.

La théorie des fonctions de périodicité double eut pour origine les découvertes d'Abel et de Jacobi dont nous parlons plus loin. Ces deux mathématiciens obtinrent les fonctions Thêta qui jouent un si grand rôle dans cette théorie. Cependant Gauss avait découvert indépendamment, et même à une date beaucoup plus ancienne, ces fonctions et quelques-unes de leurs propriétés ; il y avait été conduit par certaines intégrales qui se présentaient dans la Determinatio Attractionis, et il imagina, pour les évaluer, la transformation liée aujourd'hui au nom de Jacobi. Bien que Gauss en eut fait part anciennement à Jacobi, il ne publia pas ses recherches : elles se trouvent dans une série de cahiers de notes ne remontant pas à une date antérieure à 1808, et font partie de ses œuvres complètes.

De ses autres mémoires sur les mathématiques pures, les plus remarquables ont pour objet la théorie des résidus biquadratiques (où la notion des nombres complexes de la forme a -+■ bi se trouve introduite pour la première fois dans la théorie des nombres) ; on y rencontre plusieurs tables, une en particulier sur le nombre des classes des formes binaires quadratiques ; son mémoire relatif à la démonstration du théorème que toute équation algébrique a

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une racine réelle ou imaginaire, celui sur la sommation des séries, un autre enfin sur l'interpolation sont aussi fort beaux. Son intro duction de critériums rigoureux pour vérifier la convergence des séries infinies mérite l'attention.

Ses recherches sur les séries hypergéométriques sont également d'un haut intérêt; elles contiennent une discussion de la fonction Gamma, sujet qui a pris une importance considérable et a été traité, entre autres, par Kummer et Riemann. Enfin nous avons ses théorèmes sur la courbure des surfaces et son important mémoire sur la représentation conforme, où les résultats donnés par Lagrangc pour les surfaces de révolution sont étendus à toutes les surfaces. * Ajoutons que dans un célèbre mémoire, intitulé : Disquisitiones générales circa superficies curvas, Gauss démontre ce théorème très remarquable que : Quand une surface est applicable sur une autre par déformation, sans rupture ni duplicaiare, le produit des deux rayons de courbure principaux est le même pour les deux surfaces en deux points corespondants *. Il paraît que Gauss aurait aussi découvert quelques propriétés des quaternions.

Une de ses notes concerne l'attraction des ellipsoïdes homogènes ; de plus, son mémoire de 1839, déjà cité, Allgemeine Lehrsàtze in Beziehung ouf die im verkehrten Verhàltnisse des Qaadrats dcr Enifernung, traite de la théorie des forces attractives suivant l'inverse du carré de la distance; Gauss y établit que les variations séculaires éprouvées par les éléments de l'orbite d'une planète sous l'influence de l'attraction d'une autre planète, exerçant une action perturbatrice, sont les mêmes que si la masse de cette seconde planète était distribuée au delà de son orbite et suivant un anneau elliptique, cela de telle sorte qu'à des arcs de l'orbite décrits dans le même temps correspondent des masses égales de l'anneau.

Les grands maîtres de l'analyse moderne sont Lagrange, Laplace et Gauss qui furent contemporains, et il est intéressant de noter le contraste marqué qui existe jfens leurs écrits. Lagrange est parfait à la fois dans la forme et dans le fond, il est soucieux de donner la voie qu'il a suivie et ses écrits sont d'une lecture facile. Laplace par contre n'explique rien ; la forme le laisse indifférent, et une fois assuré de l'exactitude des résultats trouvés, il se con-