LA THÉORIE DES NOMBRES OU ARITHMÉTIQUE SUPÉRIEURE

Les recherches de Gauss sur la théorie des nombres furent continuées ou complétées par Jacobi, qui démontra le premier la loi

(') Ses œuvres ont été publiées en deux Tolames, Berlin, 1889-1897. Ses leçons sur la théorie des nombres furent éditées par J.-W.-R. Dedexjsd, 3e édition, Brunswick, 1879-81 ; ses études sur la théorie du potentiel ont été éditées par F. Grubb, seconde édition, Leipzig, 1887. G.-W. Borchardt a fait paraître une note snr quelques-unes de ses recherches dans le Journal de C relie vol. LVÎI, 1859, pp. 91-93.

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de réciprocité cubique, discuta la théorie des résidus et, dans son Canon Arithmeticus, donna une table des résidus des racines primitives.

* Dirichlet publia aussi, en 1825, un mémoire concernant la célèbre équation indéterminée xn -f- yn = z*t que Fermât avait annoncée ne pouvoir être résolue en nombres entiers, et montra qu'il en était bien ainsi pour n = 5. Euler et Lagrange avaient démontré la proposition pour n = 3 et n = !\t Lamé la prouva plus tard pour n = 7. D'autres travaux concernant cette question ont été publiés depuis, mais on n'a pu arriver encore à une démonstration absolument générale.

Les travaux de Dirichlet concernant les nombres premiers sont intéressants. Après Gauss et Legendre, Dirichlet donna des expressions approchées du nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée, mais il était réservé à Riemann, dans le mémoire Ueber die Anzahl der Primzahlen unler einer gegebenen Grosse, 1809, de résoudre vraiment la question. Plus tard, H. Poincaré, Sylvester et Hadamard la reprirent et poussèrent l'approximation plus loin encore que ce dernier.

Il n'est pas inutile de dire h ce propos que, à défaut de méthode permettant de reconnaître si un nombre premier est donné, la British Association entreprit en 1877 la construction de tables étendues de facteurs premiers et confia la direction de ce travail à J.-W.-L. Glaisher.

Burkhardt avait construit une table des diviseurs des trois premiers millions. Glaisher construisit les tables des 4°, 5e et 6° million, et Dase celles pour les 7e, 8° et 90 million *.

Eisenstein (l). — La haute arithmétique fût également développée par Ferdinand Gotlhold Eisenstein^ professeur à l'université de Berlin, né à Berlin le 16 avril 1823 et mort dans la même ville, le 11 octobre i852. La solution du problème de la représentation des nombres par des formes quadratiques binaires fut une des plus grandes entreprises de Gauss : il a donné dans ses Disquisitiones Arithrneticœ les principes fondamentaux sur lesquels

(>) Pour l'histoire de sa vie et de ses recherches, voir : Abhandlungen zur Geschichte der Malhemalik, 1895, p. i43 et seq.