CHAPITRE XIX. LA THEORIE DES NOMBRES, ETC. l/|S

repose la solution du problème. Gauss y ajoutait quelques Téstiltats concernant les formes quadratiques ternaires, mais l'extension générale de deux à trois indéterminées est l'œuvre d'Eisenstein. qui, dans son mémoire Neue théorème der hôheren Arithmetik, définit les caractères génériques des formes quadratiques ternaires d'un déterminant impair et, dans le cas des formes définies, en assigne la valeur d'un ordre ou d'un genre quelconque ; mais il ne considère pas les formes à déterminant pair. Malheureusement les résultats trouvés ne sont accompagnés d'aucune démonstration.

Eisenstein s'occupa aussi du théorème relatif à la possibilité de représenter un nombre par une somme de carrés et montra' que le théorème général était limité à huit carrés. Les solutions pour les cas de deux, quatre et six carrés peuvent être obtenues au moyen des fonctions elliptiques, mais les cas relatifs à un nombre impair de carrés impliquent des procédés spéciaux particuliers à la théorie des nombres. Eisenstein donna la solution pour le cas de trois carrés. Il laissa également un aperçu de la solution qu'il avait obtenue pour le cas de cinq carrés (*) ; ses résultats furent donnés sans démonstration et s'appliquent seulement à des nombres non divisibles par un carré.

Henry Smith (2). — Aux mathématiciens de l'Ecole de Gauss qui se distinguèrent le plus par leur originalité et leur puissance, il faut ajouter Henry Smith. Henry John Stephen Smith naquit à Londres, le 2 novembre 1826, et mourut à Oxford, le 9 février, i883. Il fit ses études à Rugby et au collège Balliol, à Oxford, et devint membre de cette, Université. En 1861, il fut nommé, professeur de géométrie, chaire Savilian, et résida à Oxford jusqu'à sa mort.

Le nom de Smith reste spécialement attaché à la théorie des, nombres. 11 y consacra dix années, de i854 à i854. Le principal, résultat de ses recherches est compris dans deux mémoires insérés, dans les Philosophical transactions pour 1861 et 1867 ; le premier

(1) Jour/Mi/ de Crelle, vol. XXXV. 1847, P- 368-

(2) La collection des œuvres mathématiques de Smith, éditées par J.-W.-L,* Glaisher, avec une préface contenant une notice biographique et d'autres notes, fut publiée en deux volumes, à Oxford, 1894.

L'exposé qui suit est extrait de la notice nécrologique insérée dans les notices mensuelles de la Société astronomique, l884, pp. i38-i4o.

R. B. — Tome II. 10

1 l46 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

| est relatif aux équations indéterminées linéaires et aux congruences,

' et le second aux ordres et aux genres des formes quadratiques ter-

I naires. Dans le dernier mémoire, Smith fournit les démonstrations

' des résultats trouvés par Eisenstein et donne leur extension aux

} formes quadratiques ternaires à déterminant pair ; il donne aussi

: une classification complète des formes quadratiques ternaires.

Cependant Smith ne se limita pas au cas de trois indéterminées ; il sut établir les principes sur lesquels repose l'extension au cas général de n indéterminées et obtenir des formules gêné- ! raies, faisant faire ainsi à la question le plus grand pas en avant

depuis la publication des travaux de Gauss. Dans l'exposé de ses méthodes et de ses résultats, parus dans les Proceedings de la So ciété Royale (')., Smith faisait remarquer que les théorèmes concernant la représentation des nombres par quatre carrés et par ! d'autres formes quadratiques simples, se déduisent à l'aide d'une

méthode uniforme des principes qu'il exposait, comme aussi les théorèmes relatifs à la représentation des nombres par six et huit carrés. Il continuait en disant que, puisque la série des théorèmes ■ concernant la représentation des nombres par des sommes de

i carrés s'arrêtait, pour la raison assignée par Eisenstein, quand le

\ nombre des carrés surpassait huit, il était désirable qu'elle ne

présentât pas de lacunes. Les résultats pour les nombres pairs de carrés étaient connus. Les principaux théorèmes pour le cas de cinq carrés avaient été donnés par Eisenstein, mais il avait considéré seulement des nombres non divisibles par un carré, et n'avait pas examiné le cas de sept carrés. Smith complétait dans son mémoire l'énoncé des théorèmes peur le cas de cinq carrés, et ajoutait les théorèmes relatifs au cas de sept carrés.

Ce mémoire fut l'occasion d'un incident curieux dans l'histoire des mathématiques. Quatorze ans plus tard, l'Académie des sciences de Paris, n'ayant pas connaissance des travaux de Smith, proposa comme sujet du « Grand prix des sciences mathématiques »,la démonstration et le complément des théorèmes d'Eisenstein pour le cas de cinq carrés. Smith envoya la démonstration des théorèmes généraux nécessaires pour établir les résultats dans le cas spécial de cinq carrés, et un mois après sa mort, en mars 1883,

(«) Voir vol. XIII. i864, pp. i99-ao3, et vol. XVI, i868,pp. 197-208.