CHAPITRE XU. LA THÉORIE DBS NOMBRES, ETC

le prix lui fut décerné ; un autre prix fut également accordé à II. Minkowski de Bonn. Aucun fait ne saurait mieux mettre en pleine lumière l'étendue des recherches de Smith; une question, dont il avait donné la solution en 1867 comme corollaire de formules générales régissant une classe entière de questions de même nature, avait été considérée par l'Académie de Paris comme présentant assez de difficulté et d'importance pour mériter les honneurs du grand prix. Le même incident a provoqué cette réflexion que les Académiciens français du temps devaient connaître bien peu les recherches de leurs contemporains anglais et allemands, pour ignorer qu'ils avaient dans les recueils de leur bibliothèque la solution du problème qu'ils proposaient.

Parmi les autres travaux de Smith, nous pouvons mentionner spécialement son mémoire de géométrie sur quelques problèmes cubiques et biquadratiques, pour lequel l'Académie de Berlin lui décerna, en 1868, le prix Steiner. Dans une note envoyée aux Atti de l'Académie dei Lincei pour 1877, ^ établissait une relation analytique très remarquable reliant l'équation modulaire d'ordre m -et la théorie des formes quadratiques binaires appartenant au déterminant positif n. Dans cette note, la fonction modulaire est représentée analytiquement par une courbe qui donne une image géométrique des systèmes complets des formes quadratiques réduites, appartenant au déterminant ; il donne aussi une interprétation géométrique des idées de « classe », df c équivalence », et de u forme réduite ». Smith est également l'auteur de notes importantes étendant aux formes quadratiques complexes plusieurs des résultats de Gauss relatifs aux formes quadratiques réelles. Ses recherches sur la théorie des nombres le conduisirent à la théorie des fonctions elliptiques, et les résultats auxquels il parvint, spécialement en ce qui concerne les fonctions Thêta et Oméga, sont importants.

* Ernest Edouard Kummer (1810-1893), professeur à l'université •de Berlin, s'occupa, lui aussi, de la théorie des nombres et particulièrement des nombres complexes généralisés de la forme at A, -+- a% Aa -+- a3 A3 -+-... où a< sont des nombres réels et Ai les racines de l'équation xn — 1=0. La théorie du plus grand commun diviseur n'est pas applicable à ces nombres, et leurs facteurs premiers doivent être définis d'une façon spéciale, ce qui conduisit Kummer

à h notion des nombres idéaux. Ces nombres paraissent être d'un intérêt restreint.

Jules Guillaume Richard Dedekind, né en 1 83 1, à Brunswick, a

donné dans la seconde édition des Vorlesdngen iiber Zahlentheorie

dç Dirichlet . une nouvelle théorie des nombres complexes, où il

[ complète les résultats de Kummer tout en évitant l'emploi des

nombres idéaux.

{.éopold Kronecker (1823-1891), élève de ce dernier, s!est plutôt intéressé aux équations algébriques. Citons enfin Paul Bachmann, né à. Munster *.

On peut dire que la Théorie des nombres, telle qu'elle est traitée aujourd'hui, date de Gauss. Nous avons déjà rappelé de façon très brève des travaux de Jacobi, Dirichlet, Eisenstein, Henry Smith. Nous nous contentons d'ajouter quelques notes sur les développements postérieurs de certaines branches de cette théorie.

La distribution des nombres premiers a été étudiée en particulier par G.-F.-B. Riemann, J.-J. Sylvester, et P.-L. Tchebycheffi*) (1821-1894), de Saint-Pétersbourg. Le court traité de Riçmann, sur le nombre des nombres premiers qui existent entra deux nombres donnés, offre un exemple remarquable de sa puissance analytique. Legendre avait antérieurement montré que le nombre des nombres premiers moindres que n était approximativement

loge n— 1,08366'

mais Riemann est allé plus loin ; son traité contient, avec un mémoire de TchebychefF, à peu près tout ce qui a été fait jusqu'ici concernant un problème d'un intérêt tel qu'il s'imposait h l'esprit de tous ceux qui ont abordé la théorie des nombres et qui, cependant, a dépassé la puissance même de Lagrange et de Gauss.

La partition des nombres, question qu'avait spécialement étudiée Euler, a été traitée par.l. Cayley, J.-J. Sylvester , et P. -A. Mac Mahon.

(*) Les œuvres réunies de Tchebycheff, éditées par H. Ma.rk.off et N. Sosrtr, sont en cours de publication à Saint-Pétersbourg ; le premier volume a été publié en 1899. ♦