LA THÉORIE DES FONCTIONS DE PÉRIODICITÉ DOUBLE ET MULTIPLE

La théorie des fonctions de périodicité double et multiple constitue une branche des mathématiques qui, dans la seconde moitié du xix° siècle, a attiré particulièrement l'attention. Nous avons déjà fait remarquer que Gauss avait découvert, dès 1808, les fonctions Thêta et quelques-unes de leurs propriétés ; mais ses études demeurèrent plusieurs années enfouies au milieu de ses notes et le développement moderne du sujet est dû aux recherches faites par Abel et Jacobi de 1820 à i83o. L'exposition qu'ils en présentèrent a complètement remplacé celle de Legendre, et ils sont

(') Voir le Bulletin de la Société mathématique de New-York. vol. I, 1891-2, pp. 173-184. # ..'... 't *»

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considérés, à juste titre, comme les créateurs de cette nouvelle branche des mathématiques.

Abel (t)- — Niels Henrick Abel naquit & Findoë en Norvège, le 5 août 1802, et mourut à Arendal, le 6 avril 1829, à l'âge de vingt* six ans.

*I1 entra en novembre i8i5 à l'Ecole cathédrale de Christiania, où il eut en 1818 Holmoè comme professeur de mathématiques. Celui-ci ne tarda point à reconnaître les dispositions toutes spéciales de son élève ; il lui apprit rapidement les éléments, lut avec lui 1* Introductio d'Euler, les Institut iones calculi differentialis et les Institutions calculi integralis ; il l'initia à la méthode de La grange, « qui consiste à ne lire qu'un seul ouvrage à la fois, à le lire tout d'abord sans s'attacher aux difficultés, à revenir ensuite sur ces difficultés, s'aidant alors, s'il est nécessaire, d'autres ouvrages ».

Après s'être initié aux œuvres de Lacroix, Francœur, Poisson, Gauss, Garnier et surtout de Lag range, Abel entra, en 182 1, a l'Université en qualité de boursier, aidé par une cotisation des professeurs.

C'est en 1826 qu'il eut l'idée de Y inversion de l'intégrale elliptique.

Historiquement, c'est la théorie des fonctions elliptiques qui ouvre l'ère des mathématiques contemporaines et oriente les recherches des géomètres vers la haute analyse.

Les analystes reconnurent vite que l'intégrale elliptique de première espèce

dx

où k2 est une constante, dite module, ne peut s'exprimer à l'aide des fonctions élémentaires. C'est donc une transcendante nouvelle, généralisation de l'arc sinus qui correspond à k = o, transcendante à laquelle se ramènent les intégrales

dx

y/a -+- $x -H Y^8 ■+• S*3 -H txu

(i) La vie «Vàbkl par C.-A. Bjerilsbs a été publiée à Stockholm en 1880. Deux éditions des œuvres d'AnBL ont été publiées, dont la dernière, due à Stlow et Lie et parue à Christiania, en deux volumes, 1891, est plus complète.