CHAPITRE XIX. LA THEORIE DES FONCTIONS, ETC. l5l

•Euler fit connaître au sujet de l'intégrale elliptique de première espèce un théorème important, analogue à l'addition des arcs sinus ; d'autres géomètres, comme Landen et Lagrange, y ajoutèrent quelques résultats ; mais c'est Legendre qui eut le mérite de deviner là « le germe d'une branche importante de l'analyse » . Pendant quarante ans, il étudia l'intégrale de première espèce et aussi les intégrales, peu différentes de deuxième et de troisième espèce, et mit au jour leurs propriétés, à vrai dire sous forme compliquée et fragmentaire, comme il arriverait (') si Ton étudiait les fonctions trigonométriques en partant de la relation

arc sm x

Çx dx

Pour faire apparaître une théorie générale des intégrales elliptiques, il fallait introduire la fonction inverse, qui est à l'intégrale ce que le sinus est à Tare sinus ; il fallait écrire

r dx

et étudier non plus u comme fonction de x9 mais x comme fonction de u.

C'est ce que fit Abel, tout en introduisant les valeurs imaginaires de la variable u.

C' u^c* H.*»* ?/.,<M«y La nouvelle fonction x fut désignée plus tardy'par le symbole sn u .

' Grâce au théorème d'addition d'Euler, Abel découvrit cette pro-

priété capitale de la fonction sn u d'être doublement périodique relativement à u, c'est-à-dire de ne pas changer quand on augmente u de l'une ou l'autre de deux quantités fixes, irréductibles l'une à l'autre, dites périodes, et dont l'une au moins est imaginaire : de même sin u est une fonction simplement périodique de u, où la période est 21c. La même propriété, de double périodicité, appartient aux deux autres fonctions elliptiques cnu = s/\ — sn*uf dnu = tfi — fc'sn'u, dont l'étude se lie à celle de sn u, comme l'étude du cosinus est liée à celle du sinus *.

(') * Voir l'exposé sommaire de cette question dans le Traité des fonctions elliptiques de Appell et Lacour, Paris 1897 \

*5a HISTOIRE DBS MATHEMATIQUES

Les premiers mémoires d'Abel concernant les fonctions elliptiques furent publiés dans le Journal de Crelle. Abel traite le sujet aui point, de vue de la théorie des équations et des formes algébriques, exposition à laquelle ses recherches l'avaient naturelle* ment .conduit.

Le résultat important et très général connu sous le nom de théorème d'Abel, appliqué, par la suite, par Riemann, à la théorie des fonctions transcendantes, fut envoyé en 1826 à l'Académie des sciences de Paris, mais principalement à cause de l'inaction de Gauchy il ne fut pas imprimé avant i84i.

* Dans ce mémoire, Abel introduit le premier les différentielles algébriques les plus générales, auxquelles Jacobi, par un juste hommage, a donné le nom d'abéliennes *.

Sa publication est due aux recherches de Jacobi, à la suite d'une citation sur la question, faite par B. Holmbœ dans son édition des œuvres d'Abel parue en i83o. Il n'est pas très facile de présenter le théorème d'Abel d'une façon à la fois intelligible et concise; on peut cependant dire que ce théorème permet d'évaluer la somme d'un certain nombre d'intégrales ayant le même iatééL-vr*** *;f/t*t*Ut gfant, mais. différentes limites] Ces limites sont les racines d'une c'quation algébrique. Le théorème donne la somme des intégrales en fonction des constantes qui se présentent dans cette équation et dans l'intégrant. Nous pouvons regarder l'inverse de l'intégrale de cet intégrant comme une nouvelle fonction transcendante, et ainsi le théorème fournit une propriété de cette fonction.

Par exemple, si on applique le théorème d'Abel à (1 — x*) *

il fournit le théorème d'addition pour les fonctions circulaires ou trigonométriques. Le nom de fonctions • abéliennes a été donné aux transcendantes supérieures de périodicité multiple qui furent tout d'abord étudiées par Abel.

* En empruntant le langage géométrique, les intégrales abéliennes appartenant à une courbe plane/ (x,y) = 0, sont celles du type fty(x, y) dxoù ty désigne une fonction rationnelle de x, y et où y est lié à x par l'équation même de la courbe.

Soient maintenant a, 6, c,... les points d'intersection de la courbe primitive avec une courbe quelconque ; soient A, B, C,... les points où viennent a, b,e,... quand cette dernière courbe varie ;

Jacobi (*). — Charles-Gustave-Jacob Jacobi, né a Postdam, le

(*) * Voir à propos cTAbel un article do G. BnuifEL dans le Bulletin dus science mathématiques (i885) ot aussi le tome XXIII des Acta matematica *. , \. >

(*) Voir G. J. Gbrhardt, Geschichle der Mathematik in Dculschfond, tyu*. nich, 1877. Les œuvres complètes de Jacobi ont été éditées par Dirichlbt, 3 volumes, Berlin, 1846-71, et accompagnées d'une biographie, iSS*; une nouvelle édition par G. AV. Borchart et £. \Yeiei\stra5s a clé publiée à Berlin, en 8 volumes, 1881-87. , t ti 0y ,.j

ûLl*M,