CHAPITRE XIX. — hk THÉOBIE. DES FONCTIONS, ETC. . l

prenons une intégrale abélienne quelconque et donnons-lui successivement pour limites les coordonnées des points a et A, b et

B ; le célèbre théorème d'Abel peut s'énoncer : la somme des

intégrales ainsi définies est une fonction rationnelle et logarithmique des valeurs initiales et finales des coefficients servant à définir la courbe mobile.

La théorie des fonctions abéliennes, qui a fait l'objet de remarquables travaux dejjNeumann, de F. Klein, avec ses formes premières, de MM. Pick, Burckhardt, Ritter, Nôther, Prym, Webn-, Frobenius, Schottky, Weierstrass, Picard, //Poincaré, est & \!iM encore en voie de formation. Comme dans les fonctions hyperellip* tiques, le problème principal est celui de la transformation. Nous en reparlerons à propos de l'œuvre d'Hermite V

Abel critiqua l'usage des séries non convergentes et découvrit le théorème bien connu qui donne le critérium de la validité du résultat obtenu en multipliant une série infinie par une autre. Comme exemple de la fécondité de ses idées nous pouvons citer en passant sa célèbre démonstration de cette proposition : il est impossible d'exprimer la racine de l'équation générale du cinquième degré en fonction des coefficients au moyen d'un nombre fini de radicaux et de fonctions rationnelles ; ce théorème est très important puisqu'il limite définitivement un champ de recherches qui avait attiré autrefois l'attention de nombreux géomètres. Nous devons ajouter que ce théorème avait été énoncé en 1798 par Paolo Ruffini, médecin italien qui exerçait à Modène; mais nous croyons que la démonstration qu'il en donnait manquait de généralité.

* La vie d'Abel fut courte et remplie de difficultés matérielles. On ne saurait oublier non plus qu'il eut avec Crelle l'honneur de [**J* 1 fonder, le célèbre recueil qui porte le nom de Journal de Crelle (f) *.

l54 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

10 décembre i8o4> de parents israëlites, et mort à Berlin, le 18 février i85i, fit ses études à l'Université de Berlin, où il obtînt en 1825, le grade de docteur en philosophie. En 1827, il devint professeur suppléant de mathématiques à Kœnigsberg et, en 1829, il fut promu professeur ordinaire ; il occupa cette chaire jusqu'en 1842, époque où le gouvernement Prussien lui accorda une pension ; il se rendit alors à Berlin où il résida jusqu'à sa mort en i85i .

11 a été, pour l'enseignement des mathématiques, le plus grand maître de sa génération, et ses leçons, bien que parfois peu cor* rectement ordonnées, étaient un stimulant puissant pour les élèves capables de le comprendre.

Les recherches les plus célèbres de Jacobi ont trait aux fonctions elliptiques ; H a établi leur théorie avec Abel mais indépendamment des travaux de ce dernier. Les résultats de Jacobi se trouvent dans son traité sur les fonctions elliptiques, publié en 182g, et dans quelques notes plus anciennes parues dans le Journal de Crelle ; ils sont antérieurs h ceux de Weierstrass dont nous parlons plus bas. La correspondance entre Legendre et Jacobi sur les fonctions elliptiques a été réimprimée dans le premier volume de la collection des œuvres de Jacobi. De même qu'Abel, Jacobi reconnaissait que les fonctions elliptiques ne touchaient pas simplement aux théories de l'intégration, mais constituaient des types de nouvelles transcendantes ; il s'occupa ensuite d'une façon toute spéciale de la fonction Thêta. Le passage (') suivant dans lequel il explique ses idées est assez intéressant pour mériter une reproduction textuelle.

« E quo, cum universam,quœ fingi potest, ampletactur periodicitatem analyticam elucet, functiones ellipticas non aliis adnumerari debere, transcendentibus, quœ quibusdam gaudent elegantiis, fbrtasse pluribus illas aut majoribus, sed speciem quandam iïs inessi perfecti et absolu ti ».

* On doit à Jacobi l'expression des fonctions elliptiques sn, en, dn sous forme de quotients de séries ou de produits infinis, découverte déjà nettement indiquée dans le premier mémoire d'Abel ; Jacobi créa à cette occasion la théorie des fonctions 0, qui sont des séries d'exponentielles et qui jouent un grand rôle dans la

(') Voir la collection de ses oeuvres, vol. I, x88ivp. 87.