CHAPITRE XIX. — LA THEORIE DES FONCTIONS, ETC. l

théorie des fonctions elliptiques. Comme le montra Jacobi, leé fonctions sn, en, dn s'expriment en effet chacune par le quotient de deux fonctions 0. Enfin, Jacobi exprima les intégrales elliptiques de deuxième et de troisième espèces à l'aide des (onctions 0 et de leurs dérivées ; il montra ainsi que les différentielles elliptiques les plus générales pouvaient s'intégrer par les transcendantes nouvelles, conquête non moins précieuse pour la théorie que pour l'application.

D'autres surprises étaient réservées aux mathématiciens par les relations curieuses qu'établit Jacobi entre les séries 0 et l'arithmétique, et qui lui donnèrent d'intéressantes propositions sur la décomposition des nombres entiers en sommes de quatre carrés. Après lui, Hermite et Kronecker ont approfondi ce sujet *.

Parmi les autres recherches de Jacobi, nous pouvons signaler spécialement ses notes sur les déterminants, qui contribuèrent beaucoup à en généraliser l'usage ; et en particulier son invention du Jacobien, c'est-à-dire du déterminant fonctionnel iormé par n2 jcocffiricnH difforenlulîp partiel^ du premier ordre de n fonctions données de n variables indépendantes. Nous devons aussi mentionner ses notes sur les transcendantes abéliennes ; ses recherches sur la théorie des nombres, auxquelles nous avons déjà fait allusion ; ses importants mémoires sur la théorie des équations différentielles, ordinaires et partielles ; son développement du calcul des variations ; ses mémoires sur le problème des trois corps et sur d'autres problèmes particuliers de dynamique. Les résultats auxquels il était parvenu dans ces dernières recherches se retrouvent dans ses Vorlesungen iiber Dy nanti k.

Riemann (*). — Georges-Frédéric-Bernhard Iiiemann naquit à Breselenz, le 17 septembre 1826, et mourut à Selasca le 20 juillet 1866. Il étudia à Gôttingue avec Gauss, et ensuite à Berlin avec Jacobi, Dirichlet, Steiner et Eisentein, qui tous étaient professeurs dans cette ville à la même époque. Il eut à lutter contre la pau-

(') Les œuvres de Riemann, édictées par H. Weber et précédées de l'histoire de sa vie par Dedeijnd, furent publiées à Leipzig, seconde édition, 1893.

Une autre courte l'iographio de Riemann a été écrite par E. J. Scbemsg, Gôttingue, 1867.

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yreté et la maladie pour terminer ses études. En 1857 il fut nommé professeur à, Gotiingue ; soft talent fut bientôt généralement reconnu, mais en 1.862 sa santé commença à décliner et il mourut quatre ans plus tard, travaillant jusqu'à la fin avec autant d'ardeur que de courage.

. Riemann doit être considéré comme l'un des mathématiciens les plus profonds et les plus brillants de son temps. IL produisit peu mais son originalité et son talent sont manifestes ; ses recherches sur les fonctions et sur la géométrie, en particulier, furent l'origine de développements forts importants de ces sciences.

Sa note la.plus ancienne, écrite en i85o, traite des fonctions algébriques d'une variable complexe, et donna naissance à une nouvelle méthode pour traiter la théorie des fonctions. Le développement de cette méthode est spécialement le fait de l'Ecole de Gottingueà laquelle les noms de Riemann et de Klein sont étroitement liés. En i854, Riemann écrivit son célèbre mémoire sur les hypothèses servant de fondement à la géométrie ; nous y faisons allusion plus bas. Ce mémoire fut suivi par d'autres sur les fonctions elliptiques et sur la distribution des nombres premiers qui ont déjà été mentionnés. Enfin, en ce qui concerne les fonctions de < périodicité multiple, on ne s'avance pas trop en disant que, dans son mémoire paru dans le Journal de Borchardl, année 1857. il a fait pour les fonctions abéliennes ce qu'Abel avait fait pour les fonctions elliptiques.

* Le problème fondamental de la théorie des fonctions algébriques est celui de l'inversion, dont il a été parlé à propos des travaux d'Abel.

Il fallait définir, d'une manière générale, les intégrales ou les différentielles algébriques propres à remplacer dans les équations d'inversion les différentielles elliptiques ou hyperellip tiques étudiées par Abel.

C'est ce que fit Riemann.

Représentant, comme Cauchy, la variable imaginaire sur un plan, mais sur, un plan composé d'autant de feuillets superposés que la fonction algébrique à étudier a de valeurs distinctes, soudant ces feuillets le long de certaines sections, déterminées par les points critiquas de la fonction, passant d'un feuillet à l'autre, selon des lois bien définies, quand la variable traverse une. section, Ri**